Par (matematikk)

I matematikk er et par med to objekter dataene til disse to objektene i en bestemt rekkefølge. Paret av de to objektene og er bemerket . Hvis og er forskjellige, skiller paret seg fra paret ; i dette skilles forestillingen om par fra begrepet par . For å betegne et par bruker engelsktalende ordnet par , det vil si ordret par . $på$ $b$ $(a, b)$ $på$ $b$ $(a, b)$ $(b, a)$

Par konsept

Objektene a og b kalles henholdsvis den første og den andre komponenten i paret ( a , b ).

Karakteristisk egenskap

Først introdusert som en primitiv forestilling, ligger essensen av begrepet par i følgende karakteristiske egenskaper :

To par er like hvis og bare hvis deres første komponenter på den ene siden, og deres andre komponenter på den andre siden, er like hverandre.

Med andre ord, uansett a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , har vi:

( a 1 , a 2 ) = ( b 1 , b 2 ) hvis og bare hvis a 1 = b 1 og a 2 = b 2 .

Denne egenskapen er for å bli sammenlignet med likhet mellom parene , for hvilke b 1 og b 2 kan permuteres med hensyn på en 1 og en 2 , noe som ikke er tilfelle for parene.

Dette bekreftes av følgende resultat:

Komponentene i et dreiemoment kan ikke byttes med hverandre uten å endre dreiemomentet, med mindre de er identiske . som kan uttrykkes mer formelt av: ( a , b ) = ( b , a ) hvis og bare hvis a = b .

Derfor:

for et par ( a , b ): b ≠ a ⇒ ( b , a ) ≠ ( a , b )
for et par { a , b }: { b , a } = { a , b }

Rekkefølgen av komponentene i et par er derfor viktig, derav definisjonen:

Hvis a er forskjellig fra b, kalles paret ( b , a ) symmetrisk par eller til og med gjensidige par av paret ( a , b ).

Kartesisk produkt

Settet av alle parene som første komponent tilhører et sett X , og den andre til et sett Y er kalt det kartesiske produktet av disse to settene, og er betegnet X x Y . De delmengder av X x Y er grafer .

Anslag

Gitt et sett med par C kalles settet til de første komponentene i parene til C den første projeksjonen av C , eller projeksjonen på den første koordinaten:

A = { x | ∃ y ( x , y ) ∈ C };

mengden B av de andre komponentene av parene til C kalles den andre projeksjonen av C , eller projeksjonen på den andre koordinaten:

B = { y | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.

Eksempler

(1, 4) og (4, 4) er par av heltall.
Hvis E = {1, 2, 3} er ({1}, {1, 3}) og (Ø, {1}) par av deler av E.

Par i mengdeori

Norbert Wiener var den første som la merke til (i 1914) at forestillingen om par kunne defineres i faste betingelser, og at det derfor ikke var nødvendig å introdusere denne forestillingen som en primitiv forestilling, så snart vi har det. . Vanligvis brukes en representasjon av par på grunn av Kazimierz Kuratowski (1921), se nedenfor. Dette valget er praktisk, men på ingen måte iboende. En representasjon av par i mengdeori krever:

den karakteristiske egenskapen til par;
for å kunne danne det kartesiske produktet av to sett (dvs. gitt to sett X og Y , eksisterer det et unikt sett X × Y som er settet til alle parene som det første elementet tilhører X og det andre elementet tilhører til Y );
for å kunne vise at ethvert sett med par er en delmengde av et bestemt kartesisk produkt.

Alle de nyttige matematiske egenskapene kan trekkes fra disse egenskapene. Faktisk er det i Zermelo-Fraenkel mengdeteori den karakteristiske egenskapen til par er tilstrekkelig: de to andre egenskapene trekkes fra den ved erstatning.

Kuratowski par

Par defineres vanligvis i mengdeori som følger:

For x og y to sett, setter vi ( x , y ) = {{ x }, { x , y }}.

For denne definisjonen må vi bruke aksiomet til paret tre ganger , først for å danne singleton { x }, deretter for å danne paret (eller singleton) { x , y }, og til slutt for å danne paret (eller singleton) {{ x }, { x , y }}.

Vi har klart definert begrepet par på en unik måte. Den karakteristiske egenskapen er trukket fra aksiomet for ekstensialitet :

for alle settene x, y, x 'og y', hvis {{ x }, { x , y }} = {{ x ' }, { x' , y ' }} , så x = x' og y = y ', dette i en mengde teori som verifiserer aksiomet til paret og aksiomet for ekstensialitet.

Det er tilstrekkelig å bruke likhetsbetingelsen for to par (eller singletoner) , og nøye skille alle mulige tilfeller.

La { x } = { x ' } og { x , y } = { x' , y ' }. Deretter (likhet mellom de to singletonene) x = x ' . På den annen side (likhet med de to parene), enten x = x ' og y = y' , som vi vil demonstrere, eller x = y ' og y = x' , men som ellers x = x ' , er 4 elementene er like derav resultatet.
La { x } = { x ' , y' } og { x , y } = { x ' }. Vi trekker ut fra disse to likhetene at de 4 elementene er like, derav resultatet.

Anta gitt et sett par C . Da tilhører komponentene til C mengden E oppnådd ved å møte foreningen av elementene i C , og derfor kan vi definere ved å forstå de to projeksjonene av C , det vil si settet A til de første komponentene i C , og sett B av de andre komponentene:
E = ∪∪ C ; A = { x ∈ E | ∃ y ( x , y ) ∈ C }; B = { y ∈ E | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.

Dette er nyttig for å definere for eksempel definisjonssettet eller bildesettet til en relasjon eller en funksjon sett på som sett med par (vi bruker aksiomet til unionen , og skjemaet for forståelsesaksiomer ).

