Avskrivningsgrad (fysisk)

I fysikk er dempningshastigheten ( dempningsforhold ) en dimensjonsløs mengde som karakteriserer utviklingen og forfallet over tid av svingningene i et fysisk system. Det tar spesielt hensyn til effekten av friksjon og materialets natur (mekaniske systemer) eller, mer generelt, energitap. Det kan avhenge av temperaturen. Den demping hastighet gjør det spesielt mulig å fullstendig bestemme arten av den forbigående regime av systemet.

Veske av den dempede harmoniske oscillatoren

For en dempet harmonisk oscillator, bestående av en masse m, dempet av væskefriksjon med koeffisient c og utsatt for en elastisk gjenopprettingskraft av stivhetskonstant k, er differensialligningen som modellerer oppførselen til oscillatoren:

$m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} + c \ frac {dx} {dt} + kx = 0$ .

Det er mulig å omskrive denne ligningen i kanonisk form :

$\ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} + 2 \ zeta \ omega_0 \ frac {dx} {dt} + \ omega_0 ^ 2 x = 0$ ,

hvor er den naturlige pulsasjonen av den harmoniske oscillatoren og er dempningshastigheten. ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$ ${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {km}}}}}$

Vi løser det tilhørende karakteristiske polynomet :

$\ omega ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_0 \ omega + \ omega_0 ^ 2 = 0$ .

Fra hvor . ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0} \ left (- \ zeta \ pm {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}} \ right)}$

Ulike regimer Periodisk hvis ω er rent tenkt, er løsningen en sinusform av formen . Dette tilsvarer tilfellet med en harmonisk oscillator. Det vises for grensesaken .

{\ displaystyle e ^ {\ pm j \ omega _ {0} t}}

{\ displaystyle \ zeta = 0}

Pseudo-periodisk hvis ω er kompleks , er løsningen et produkt av en synkende eksponensiell og en sinusform av formen . Dette fenomenet vises for .

{\ displaystyle e ^ {\ omega _ {0} (- \ zeta \ pm j {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) t}}

\ zeta <1

Kritisk aperiodisk det er grensen mellom det pseudo-periodiske regimet og det aperiodiske regimet . Dette er ofte den optimale løsningen på et problem med dempede svingninger. Det vises for grensesaken .

\ zeta = 1

Aperiodisk hvis ω er ekte , er løsningen ganske enkelt en avtagende eksponensiell uten svingning. Det dukker opp for saken .

\ zeta> 1

Analog realisering

Den kanoniske formen av differensiallikningen fra forrige avsnitt kan omformuleres som følger ...:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = - \ left (2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} x \ right)}$

Dette gjør det mulig å utlede et blokkdiagram basert på de grunnleggende operatorene som er integratoren , adderen og forsterkningen (til venstre nedenfor).

I det spesielle tilfellet hvor dempningskoeffisienten er null, er diagrammet forenklet i to integratorer som er sammenkoblet i en ring (utgangen fra den ene er koblet til inngangen til den andre), med en sløyfeforsterkning lik kvadratet til den egen pulsasjonen ( i midten nedenfor).

Denne topologien blir utnyttet i utformingen av analoge (rett nedenfor) eller digitale elektroniske oscillatorer.

Ulike typer oscillatorer
Dempet oscillator med tilstandsvariabler
Kvadraturoscillator ( I fase, i Q uadratur)
Elektronisk realisering av en kvadraturoscillator

Eksempel på et kommersielt produkt: UAF42 universal aktivt filter.

Forholdet til kvalitetsfaktoren

Den kvalitetsfaktor av den lineære harmonisk oscillator fuktet med en grad av frihet som er beskrevet ovenfor er definert ved:

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ sqrt {k \, m}} {c}}}

man trekker straks ut et forhold som knytter dempningshastigheten til kvalitetsfaktoren :

{\ displaystyle Q = {\ frac {1} {2 \, \ zeta}}}

Merknader og referanser

Texas Instruments UAF2

Relaterte artikler

Fysisk avskrivning
Logaritmisk dekrement (en metode for å bestemme dempningshastigheten)
Oberst- metoden (alternativ metode)
Dynamisk mekanisk analyse (annen metode)
Kvalitetsfaktor
Fuktede svingninger