Oscillerende dipol

Den oscillerende dipolen er en modell involvert i elektromagnetisme som beskriver effekten av den oscillerende bevegelsen til en ladet partikkel rundt et fast punkt. Det forklarer fenomener som Rayleigh-spredning , drift av dipolantenner eller termisk stråling .

Strålingsfenomen av en dipol

En ladet partikkel er kilden til et elektrisk felt, avhengig av posisjonen. Derfor genererer en bevegelig partikkel, for eksempel et elektron som beveger seg fritt rundt en atomkjerne, eller settes i bevegelse av et tvunget felt, et tidsvarierende elektrisk felt, som ifølge Maxwells ligninger forplanter seg i form av en elektromagnetisk bølge .

I praksis begrunner Fourier-analysen at vi bare er interessert i tilfeller der bevegelsen er sinusformet, mens de andre uttrykkes ved overstilling av løsninger i sinusformet tilfelle.

Beskrivelse av modellen

Det er faktisk en tilpasning av den klassiske elektriske dipolmodellen , hvor dipolmomentet er variabelt over tid, sinusformet.

Vi vurderer en dublett av ladninger {q, -q} (hvor q kan være positiv eller negativ). Belastningen q er festet i O i referanserammen for studien. -Q-belastningen er mobil, ligger i med . Systemet har derfor et variabelt dipolmoment med . I tillegg antar vi bevegelsen til den ikke-relativistiske partikkelen ( svak foran ). M(t){\ displaystyle M (t)}OM(t)→=z0cos⁡(ωt)uz→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM (t)}} = z_ {0} \ cos (\ omega t) {\ vec {u_ {z}}}}s→(t)=cos⁡(ωt)s0→{\ displaystyle {\ vec {p}} (t) = \ cos (\ omega t) {\ vec {p_ {0}}}}s0→=z0quz→{\ displaystyle {\ vec {p_ {0}}} = z_ {0} q {\ vec {u_ {z}}}}z0ω{\ displaystyle z_ {0} \ omega}vs.{\ displaystyle c}

Deretter vil vi bare forsøke å bestemme ladningenes lange avstandsfelt , i detalj senere. I kortere avstand fra dipolen, faktisk, er strukturen i feltet lik den for den statiske (elektriske eller magnetiske) dipolen, og varierer lineært med øyeblikket . s→{\ displaystyle {\ vec {p}}}

Vi plasserer oss i sfæriske koordinater av sentrum O, av akse . Projeksjonsbasen som er vurdert er da , direkte, med radial og meridian . (Oz→){\ displaystyle (O {\ vec {z}})}(ur→,uθ→,uϕ→){\ displaystyle ({\ vec {u_ {r}}}, {\ vec {u _ {\ theta}}}, {\ vec {u _ {\ phi}}})}ur→{\ displaystyle {\ vec {u_ {r}}}}uθ→{\ displaystyle {\ vec {u _ {\ theta}}}}

Feltberegning

Ved linearitet av Maxwells ligninger er det genererte feltet variabelt, harmonisk av pulsasjon  ; derfor har den elektromagnetiske bølgen bølgelengde , hvor er lysets hastighet i mediet betraktet ( i vakuum ). ω{\ displaystyle \ omega}λ=2πvs.′ω{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi c '} {\ omega}}}vs.′{\ displaystyle c '}vs.{\ displaystyle c}

Strukturen til det genererte feltet er spesielt komplisert, gitt kraften som belastningen beveger seg (modellen for den harmoniske progressive planbølgen er ikke gyldig her, bortsett fra å studere langdistanseutbredelsen av feltet generert i mediet. , ved å tilnærme bølgefronter med tangente planter). Man antar altså at man studerer feltet med en radius av punktet O stort foran . r{\ displaystyle r}λ{\ displaystyle \ lambda}

De tre tilnærmingene kan derfor oppsummeres av:

• λ>>z0{\ displaystyle \ lambda >> z_ {0}} : ikke-relativistisk bevegelse av M
• r>>z0{\ displaystyle r >> z_ {0}} : dipolar tilnærming
• r>>λ{\ displaystyle r >> \ lambda} : strålesone som ansett som stor sammenlignet med bølgelengden.

