Stokes hypotese

Avledningen av Navier-Stokes-ligningene ved hjelp av metoden for bevaringslover i makroskopisk skala tillater ikke å uttrykke tensoren til de viskøse påkjenningene . Vi må legge til hypotesen om den newtonske væsken . Selv på dette stadiet forblir det en ukjent konstant i tensoren. George Gabriel Stokes foreslo i 1845 et a priori- uttrykk som gjør det mulig å beregne dette ukjente, det er Stokes-hypotesen .

Denne proposisjonen forble hypotetisk til arbeidet til Sydney Chapman og David Enskog i 1916-1917 som rettferdiggjorde det for en gass med lav tetthet (hvor interaksjonstiden under en molekylær kollisjon er ubetydelig sammenlignet med den gjennomsnittlige varigheten av gratis flytur) ved å løse Boltzmann ligning ved en metode for forstyrrelser av den termodynamiske likevektsfordelingen : dette er Chapman-Enskog-metoden .

Newtons væskehypotese

Vi merker:

$\ sigma _ {{ij}}$ den spenning stensoren eller press tensor,
$\ tau _ {{ij}}$ den tensor av de viskøse påkjenninger ,
${\ displaystyle S_ {kl}}$ de tøyningshastighet tensor .

Vi antar :

at for en væske i hvile er spenningen hydrostatisk, derfor isotrop

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = - p \ delta _ {ij}}

Vi definerer på denne måten et trykk som for en gass er det termodynamiske trykket i seg selv definert av en tilstandsligning . Når det gjelder en ideell gass, er dette relatert til temperaturen T ved forholdet der n er antall partikler per volumenhet og k Boltzmann-konstanten .

{\ displaystyle p = nkT}

Tensoren for de viskøse påkjenningene blir trukket ut av den som den ytterligere betegnelse indusert av væskens bevegelse

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = - p \ delta _ {ij} + \ tau _ {ij}}

at væsken er isotrop (stress-belastningsforholdet er uavhengig av koordinatsystemet). Det antas videre at stress-belastningsforholdet er lineært. Man kan da skrive spenningstensoren i følgende form

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = - p \ delta _ {ij} + \ lambda \, \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \, \ delta _ {ij} + \ mu \ left [\ nabla \ mathbf {V} + \ left (\ nabla \ mathbf {V} \ right) ^ {t} - {\ frac {2} {3}} \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \, \ delta _ {ij} \ Ikke sant]}

hvor er den dynamiske viskositeten relatert til skjær, den siste termen i ligningen ovenfor, og volumviskositeten knyttet til en ekspansjon (andre periode). $\ mu$ $\ lambda$

Noen ganger introduserer vi den andre viskositeten , i så fall vil vi skrive: ${\ displaystyle \ beta = \ lambda - {\ frac {2} {3}} \ mu}$

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = - p \ delta _ {ij} + \ mu \ left [\ nabla \ mathbf {V} + \ left (\ nabla \ mathbf {V} \ right) ^ {t} - {\ frac {2} {3}} \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \, \ delta _ {ij} \ right] + \ left (\ beta + {\ frac {2} {3}} \ mu \ høyre) \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \, \ delta _ {ij}}

Stokes hypotese

Hvis man ignorerer viskositeten knyttet til utvidelsen eller $\ lambda = 0$

{\ displaystyle \ beta + {\ frac {2} {3}} \ mu = 0}

Å løse Boltzmann-ligningen for sparsomme gasser viste at dette var sant i fravær av utveksling mellom translasjons- eller rotasjonsenergi og intern energi under en interaksjon på molekylært nivå, og ble bekreftet av erfaring med monoatomiske gasser . Ellers er det et trykk som tilsettes det termodynamiske trykket. Denne verdien er generelt veldig lav, men har blitt demonstrert for forskjellige polyatomiske gasser.

Når det gjelder tette gasser eller væsker, har David Enskog vist at forholdet mellom Stokes er brutt. Men i motsetning til gasser med lav tetthet tillater ikke denne teorien beregning av viskositetskoeffisienter fra molekylære interaksjoner.

Referanser

Patrick Chassaing , væskemekanikk. Element av en første reise. , Cepadues ,2010, 533 s. ( ISBN 978-2-85428-929-9 og 2-85428-929-3 )
(in) Rutherford Aris , Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. , New York, Dover publikasjoner ,1962, 286 s. ( ISBN 0-486-66110-5 , les online )
(in) GJ Prangsma, AH Alberga og JJM Beenakker, " Ultrasonic Determination of the Viskosity Volume of N2, CO, CH4 and CD4 entre 77 and 300 K " , Physica , vol. 64, n o to 1973
(i) Joseph Oakland Hirschfelder , Charles Francis Curtiss og Robert Byron Bird , Molecular Theory of Gases and Liquids , Wiley ,1966( ISBN 978-0-471-40065-3 )