Wold nedbrytning

Den nedbrytning Wold eller nedbryting Wold - von Neumann er et resultat av funksjonell analyse som beskriver isometriske riss en Hilbert plass .

Stater

Definisjon - La H være et Hilbert-rom og T: H → H en isometri. Vi sier at T er en skiftoperatør hvis, for noe element x av H , når . ${\ displaystyle T ^ {* n} x \ til 0}$ ${\ displaystyle n \ til + \ infty}$

Teorem - La H være et Hilbert-rom og T: H → H en isometri. Det finnes F og G to underområder av H , i sum direkte og stabil av T , slik at det er en skiftoperatør og er en enhetsoperatør . ${\ displaystyle T | _ {F}}$ ${\ displaystyle T | _ {G}}$

Demonstrasjon

La oss stille . Det handler om et lukket underområde av stabil par . Legg merke til den ortogonale projeksjonen på . ${\ displaystyle G = \ cap _ {k \ in \ mathbb {N}} T ^ {k} H}$ $H$ $T$ ${\ displaystyle P_ {G}}$ $G$

Lemma - For alt , når . ${\ displaystyle x \ i H}$ ${\ displaystyle T ^ {n} T ^ {* n} \ til P_ {G} x}$ ${\ displaystyle n \ til + \ infty}$

Bevis på lemmaet

For alt , som en isometri, er den ortogonale projeksjonen på . $ikke$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n} T ^ {* n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$

Enten vilkårlig. For alt , la oss skrive i form , med den ortogonale projeksjonen på . For alle med , som , er den ortogonale projeksjon av den , og i henhold til den pytagoreiske formel, ${\ displaystyle x \ i H}$ $ikke$ $x$ ${\ displaystyle x = x_ {n} + y_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = T ^ {n} T ^ {* n} x}$ $x$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$ ${\ displaystyle m, n}$ $m> n$ ${\ displaystyle T ^ {m} H \ delmengde T ^ {n} H}$ $x_ {m}$ $x_ {n}$ ${\ displaystyle T ^ {m} H}$ ${\ displaystyle || x_ {n} || ^ {2} - || x_ {m} || ^ {2} = || x_ {n} -x_ {m} || ^ {2}}$ . Dette forholdet antyder at er en avtagende sekvens, derfor konvergerende siden positiv. Det tillater dessuten å vise at det er en fortsettelse av Cauchy. Som det er ferdig, konvergerer til et bestemt . ${\ displaystyle (|| x_ {n} ||) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $H$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle X \ i H}$

For å konkludere, er det tilstrekkelig å vise at det er den ortogonale projeksjonen av on . Vi merker det først . Faktisk, for alt , sekvensen er i det minste fra rang , slik at dets grense også tilhører . $X$ $x$ $G$ ${\ displaystyle X \ in G}$ $k \ in \ mathbb {N}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle T ^ {k} H}$ $k$ $X$ ${\ displaystyle T ^ {k} H}$

Videre, hvis er noe av , $X '$ $G$ ${\ displaystyle \ langle xX, X '\ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle x-x_ {n}, X' \ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle y_ {n}, X '\ rangle = 0}$ . Faktisk, for alt , er ortogonal til derfor også til , som er et underområde for . $ikke$ $y_n$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$ $G$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$

Merk, for alle , det ortogonale tillegget til in . De er lukkede delområder av , to-til-to ortogonale. ${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N}}$ $F_ {j}$ ${\ displaystyle T ^ {j + 1} H}$ ${\ displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ $H$

Siden, for alt , er den ortogonale projeksjonen på , den ortogonale projeksjonen på , som vi betegner , er lik . Så for alt , når , $j$ ${\ displaystyle T ^ {j} T ^ {* j}}$ ${\ displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ ${\ displaystyle P_ {F_ {j}}}$ ${\ displaystyle T ^ {j} T ^ {* j} -T ^ {j + 1} T ^ {* j + 1}}$ ${\ displaystyle x \ i H}$ ${\ displaystyle n \ til + \ infty}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} P_ {F_ {j}} \ right) x = \ left (Id_ {H} -T ^ {n + 1} T ^ {* n +1} \ høyre) x \ til (Id_ {H} -P_ {G}) x}$ . Dette forholdet innebærer at hvis vi definerer , har vi ; videre, og er ortogonale. ${\ displaystyle F = {\ overline {F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}}}$ ${\ displaystyle F \ oplus G = H}$ $F$ $G$

Plassen er stabil av , fordi , så dens vedheft også. ${\ displaystyle F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}$ $T$ ${\ displaystyle TF_ {j} \ delmengde F_ {j + 1}}$ $F$

La oss vise at det er et skifte. For alt , når , ${\ displaystyle T | _ {F}}$ $x \ i F$ ${\ displaystyle n \ til + \ infty}$ ${\ displaystyle || T ^ {* n} x || ^ {2} = \ langle x, T ^ {n} T ^ {* n} x \ rangle \ to \ langle x, P_ {G} x \ rangle = 0}$ .

