Markov ulikhet

I sannsynlighetsteori , Markov ulikhet gir en økning i sannsynligheten for at en virkelig tilfeldig variabel med positive verdier er større enn eller lik en positiv konstant. Denne ulikheten ble oppkalt til ære for Andrei Markov .

Stater

Markov-ulikhet - La $Z være$ en reell tilfeldig variabel definert på et sannsynlighetsrom og antatt nesten sikkert å være positiv eller null. Så ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}$

{\ displaystyle \ forall a> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}.}

Demonstrasjon

Enten . Vi noterer oss indikatorfunksjonen til arrangementet . ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ {Z \ geqslant a \}}}$ ${\ displaystyle \ {Z \ geqslant a \}}$

Vi har ulikheten:

{\ displaystyle \ forall \ omega \ i \ Omega, \ qquad a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega) \, \ mathbf {1 } _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega)}

fordi er positivt eller null. $Z$

Ved vekst i forventning har vi:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z) \ qquad ( *)}

Deretter, etter forventningens linearitet:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ left (1 \ times \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) +0 \ times \ mathbb { P} (Z <a) \ right) = a \, \ mathbb {P} \ left (Z \ geqslant a \ right)}

Ved å injisere uttrykket i ulikheten får vi: $(*)$

{\ displaystyle a \, \ mathbb {P} \ left (Z \ geqslant a \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z)}

det er å si

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (Z \ geqslant a \ right) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}}

Generalisering

Det er en mer generell versjon av denne teoremet. La $X være$ en stokastisk variabel der $Ω$ er det sett av erkjennelser, er stammen av hendelser og mål på sannsynlighet. Deretter kan Markov-ulikheten uttales som følger: ${\ textstyle L ^ p (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})}$ ${\ textstyle \ mathcal {F}}$ ${\ textstyle \ mathbb {P}}$

Markov ulikhet - For enhver strengt positiv reell , $\ alfa$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (| X | \ geq \ alpha \ right) \ leq {\ frac {1} {\ alpha ^ {p}}} \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ høyre)}

Demonstrasjonen tar helt til det faktum at for alle $α$ strengt positive . Her, $1$ $A$ betegner en indikator på arrangementet $A$ . Ved å øke forventningen får vi: ${\ textstyle \ alpha ^ {p} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ leq | X | ^ {p}}$

E(|X|s)≥E(αs1{|X|≥α})=αsE(1{|X|≥α})=αsP{|X|≥α}{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ right) \ geq \ mathbb {E} \ left (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ right) \ geq \ mathbb {E} \ left (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

Ved å dele på hver side av ulikheten med

α p

finner vi ønsket resultat.

Vi ser straks at resultatet sitert ovenfor ikke er annet enn et spesielt tilfelle av denne ulikheten.

Videre, ved å ta og $p$ $= 2, får$ vi nøyaktig utsagnet om Bienaymé-Chebyshev ulikhet . ${\ textstyle X = Y- \ mathbb {E} \ left (Y \ right)}$

Resultat

Den har en ofte brukt følge:

Konsekvens - Let $fy$ en ikkenegativ økende funksjon på et intervall $jeg$ . La $Y være$ en virkelig tilfeldig variabel definert på et sannsynlighetsrom slik at . Så: ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ i I) = 1}$

{\ displaystyle \ forall b \ i I \; | \; \ phi (b)> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi ( Y))} {\ phi (b)}}.}

Demonstrasjon

Vi bruker Markov-ulikheten til og for å oppnå: ${\ displaystyle Z = \ phi (Y) \}$ ${\ displaystyle a = \ phi (b)}$

{\ displaystyle \ forall b> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ left (\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \ right) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y ))} {\ phi (b)}}}

Vekst fører til: . $\ phi$ ${\ displaystyle \ {Y \ geqslant b \} \ delmengde \ {\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \} \}$

Derfor: . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y))} {\ phi (b)}}}$

applikasjoner

Valget, i ovennevnte ulikhet, mellom og $ϕ ($ $x$ $) =$ $x$ $2$ gir Bienaymé-Chebyshev ulikhet . ${\ displaystyle Y = | X- \ mathbb {E} (X) |, ~ I = [0, + \ infty [\}$

Valget, i ovennevnte ulikhet, mellom , eller , og av $ϕ ($ $x$ $) = e$ $λ$ $x$ , $λ> 0$ , er det første trinnet i beviset på Chernoff-ulikheten eller Hoeffding-ulikheten . ${\ displaystyle Y = X- \ mathbb {E} (X)}$ ${\ displaystyle Y = \ mathbb {E} (X) -X}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {R}}$

Markovs ulikhet blir ofte brukt i forbindelse med Borel-Cantelli-lemmaet , for eksempel for å bevise den sterke loven til et stort antall .

Eksempel

Siden lønnene er positive, er andelen av befolkningen som mottar en lønn som er større enn 5 ganger gjennomsnittslønnen, maksimalt en femtedel.

Se også