Sannsynlighetsregning for nybegynnere

Innledning

Sannsynlighetsregning er et svært viktig fag innen matematikk. Det er brukt i mange forskjellige felt, inkludert finans, statistikk, ingeniørfag og datavitenskap. Det kan virke overveldende for nybegynnere, men det er mulig å forstå konseptene med litt øvelse og tålmodighet. Denne artikkelen vil introdusere noen av de grunnleggende begrepene og teknikkene i sannsynlighetsregning for nybegynnere.

Sannsynlighet

Sannsynlighet er en måling av hvor sannsynlig det er at en hendelse vil skje. Det kan uttrykkes som en brøk eller en prosentandel. For eksempel, hvis det er to mulige utfall av en hendelse og begge er like sannsynlige, er sannsynligheten for hver av dem 1/2 eller 50%. Sannsynligheten kan også uttrykkes som desimaler. For eksempel, hvis sannsynligheten for et utfall er 0,25 eller 25%.

Grundleggende regler for sannsynlighetsregning

Det er to grunnleggende regler for sannsynlighetsregning: addisjonsregelen og multiplikasjonsregelen. Addisjonsregelen sier at sannsynligheten for at minst en av to hendelser vil skje er lik summen av sannsynlighetene for hver hendelse minus sannsynligheten for at begge hendelsene vil skje samtidig. For eksempel, hvis sannsynligheten for at det skal regne i morgen er 0,6 og sannsynligheten for at det skal være sol er 0,3, er sannsynligheten for at det skal regne, være sol eller både regne og være sol lik 0,6 + 0,3 - 0,18 = 0,72. Multiplikasjonsregelen sier at sannsynligheten for at to eller flere uavhengige hendelser vil skje samtidig er lik produktet av sannsynlighetene for hver hendelse. I dette tilfellet er hendelsene uavhengige hvis utfallet av den ene hendelsen ikke påvirker utfallet av den andre. For eksempel, hvis sannsynligheten for å få en 6 på en terning er 1/6 og sannsynligheten for å få en 4 på en annen terning er 1/6, er sannsynligheten for å få en 6 og en 4 når du ruller begge terningene samtidig lik 1/6 x 1/6 = 1/36.

Utfallsrom og hendelser

I sannsynlighetsregning er et utfallsrom samlingen av alle mulige utfall av en hendelse. For eksempel, hvis du kaster en terning, er utfallsrommet {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En hendelse er en delmengde av utfallsrommet. For eksempel, hvis du vil vite sannsynligheten for å få en partall når du kaster en terning, er hendelsen {2, 4, 6}.

Kombinatorikk

Kombinatorikk er grenen av matematikk som handler om å telle antall forskjellige muligheter. I sannsynlighetsregning brukes kombinatorikk til å finne antall mulige utfall i et utfallsrom. Det finnes to typer kombinasjoner: permutasjoner og kombinasjoner. Permutasjoner teller antall måter som et sett med ting kan ordnes på. For eksempel, hvis du har tre bøker, kan de ordnes på tre forskjellige måter. Dette er et eksempel på en permutasjon uten tilbakelegging. Hvis du tar en bok ut og legger den tilbake, er det nå seks forskjellige måter bøkene kan ordnes på. Dette er et eksempel på en permutasjon med tilbakelegging. Kombinasjoner teller antall mulige måter å velge et sett med ting fra en større gruppe uten å ordne dem. For eksempel, hvis du har fem bøker og vil velge tre av dem, er antall mulige kombinasjoner 10.

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet er sannsynligheten for en hendelse gitt at en annen hendelse allerede har skjedd. For å beregne betinget sannsynlighet, bruker du formelen P(A|B) = P(A og B)/P(B), der A er den betingede hendelsen og B er hendelsen som allerede har skjedd. For eksempel, hvis du trekker to kort fra en kortstokk og vil vite hva sannsynligheten er for at det andre kortet er en konge gitt at det første kortet var en konge, kan du bruke betinget sannsynlighet. Sannsynligheten for å trekke en konge på det første kortet er 4/52, eller 1/13. Hvis du trekker en konge på det første kortet, er det nå 3 konger igjen i kortstokken på 51 kort. Sannsynligheten for å trekke en konge på det andre kortet gitt at det første kortet var en konge er 3/51. Derfor er den betingede sannsynligheten for å trekke en konge på det andre kortet gitt at det første kortet var en konge 3/51 eller omtrent 5,9%.

Bayes teorem

Bayes teorem er en metode for å beregne betinget sannsynlighet når informasjon om en hendelse endres eller oppdateres. Det sier at sannsynligheten for en hendelse A gitt hendelse B er lik sannsynligheten for hendelse B gitt hendelse A multiplisert med sannsynligheten for hendelse A delt på sannsynligheten for hendelse B. For eksempel, hvis du vil vite hva sannsynligheten er for at en person har diabetes gitt at vedkommende tester positivt for diabetes, kan du bruke Bayes teorem. Anta at 10% av befolkningen har diabetes og at testen har en sensitivitet på 90% og en spesifisitet på 95%. Dette betyr at hvis en person har diabetes, vil testen være positiv 90% av tiden, og hvis en person ikke har diabetes, vil testen være negativ 95% av tiden. Hvis du nå tester en tilfeldig person og testresultatet er positivt, kan du bruke Bayes teorem for å beregne den betingede sannsynligheten for at personen har diabetes. Sannsynligheten for at en tilfeldig person har diabetes er 10%. Sannsynligheten for at testen vil være positiv hvis personen har diabetes vil være 90%. Sannsynligheten for at testen vil være positiv hvis personen ikke har diabetes vil være 5%. Ved å bruke Bayes teorem finner man da at sannsynligheten for at personen har diabetes gitt at testen er positiv er omtrent 64%.

Oppsummering

Sannsynlighetsregning er et viktig fag innen matematikk og brukes i mange forskjellige felt. Grunnleggende begreper og teknikker i sannsynlighetsregning inkluderer sannsynlighet, addisjons- og multiplikasjonsregler, utfallsrom og hendelser, kombinatorikk, betinget sannsynlighet og Bayes teorem. Med litt øvelse og tålmodighet kan man forstå konseptene i sannsynlighetsregning og bruke dem til å løse problemer i det virkelige liv.