Tilskuddsformel

Den komplement formel betegner en egenskap ved gamma-funksjon  :

For ethvert komplekst tall z hvis virkelige del er strengt mellom 0 og 1 ,

Γ(1-z)Γ(z)=πsynd⁡πz.{\ displaystyle \ Gamma (1-z) \; \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin \ pi z}.}

Denne eiendommen ble oppdaget av Leonhard Euler .

Demonstrasjon

Vi vurderer beta-funksjonen

B(s,q)=∫01ts-1(1-t)q-1dt.{\ displaystyle \ mathrm {B} (p, q) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p-1} (1-t) ^ {q-1} \, \ mathrm {d} t .}

Ved å sette z- komplekset av den reelle delen mellom 0 og 1, og ved å gjøre endringen av variablene u = t ⁄ 1- t , får vi likhet:

B(z,1-z)=∫01tz-1(1-t)-zdt=∫0+∞uz-11+udu=∫0+∞f(u)du.{\ displaystyle \ mathrm {B} (z, 1-z) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {z-1} (1-t) ^ {- z} \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {z-1}} {1 + u}} \, \ mathrm {d} u = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (u) \, \ mathrm {d} u.}

Vi beregner denne integralen av restsetningen . For dette definerer vi følgende bane for 0 <ε <1 < R  :

• C ε halvsirkelen av radius ε på halvplanet Re ( w ) <0
• de to segmentene Sε,R±={±Jegε,±Jegε+R2-ε2}{\ displaystyle S _ {\ varepsilon, R} ^ {\ pm} = \ {\ pm \ mathrm {i} \ varepsilon, \ pm \ mathrm {i} \ varepsilon + {\ sqrt {R ^ {2} - \ varepsilon ^ {2}}} \}}
• buen til en sirkel Γε,R={ReJegθ,θ∈[arctan⁡εR2-ε2,2π-arctan⁡εR2-ε2]}{\ displaystyle \ Gamma _ {\ varepsilon, R} = \ left \ lbrace R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}, \ theta \ in \ left [\ arctan {\ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {R ^ {2} - \ varepsilon ^ {2}}}}, 2 \ pi - \ arctan {\ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {R ^ {2} - \ varepsilon ^ {2}} }} \ right] \ right \ rbrace}

Ved å velge ε og R slik at punktet w = -1 er i kjeften, gir restsetningen

∫VSεf(w)dw+∫Sε,R+f(w)dw+∫Γε,Rf(w)dw+∫Sε,R-f(w)dw=2JegπRes(-1,f).{\ displaystyle \ int _ {C _ {\ varepsilon}} f (w) dw + \ int _ {S _ {\ varepsilon, R} ^ {+}} f (w) dw + \ int _ {\ Gamma _ {\ varepsilon, R}} f (w) dw + \ int _ {S _ {\ varepsilon, R} ^ {-}} f (w) dw = 2 \ mathrm {i} \ pi \ mathrm {Res} ( -1, f).}

Ved å få ε til å gå mot 0 og R mot uendelig, kommer det av Jordans lemma at integralene på C ε og Γ ε, R har en tendens til 0. På den annen side, ved å vurdere komplekse logaritmer , kommer det:

∀t>0,(t+Jegε)1-z⟶ε→0t1-z , (t-Jegε)1-z⟶ε→0t1-ze-2Jegπz.{\ displaystyle \ forall t> 0, \ quad (t + \ mathrm {i} \ varepsilon) ^ {1-z} {\ undersett {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ longrightarrow}} t ^ {1-z} \, \ (t- \ mathrm {i} \ varepsilon) ^ {1-z} {\ undersett {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ longrightarrow}} t ^ {1-z} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi z}.}

Dermed har vi etter forenklinger:

2JegπRes(-1,f)=(1-e2Jegπz)∫0+∞uz-11+udu.{\ displaystyle 2 \ mathrm {i} \ pi \ mathrm {Res} (-1, f) = (1- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi z}) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {z-1}} {1 + u}} \, \ mathrm {d} u.}

Dessuten :

Res(-1,f)=limw→-11w1-z=-eJegπz.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (-1, f) = \ lim _ {w \ to -1} {\ frac {1} {w ^ {1-z}}} = - \ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} \ pi z}.}

Så, forenkle

B(z,1-z)=∫0+∞uz-11+udu=πsynd⁡(πz).{\ displaystyle \ mathrm {B} (z, 1-z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {z-1}} {1 + u}} \, \ mathrm {d} u = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi z)}}.}

Det er tilstrekkelig å huske definisjonen av beta-funksjonen fra Eulers Gamma-funksjon for å konkludere.

Relatert artikkel

Funksjonell ligning av zeta-funksjonen

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">