Ved å bruke paret, foreningen, aksiomet til settet av deler , så forståelsen, viser vi også at, X og Y er to gitte sett, Kuratowski-parene hvis første komponent tilhører X og den andre til Y danner et sett som er, for denne kodingen, det kartesiske produktet av X og Y (se kartesisk produkt # Representasjon i mengdeori ). Den erstatning aksiom ordningen eliminerer behovet for alle delene.

Alle de nyttige egenskapene er derfor demonstrert i Zermelo teori om sett .

Andre representasjoner av par

Wiener, i 1914, brukte følgende definisjon av par: ( x , y ) = {{{ x }, ∅}, {{ y }}}, noe som neppe er mer komplisert enn Kuratowskis.

Vi kan også bruke ( x , y ) = { x , { x , y }}, men beviset på den karakteristiske egenskapen krever aksiomet av fundamentet . Denne definisjonen har den praktiske egenskapen at paret alltid inneholder to elementer, x og { x , y } nødvendigvis forskjellige, noe som ikke er tilfelle med Kuratowski- eller Wiener-par.

Koblingsfunksjon

I mengdeteori kaller vi noen ganger en koblingsfunksjon for en funksjon (i den intuitive forstand, og ikke i den forstanden med mengdeteori der vi arbeider), som til to objekter x og y knytter et objekt ( x , y ) tilfredsstiller den karakteristiske egenskapen til par:

( x , y ) = ( x ' , y' ) ⇔ ( x = x ' og y = y' ).

Representasjonen av parene til Kuratowski eller Wiener gir eksempler på koblingsfunksjon. De vanlige matematiske egenskapene til par er utledet fra den karakteristiske egenskapen i Zermelo-Fraenkel mengde teori , uavhengig av hvordan den er definert. Spesielt :

for en hvilken som helst koblingsfunksjon x , y ↦ ( x , y ), det kartesiske produktet av to sett X og Y , X × Y = {( x , y ) | x ∈ X og y ∈ Y } er faktisk et sett,
faktisk for hvert y ∈ Y {( x , y ) | x ∈ X }} er et sett av erstatning, derav resultatet av erstatning og union ;
for en hvilken som helst koblingsfunksjon x , y ↦ ( x , y ), danner den første projeksjonen av et sett med par faktisk et sett, det samme gjør den andre projeksjonen,
det er tilstrekkelig å bruke erstatningen for en funksjonell tilknytning til et sett som er et par (i betydningen koblingsfunksjon) den første komponenten (den andre for den andre projeksjonen).

I følge den andre påstanden er ethvert sett med par en delmengde av et kartesisk produkt.

Paret i kategoriteori

Her blir konstruksjonen av begrepene gjort i motsatt retning: paret er definert fra det kartesiske produktet som i seg selv er definert fra funksjoner, og begrepet funksjon sett på som en morfisme ligger derfor veldig oppstrøms i teorien om kategorier .

Dette er imidlertid en spesiell og relativt nylig visjon om kategoriteori, hvis aksiomatiske grunnlag ennå ikke er etablert; i de fleste verk er de grunnleggende begrepene som brukes for kategorier, inkludert par og funksjoner, basert på mengdeteori.

Generaliseringer

Tripler kan defineres som tilfredsstillende den karakteristiske egenskapen:

to tripler er like hvis og bare hvis deres første komponenter er like hverandre, deres andre komponenter også og deres tredje komponenter de samme .

En triplett ( a , b , c ) kan kodes som ( a , ( b , c )) eller to nestede par. Valget av hekkingsrekkefølge er rent vilkårlig. Byggeprosessen kan generaliseres til n -upler, n er hvilket som helst heltall.

For å generalisere til et uendelig av komponenter, snakker vi ikke lenger om n- uplett, men om familie , eller fortsettelse i det tellbare tilfellet .

Merknader og referanser

Merknader

Legg merke til en liten tvetydighet: i matematikk generelt, i kombinatorikk spesielt, består et par av to forskjellige elementer , og vi unngår betegnelsen { a , b } når a = b . I mengdeteorien ville utkastet bli kjedelig hvis notasjonen { a , b } alltid måtte anta a ≠ b , og vi vil ikke anta det , vi har { a , a } = { a }. Ofte prøver vi å reservere par i tilfelle de to elementene er forskjellige, selv om paraksiomet også viser eksistensen av singletoner. Noen ganger tillater vi oss å skrive paret { a , b }, selv om det er mulig at a = b ; vi må da si paret eller singleton { a , b }. I praksis er bruken veldefinert, og mulig tvetydighet utgjør ikke noe problem.

Referanser

Halmos 1967 , s. 34.
Lévy 1979 , s. 24-26, se #Koblingsfunksjon .
Lévy 1979 , s. 25, se #Koblingsfunksjon .
Lévy 1979 , s. 24.
Lévy 1979 , s. 25.
Lévy 1979 , s. 26.
(in) " Teorikategori | 1. Generelle definisjoner, eksempler og applikasjoner ” , Stanford Encyclopedia of Philosophy , 6. desember 1996, oppdatert 3. oktober 2014.

Se også

Relaterte artikler

Bibliografi

Kazimierz Kuratowski , “ On the ideion of order in set theory ”, Fund. Matte. , vol. 2,1921, s. 161-171 ;
Paul R. Halmos , Introduksjon til mengdeori , Paris, Mouton , École Pratique des Hautes Etudes og Gauthier-Villars ,1967 ;
(no) Azriel Lévy , Basic Set Theory , Springer Verlag,1979( ISBN 3-540-08417-7 ) ;
(en) Norbert Wiener , “ A Simplification of the Logic of Relations ” , Proc. Cambridge Philos. Soc. , vol. 17,1914, s. 387-390.