Så, på et punkt (som representerer styrke , det vil si vinkelen ), blir de elektriske og magnetiske feltene opprettet uttrykt: P(r,θ,ϕ){\ displaystyle P (r, \ theta, \ phi)}θ{\ displaystyle \ theta}(uz→,OP→)^{\ displaystyle {\ widehat {({\ vec {u_ {z}}}, {\ overrightarrow {OP}})}}

E→(z,θ,t)=-μ04πrω2‖s0→‖synd⁡θcos⁡[ω(t-rvs.′)]uθ→{\ displaystyle {\ vec {E}} (z, \ theta, t) = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r}} \ omega ^ {2} \ | {\ vec { p_ {0}}} \ | \ sin \ theta \ cos \ left [\ omega \ left (t - {\ frac {r} {c '}} \ right) \ right] {\ vec {u _ {\ theta }}}} B→(z,θ,t)=-μ04πrvs.′ω2‖s0→‖synd⁡θcos⁡[ω(t-rvs.′)]uϕ→{\ displaystyle {\ vec {B}} (z, \ theta, t) = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi rc '}} \ omega ^ {2} \ | {\ vec {p_ {0}}} \ | \ sin \ theta \ cos \ left [\ omega \ left (t - {\ frac {r} {c '}} \ right) \ right] {\ vec {u _ {\ phi}}}}

Hvor er den magnetiske permeabiliteten til vakuum . μ0{\ displaystyle \ mu _ {0}}

Demonstrasjon

Vi skal demonstrere i et vakuum. For å studere et hvilket som helst medium og oppnå de ovennevnte relasjonene, er det tilstrekkelig å erstatte c med c 'i alle uttrykkene som følger.

Vi vil bruke skalarpotensialet og vektorpotensialet til å gjøre studien vår. Vi har og . ϕ{\ displaystyle \ phi}PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}B→=∇→∧PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {B}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}}}E→=-∇→ϕ-∂PÅ→∂t{\ displaystyle {\ overrightarrow {E}} = - {\ overrightarrow {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ overrightarrow {A}}} {\ partial t}}}

Vi vil også bruke Lorentz-måleren:

∇→⋅A→+μ0ϵ0∂ϕ∂t=0{\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}

Vi har således: ∇→∧B→=∇→∧(∇→∧PÅ→)=∇→(∇→⋅PÅ→)-∇→2PÅ→=μ0j→+μ0ϵ0(-∇→∂ϕ∂t-∂2PÅ→∂t2){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {B}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}}) = {\ overrightarrow {\ nabla}} ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}}) - {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} = \ mu _ {0} {\ overrightarrow {j}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} \ left (- {\ overrightarrow {\ nabla}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t }} - {\ frac {\ partial ^ {2} {\ overrightarrow {A}}} {\ partial t ^ {2}}} \ right)}

Så ifølge Lorentz-måleren: ∇→(∇→⋅PÅ→+μ0ϵ0∂ϕ∂t)=∇→2PÅ→-μ0ϵ0∂2PÅ→∂t2+μ0j→=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ left ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ delvis ^ {2} {\ overrightarrow {A}}} {\ partial t ^ {2}}} + \ mu _ {0} {\ overrightarrow {j}} = 0}

Vektorpotensialet verifiserer derfor:

◻A→=∇→2A→−1c2∂2A→∂t2=−μ0j→{\displaystyle \Box {\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {\nabla }}^{2}{\overrightarrow {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\overrightarrow {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\overrightarrow {j}}}

På samme måte viser vi at: ∇→⋅E→=∇→⋅(-∇→ϕ-∂PÅ→∂t)=ρϵ0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {E}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot \ left (- {\ overrightarrow {\ nabla}} \ phi - {\ frac { \ partial {\ overrightarrow {A}}} {\ partial t}} \ right) = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}

Og med Lorentz-måleren: -∇→2ϕ+μ0ϵ0∂2ϕ∂t2=ρϵ0{\ displaystyle {\ overrightarrow {- \ nabla}} ^ {2} \ phi + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ { 2}}} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}

