B-spline

I matematikk er en B-spline en lineær kombinasjon av positive splines med minimal kompakt støtte. B-splines er generaliseringen av Bézier-kurver , de kan igjen generaliseres av NURBS .

Definisjon

Gitt m +1 noder t i i [0, 1] med en grad sporkurve er en parametrisk kurve sammensatt av B-spline-funksjoner av grad n , der P i danner en polygon kalt kontrollpolygon  ; antall poeng som komponerer denne polygonen er lik m - n .

De m - n B-spline-funksjoner av grad n er definert ved induksjon på lavere grad:

Når nodene har samme avstand, det vil si når de er i aritmetisk progresjon, blir B-splines sies å være “uniform”: dette er tilfelle for Bézier-kurver som er uniforme B-splines, som har noder t i (i i mellom 0 og m ) danner en aritmetisk sekvens fra 0 til 1 med et konstant trinn 1 / m , og hvor graden n av Bézier-kurven ikke kan være større enn m .

Ved forlengelse, når to påfølgende noder og blir slått sammen, utgjør en  : dette har effekten av å definere en diskontinuitet i tangenten, for punktet på kurven som er parametrisert med verdien t , derfor å skape en ikke-vinkel toppunktfat; imidlertid er det ofte enklere å definere denne "utvidede B-spline" som foreningen av to B-splines definert med forskjellige noder, idet disse splines ganske enkelt blir sammenføyd av dette felles toppunktet, uten å innføre noen vanskeligheter med den parametriske vurderingen her. B-splines for visse verdier av parameteren t . Men dette gjør det da mulig å vurdere hvilken som helst enkel polygon som en utvidet B-spline.

Eiendommer

Formen til de grunnleggende funksjonene bestemmes av nodenes posisjon.

Kurven er inne i den konvekse konvolutten til kontrollpunktene.

En B-spline av grad n er ikke-null i intervallet [ t i , t i + n + 1 ]:

Med andre ord endrer formen på kurven bare å flytte et kontrollpunkt lokalt.

Endimensjonale b-splines

B-splines kan brukes som grunnleggende funksjoner i tilnærmingsteori. B-spline av grad n er gitt av: , hvor (y) + er en utvidet versjon av den positive delfunksjonen  :

Vi kjenner spesielt igjen spline av grad 0 som portfunksjon .

Disse funksjonene interpolerer ikke, men deres høye regelmessighet på et kompakt medium gjør dem til interessante kandidater i tilnærmingen av funksjoner.

Referanser

  1. (i) P. Thevenaz, Blu T. og M. Unser, "  interpolation revisited  " , IEEE Transactions on Medical Imaging , Vol.  19, n o  7,juli 2000( DOI  10.1109 / 42.875199 )

Interne lenker

Eksterne linker

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">