La oss vise at det er en enhetsoperatør. Lemmaet som tidligere ble demonstrert, gjør det mulig å vise det . Underrommet er stabilt av , siden det ortogonale er stabilt av . Som er lik identiteten på , får vi ${\ displaystyle T | _ {G}}$ ${\ displaystyle TP_ {G} T ^ {*} = P_ {G}}$ $G$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $F$ $T$ ${\ displaystyle P_ {G}}$ $G$ ${\ displaystyle T | _ {G} T | _ {G} ^ {*} = Id_ {G}}$ .

Versjon for et uendelig antall isometrier

Definisjon - La være en sekvens av Hilbert-mellomrom. Det er, for alt , en isometri. Vi sier at det er en merkefamilie hvis det eksisterer en sekvens av usammenhengende Hilbert-rom og enhetsoperatører som tilfredsstiller for alle forholdet ${\ displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $ikke$ ${\ displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ til H_ {n}}$ ${\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle (L_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {n}: H_ {n} \ to \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}$ $ikke$

{\ displaystyle \ Phi _ {n} v_ {n} \ Phi _ {n + 1} ^ {- 1} :( x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} L_ {n} \ to (0, x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}

Teorem - La være en sekvens av Hilbert-mellomrom. Det er, for alt , en isometri. Det finnes, for alt , underområder av i direkte sum, som vi betegner, og slik at ${\ displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $ikke$ ${\ displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ til H_ {n}}$ $ikke$ $H_n$ $F_ {n}$ $G_ {n}$

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} F_ {n + 1} \ subset F_ {n}}$ ;
${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} G_ {n + 1} \ subset G_ {n}}$ ;
familien er betydelig; ${\ displaystyle (v_ {n} | _ {F_ {n + 1} \ til F_ {n}}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$
${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n}: G_ {n + 1} \ to G_ {n}}$ er en enhetsoperatør.

Stationær prosessanalyse

I statistikken tillater en versjon av Wolds teorem at enhver svakt stasjonær prosess kan dekomponeres til summen av en "deterministisk" del og en "stokastisk" del.

Teorem - La være en stasjonær prosess i svak forstand . Det er en sekvens av reelle tall , svakt stasjonær prosess og slik at ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N}}}$ $U$ $W$

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {Z}, X_ {t} = \ sum _ {j \ in \ mathbb {Z}} \ alpha _ {j} U_ {tj} + W_ {t}}

og følgende egenskaper kontrolleres:

${\ displaystyle \ alpha _ {0} = 1, \ sum _ {j = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {j} ^ {2} <+ \ infty}$ ;
${\ displaystyle \ forall j, \ mathbb {E} (U_ {j}) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} U_ {j'}) = 0}$ hvis ; ${\ displaystyle j \ neq j '}$
${\ displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} W_ {j'}) = 0}$ ;
prosessen er deterministisk, det vil si at det er Reals som for alt , når . $W$ ${\ displaystyle (\ beta _ {j} ^ {N}) _ {0 <j \ leq N \ in \ mathbb {N}}}$ $t$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (W_ {t} - (\ beta _ {1} ^ {N} W_ {t-1} + \ dots + \ beta _ {N} ^ {N} W_ {tN }) \ høyre) ^ {2} \ til 0}$ ${\ displaystyle N \ to + \ infty}$

Referanser

(en) Marvin Rosenblum og James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory , Oxford University Press,1985, 161 s. ( ISBN 0-19-503591-7 , leses online )
(en) Tiberiu Constantinescu, Schur-parametere, faktoriserings- og utvidelsesproblemer , vol. 82, Basel / Boston / Berlin, Birkhäuser, koll. "Operatørsteori, fremskritt og applikasjoner",1996, 253 s. ( ISBN 3-7643-5285-X , leses online )
(en) Herman J. Bierens, Introduksjon til de matematiske og statistiske grunnlagene for økonometri , Cambridge University Press, koll. "Temaer i moderne økonometri",2004, 323 s. ( ISBN 978-0-521-54224-1 , les online )

Se også

Skiftoperatør