Motsatt ring

I algebra har den motsatte ringen A 0 eller A op av en ring A den samme underliggende additivgruppen som A, og multiplikasjonen utføres i motsatt rekkefølge: hvis vi betegner og de respektive multiplikasjonene av A og At op , har vi ${\ displaystyle \ cdot _ {A}}$ ${\ displaystyle \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}}}$

{\ displaystyle a \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}} b = b \ cdot _ {A} a}

Begrepet motsatt ring gjør det mulig å forene studiet av moduler til venstre og moduler til høyre , fordi modulene til høyre på en ring er nøyaktig modulene til venstre på motsatt ring.

Eiendommer

A og A op har til og med null, og (eventuelt) samme enhet. Likheten A = A op finner sted hvis og bare hvis A er kommutativ . Særlig hvis A er et felt , A op også.

Hvis A er et venstre felt (også kalt en divisjonsring) som ikke er kommutativ, er motsatt ring av A også et ikke-kommutativt venstre felt. I dette tilfellet snakker vi noen ganger om "motsatt kropp av A " i stedet for "motsatt ring av A ".

Enhver K- algebra A er isomorf til det motsatte av K- algebra av endomorfismen til A- modul A :

{\ displaystyle A \ simeq \ left ({\ rm {End}} _ {A} (A) \ right) ^ {\ rm {op}}}

. Demonstrasjon

For enten definert ved: . Kartet er en sammenheng av inn i , av gjensidig sammenheng . Ja, for all , . Det er en isomorfisme i , det viktigste poenget er at . Derfor . $a \ i A$ ${\ displaystyle r_ {a} \ i {\ rm {End}} _ {A} (A)}$ ${\ displaystyle r_ {a} (x) = x \ cdot _ {A} a}$ $r$ $PÅ$ ${\ displaystyle {\ rm {End}} _ {A} (A)}$ ${\ displaystyle f \ mapsto f (1)}$ ${\ displaystyle f \ in {\ rm {End}} _ {A} (A)}$ ${\ displaystyle r_ {f (1)} (x) = x \ cdot _ {a} f (1) = f (x)}$ ${\ displaystyle A ^ {\ rm {op}}}$ ${\ displaystyle {\ rm {End}} _ {A} (A)}$ ${\ displaystyle (r_ {a} \ circ r_ {b}) (x) = x \ cdot _ {A} b \ cdot _ {A} a = x \ cdot _ {A} \ left (a \ cdot _ { A ^ {\ rm {op}}} b \ right) = r_ {a \ cdot _ {A ^ {\ rm {op}}} b} (x)}$ ${\ displaystyle A = (A ^ {\ rm {op}}) ^ {\ rm {op}} \ simeq \ left ({\ rm {End}} _ {A} (A) \ right) ^ {\ rm {op}}}$

Se også

Merknader og referanser

Uttrykk samsvarer med N. Bourbaki , Algebra I , Paris,1970, s. I.96, def. V, som bruker betegnelsen A 0 .
Bourbaki 1970 , s. II, 2.
Se for eksempel Bourbaki 1970 , s. II.159, prop. 10.