Generell omvendt-gaussisk lov

Generell omvendt-gaussisk lov



Innstillinger	${\ displaystyle \ delta \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ gamma \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$
Brukerstøtte	${\ displaystyle [0, \ infty [}$
Sannsynlighetstetthet	${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma} {\ delta}} \ right) ^ {\ lambda} {\ frac {1} {2K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} x ^ { \ lambda -1} e ^ {- {\ frac {1} {2}} (\ gamma ^ {2} x + {\ frac {\ delta ^ {2}} {x}})}}$
Håp	${\ displaystyle {\ frac {\ delta K _ {\ lambda +1} (\ delta \ gamma)} {\ gamma \ K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}}}$
Mote	${\ displaystyle {\ frac {(\ lambda -1) + {\ sqrt {(\ lambda -1) ^ {2} + (\ delta \ gamma) ^ {2}}}} {\ gamma ^ {2}} }}$
Forskjell	${\ displaystyle \ left ({\ frac {^ {\ delta}} {\ gamma}} \ right) ^ {2} \ left [{\ frac {K _ {^ {\ lambda} +2} (\ delta \ gamma)} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} - \ venstre ({\ frac {K _ {\ lambda +1} (\ delta \ gamma)} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} \ høyre) ^ {2} \ høyre]}$
Moment-genererende funksjon	${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma ^ {2} -2t}} \ right) ^ {\ frac {\ lambda} {2}} {\ frac {K _ { \ lambda} ({\ sqrt {\ delta ^ {2} (\ gamma ^ {2} -2t}})} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}}}$
Karakteristisk funksjon	${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma ^ {2} -2it}} \ right) ^ {\ frac {^ {\ lambda}} {2}} {\ frac { K _ {\ lambda} ({\ sqrt {\ delta ^ {2} (\ gamma ^ {2} -2it}})} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}}}$

I sannsynlighetsteori og statistikk er den inverse gaussiske generaliserte loven (GIG for å reversere generalisert gaussisk distribusjon på engelsk) en sannsynlighetsfordeling som fortsetter å generalisere den inverse gaussiske fordelingen ved å innføre en tredje parameter.

Denne loven brukes for eksempel i geostatistikk , hydrologi eller økonomi . Det ble opprinnelig foreslått av statistikeren og hydrologen Étienne Halphen, deretter ble loven popularisert av Ole Barndorff-Nielsen (i) som ga den navnet, så vel som av Herbert Sichel (i) , loven er også kjent som navnet på Sichels lov .

Notasjonen indikerer at den tilfeldige variabelen X følger en generalisert invers-gaussisk lov. ${\ displaystyle X \ sim GIG (\ lambda, \ delta, \ gamma)}$

Karakterisering

Den sannsynlighetstettheten til den generaliserte inverse-gaussisk lov er gitt ved:

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma} {\ delta}} \ right) ^ {\ lambda} {\ frac {1} {2K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} x ^ {\ lambda -1} e ^ {- {\ frac {1} {2}} (\ gamma ^ {2} x + {\ frac {\ delta ^ {2 }} {x}})} og {\ text {si}} x> 0 \\ 0 og {\ text {ellers}} \ slutt {cases}}}

hvor er den modifiserte Bessel-funksjonen av den tredje typen og parameteren , og parametrene verifiserer: ${\ displaystyle \ scriptstyle K _ {\ lambda}}$ $\ scriptstyle \ lambda$

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ delta \ geq 0 \ ;, \; \ gamma> 0 \; & {\ text {si}} \ lambda> 0 \ ;, \\\ delta> 0 \ ;, \ ; \ gamma> 0 \; & {\ text {si}} \ lambda = 0 \ ;, \\\ delta> 0 \ ;, \; \ gamma \ geq 0 \; & {\ text {si}} \ lambda <0. \ End {cases}}}

Entropi

Den entropi av generalisert invers-Gauss lov er gitt ved:

{\ displaystyle H (f (x)) = \ log \ left ({\ frac {\ delta} {\ gamma}} \ right) + \ log \ left (2K _ {\ lambda} \ left (\ delta \ gamma \ høyre) \ høyre) - (\ lambda -1) {\ frac {\ venstre [{\ frac {d} {d \ nu}} K _ {\ nu} \ venstre (\ delta \ gamma \ høyre) \ høyre ] _ {\ nu = \ lambda}} {K _ {\ lambda} \ venstre (\ delta \ gamma \ høyre)}} + {\ frac {\ delta \ gamma} {2K _ {\ lambda} \ venstre (\ delta \ gamma \ høyre)}} venstre (K _ {\ lambda +1} \ venstre (\ delta \ gamma \ høyre) + K _ {\ lambda -1} \ venstre (\ delta \ gamma \ høyre) \ høyre )}

hvor er derivatet med hensyn til rekkefølgen på Bessel-funksjonen endret og evaluert i . ${\ displaystyle \ left [{\ frac {d} {d \ nu}} K _ {\ nu} \ left (\ delta \ gamma \ right) \ right] _ {\ nu = \ lambda}}$ $\naken$ ${\ displaystyle \ nu = \ lambda}$

Koblinger til andre lover

Hvor er loven en omvendt-gaussisk lov . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda = -1 / 2}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {GIG}} (- 1/2, \ delta, \ gamma)}$
Den gamma Loven er et spesialtilfelle av den generaliserte inverse-Gaussian lov for . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ delta = 0}$

Referanser

DOI : 10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189)
(en) Ernst Eberlein og Ernst Hammerstein , “ Generaliserte hyperbolske og inverse gaussiske distribusjoner: begrensende tilfeller og tilnærming av prosesser ” , Progress in Probability , vol. 58,2004, s. 221-264 ( les online )