Sinusbue
Arc sinusfunksjon
Grafisk fremstilling av buens sinusfunksjon.
| Vurdering |
bueskinn(x){\ displaystyle \ arcsin (x)}
|
|---|
| Gjensidig |
synd(x){\ displaystyle \ sin (x)} sikker [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}![{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
|
|---|
| Derivat |
11-x2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
|---|
| Primitiver |
xbueskinn(x)+1-x2+VS{\ displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
|
|---|
I matematikk , den bue sinus av et reelt tall inkludert (i vid forstand) mellom -1 og 1 er den eneste mål på vinkelen i radianer hvis sinus er lik til dette nummer, og mellom og .
-π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
Den funksjon som forbinder med et reelt tall som inngår i bred forstand mellom -1 og en av verdien av sin bue sinus skal bemerkes arcsin (arcsin eller Asin i fransk notasjon, synd -1 , asin eller Asn i angelsaksiske notasjon). Det er da den gjensidige sammenhengen av begrensningen av den trigonometriske funksjonen sinus til intervallet .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
I et kartesisk koordinatsystem som er ortonormal i forhold til planet, blir kurven som er representativ for buensinusfunksjonen, oppnådd fra kurven som er representativ for begrensningen av sinusfunksjonen til intervallet ved refleksjon av aksen, ligningslinjen y = x .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Derivat
Som et derivat av en gjensidig sammenheng , kan arcsin differensieres på ] –1, 1 [ og tilfredsstiller
bueskinn′x=11-x2{\ displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
.
Denne formelen oppnås takket være teoremet om derivatet av en gjensidig sammenheng og forholdet
cos(bueskinnx)=1-x2{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
.
Hvis ,
|z|≤1{\ displaystyle | z | \ leq 1}
bueskinnz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+...=∑ikke=0∞(2ikke-1)!!(2ikke)!!⋅z2ikke+12ikke+1=∑ikke=0∞(2ikkeikke)z2ikke+14ikke(2ikke+1).{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ prikker \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ slutt {justert}}}
(Se også Hypergeometrisk funksjon # Spesielle tilfeller .)
Demonstrasjon
Den utviklingen av den deriverte er:
bueskinn′(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-52)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅52⋅4⋅6z6+...,{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ venstre (- {\ frac {3} {2}} \ høyre) \ venstre (- {\ frac {5} {2}} \ høyre)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ prikker, \ end {justert}}}
derav resultatet, ved å " integrere " begrep for begrep .
Udefinert integrert form
Denne funksjonen kan skrives i form av en ubestemt integral :
bueskinnx=∫0x11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}
.
Primitiver
De primitiver av sinus bue oppnås ved integrering av deler :
∫bueskinnxdx=xbueskinnx+1-x2+VS{\ displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
.
Forholdet mellom bue sinus og bue cosinus
For alle reelle x mellom –1 og 1 :
arccosx+bueskinnx=π2{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}
.
Logaritmisk form
Vi kan uttrykke buensinusfunksjonen med en kompleks logaritme :
bueskinnx=-Jegln(Jegx+1-x2){\ displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ left ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}
.
Henvisning
-
Notasjon fra matematikkprogrammet i CPGE , s. 10 .
Se også
Relaterte artikler
Eksterne linker
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">