Så skalarpotensialet tilfredsstiller:

◻ϕ=∇→2ϕ−1c2∂2ϕ∂t2=−ρϵ0{\displaystyle \Box \phi ={\overrightarrow {\nabla }}^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}

Vi vet imidlertid hvordan vi skal løse disse ligningene. Vi må bruke formlene for forsinkede potensialer. Virkningen av og er ikke øyeblikkelig. j→{\ displaystyle {\ overrightarrow {j}}}ρ{\ displaystyle \ rho}

Så vi har:

A→(r→,t)=μ04π∫j→(r′→,t′)|r→−r′→|dr′→{\displaystyle {\overrightarrow {A}}({\overrightarrow {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\overrightarrow {j}}({\overrightarrow {r'}},t')}{|{\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r'}}|}}d{\overrightarrow {r'}}}

og:

V(r→,t)=14πϵ0∫ρ(r′→,t′)|r→−r′→|dr′→{\displaystyle V({\overrightarrow {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\overrightarrow {r'}},t')}{|{\overrightarrow {r}}-{\overrightarrow {r'}}|}}d{\overrightarrow {r'}}}

hvor . t′=t-|r→-r′→|vs.{\ displaystyle t '= t - {\ frac {| {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {r'}} |} {c}}}

La oss starte med å beregne . PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}

Med tanke på systemet vårt kan vi skrive: hvor . PÅ→(r→,t)=-μ04πqv→(t-|r→-OM→|vs.)|r→-OM→|{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}} ({\ overrightarrow {r}}, t) = {\ frac {- \ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {q {\ overrightarrow {v }} (t - {\ frac {| {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {OM}} |} {c}})} {| {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {OM}} |}}}v→=OM→˙{\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} = {\ dot {\ overrightarrow {OM}}}}

Imidlertid kan tidsderivatet av dipolmomentet skrives om . s→˙=-qv→{\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {p}}} = - q {\ overrightarrow {v}}}

Så vektorpotensialet blir: PÅ→(r→,t)=μ04πs→˙(t-|r→-OM→|vs.)|r→-OM→|{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}} ({\ overrightarrow {r}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ dot {\ overrightarrow { p}}} (t - {\ frac {| {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {OM}} |} {c}})} {| {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {OM }} |}}}

La oss bruke bipolart tilnærming, som tillater oss å skrive , derfor . Ved hjelp av flere ikke-relativistisk hypotese, gi , og at du kan overse tidsforskjellen mellom og (rekkefølgen ) og skriv: . |r→|≫|OM→|{\ displaystyle | {\ overrightarrow {r}} | \ gg | {\ overrightarrow {OM}} |}|r→-OM→|∼|r→|=r{\ displaystyle | {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {OM}} | \ sim | {\ overrightarrow {r}} | = r}λ≫z0{\ displaystyle \ lambda \ gg z_ {0}}t-|r→-OM→|vs.{\ displaystyle t - {\ frac {| {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {OM}} |} {c}}}t-rvs.{\ displaystyle t - {\ frac {r} {c}}}z0vs.≪λvs.{\ displaystyle {\ frac {z_ {0}} {c}} \ ll {\ frac {\ lambda} {c}}}s→˙(t-|r→-OM→|vs.)∼s→˙(t-rvs.){\ displaystyle {\ dot {\ overrightarrow {p}}} (t - {\ frac {| {\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {OM}} |} {c}}) \ sim {\ dot { \ overrightarrow {p}}} (t - {\ frac {r} {c}})}

Så

PÅ→(r→,t)=μ04πs→˙(t-rvs.)r{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}} ({\ overrightarrow {r}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ dot {\ overrightarrow { p}}} (t - {\ frac {r} {c}})} {r}}}

Vi kan enkelt beregne magnetfeltet takket være  : B→=∇→∧PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {B}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}}}

B→(r→,t)=μ04πsynd⁡θ(s˙(t-rvs.)r2+s¨(t-rvs.)rvs.)eϕ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {B}} ({\ overrightarrow {r}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ sin {\ theta} \ left ({\ frac {{\ dot {p}} (t - {\ frac {r} {c}})} {r ^ {2}}} + {\ frac {{{\ ddot {p}} (t - {\ frac {r} {c}})} {rc}} \ right) {\ overrightarrow {e _ {\ phi}}}}

For å beregne det elektriske feltet kan man enten beregne skalarpotensialet eller bruke Maxwell-Ampere-ligningen.

