Maksimum element
I et ordnet sett er et maksimumselement et element slik at det ikke er noe annet element i dette settet som er overlegen det, det vil si at a er det nevnte maksimale elementet i et ordnet sett ( E , ≤) hvis a er en element av E slik at:
På samme måte er a et minimalt element i E hvis:
For ethvert element a i E har vi ekvivalenser og (streng) implikasjon:
en er en øvre grense av E ⇔ har er den øvre grense av E ⇔ har det element maksimale (eller "største element") i E ⇒ en er den største enkeltelementet E .Hvis rekkefølgen er total , forvirres forestillingene om maksimumselement og største element (det samme for minimalt element og minste element).
Eksempler
- Det sett av deler av et sett E , forsynt med inkluderingen , har som sin eneste maksimale element E , som også er den største element.
- Alle delene passer (forskjellig fra selve settet) et sett E -tom, forutsatt at inkluderingen, er maksimale elementer alle E \ { en } for en ∈ E . Det er ingen større ordentlig del så snart E har mer enn to elementer.
- Settet med naturlige tall som er gitt med den vanlige rekkefølgen er et eksempel på en ordre som ikke har noe større element, derfor (siden denne rekkefølgen er total) ikke noe maksimalt element.
- Settet med endelige sekvenser på 0 og 1, utstyrt med prefiksrekkefølgen, ( u 0 ,…, u n ) ≤ ( v 0 ,…, v p ) når n ≤ p og for alle i ≤ n , u i = v i , er en delvis rekkefølge som ikke har maksimale elementer, og den tomme sekvensen for minste element (derfor bare minimalt element).
- Et tre utstyrt med forholdet "er en forfader til" har alle bladene som maksimale elementer (det er ikke nødvendigvis noen, grenene kan være uendelige).