Vi oppnår :

E→(r→,t)=14πϵ0(2cos⁡θ[1r2vs.s˙(t-rvs.)+1r3s(t-rvs.)]er→+synd⁡θ[sr3+s˙(t-rvs.)r2vs.+s¨(t-rvs.)rvs.2]eθ→){\ displaystyle {\ overrightarrow {E}} ({\ overrightarrow {r}}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left (2 \ cos {\ theta} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2} c}} {\ dot {p}} (t - {\ frac {r} {c}}) + {\ frac {1} {r ^ { 3}}} p (t - {\ frac {r} {c}}) \ høyre] {\ overrightarrow {e_ {r}}} + \ sin {\ theta} \ left [{\ frac {p} {r ^ {3}}} + {\ frac {{\ dot {p}} (t - {\ frac {r} {c}})} {r ^ {2} c}} + {\ frac {{\ ddot {p}} (t - {\ frac {r} {c}})} {rc ^ {2}}} \ høyre] {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}} \ høyre)}

Vi vil forenkle disse uttrykkene ved å plassere oss i strålingssonen, som er slik at det , som tilsvarer å beholde bare vilkårene som har kraften til det laveste (fordi i størrelsesorden, og ). r≫λ{\ displaystyle r \ gg \ lambda}r{\ displaystyle r}s˙r2vs.∼2πsr3rλ{\ displaystyle {\ frac {\ dot {p}} {r ^ {2} c}} \ sim 2 \ pi {\ frac {p} {r ^ {3}}} {\ frac {r} {\ lambda }}}s¨rvs.2∼4π2sr3(rλ)2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {p}} {rc ^ {2}}} \ sim 4 \ pi ^ {2} {\ frac {p} {r ^ {3}}} \ left ({\ frac {r} {\ lambda}} høyre) ^ {2}}

Vi får derfor:

E→(r→,t)=synd⁡θ4πϵ0rvs.2s¨(t-rvs.)eθ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {E}} ({\ overrightarrow {r}}, t) = {\ frac {\ sin {\ theta}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} {rc ^ {2}} }} {\ ddot {p}} (t - {\ frac {r} {c}}) {\ overrightarrow {e _ {\ theta}}}} og: B→(r→,t)=μ0synd⁡θ4πrvs.s¨(t-rvs.)eϕ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {B}} ({\ overrightarrow {r}}, t) = {\ frac {\ mu _ {0} \ sin {\ theta}} {4 \ pi {rc}}} {\ ddot {p}} (t - {\ frac {r} {c}}) {\ overrightarrow {e _ {\ phi}}}}

For å oppnå uttrykkene ovenfor er det tilstrekkelig å skrive de andre derivatene av dipolmomentet.

 

Vi kjenner strukturen til en progressiv sfærisk bølge av pulsasjon og bølgemodul . Det er også anisotropisk , feltet er maksimalt i ekvatorialplanet, og null langs dipolaksen. ω{\ displaystyle \ omega}ωvs.′{\ displaystyle {\ frac {\ omega} {c '}}}

applikasjoner

Denne modellen er opprinnelsen til operasjonen med å sende ut dipolantenner : hvert element av metallisk lengde som krysses av en variabel strøm, betraktes som en elementær oscillerende dipol; det totale felt som er opprettet er da integralet over lengden på antennen til feltene generert av de elementære dipolene.

Det forklarer også strålingen av akselererte ladede partikler, og generaliseres av modellen for elektrisk dipolstråling og magnetisk dipolstråling .

Merknader og referanser

1. passende demonstrasjon

Relaterte artikler

• Larmor's Formula