Bézout-metoden
Den Bézout metode , forestilte og utviklet av Étienne Bézout i 1762, er en generell metode for å løse algebraiske ligninger.
Denne metoden forsøker å redusere ligningen vi ønsker å løse til andre ligninger i mindre grad. Denne kjedelige metoden mislykkes definitivt for ligninger som er større enn eller lik fem som har en uløselig Galois- gruppe. Det har en konkret interesse bare for ligninger av grad 3.
Prinsipp for metoden
Vurder en ligning av grad n :
påikkexikke+påikke-1xikke-1+⋯+på1x+på0=0{\ displaystyle \ qquad a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}
La r være en niende primære rot til enhet.
Vi vet at n n- th røttene til enhet 1, r , r 2 ,…, r n -1 verifiserer forholdet:
1+r+r2+⋯+rikke-1=0{\ displaystyle \ qquad 1 + r + r ^ {2} + \ cdots + r ^ {n-1} = 0}
Bézouts metode består i å finne røttene til den studerte ligningen i form av lineære kombinasjoner av enhetens niende røtter .
x=b0+b1r+b2r2+⋯+bikke-1rikke-1{\ displaystyle \ qquad x = b_ {0} + b_ {1} r + b_ {2} r ^ {2} + \ cdots + b_ {n-1} r ^ {n-1}}
For å gjøre dette begynner vi med å eliminere r mellom de to relasjonene:
1+r+r2+⋯+rikke-1=0{\ displaystyle \ qquad 1 + r + r ^ {2} + \ cdots + r ^ {n-1} = 0}
x=b0+b1r+b2r2+⋯+bikke-1rikke-1{\ displaystyle \ qquad x = b_ {0} + b_ {1} r + b_ {2} r ^ {2} + \ cdots + b_ {n-1} r ^ {n-1}}
Dette gir oss en ligning av grad n i x hvis koeffisienter er uttrykk avhengig av b 0 , b 1 , b 2 , ..., b n -1 . Ved å identifisere koeffisientene til denne ligningen med de tilsvarende koeffisientene til ligningen som skal løses, oppnår vi et system med ligninger av ukjente b 0 , b 1 , b 2 , ..., b n som etter å ha løst og overført de forskjellige løsningene i:
x=b0+b1r+b2r2+⋯+bikke-1rikke-1{\ displaystyle \ qquad x = b_ {0} + b_ {1} r + b_ {2} r ^ {2} + \ cdots + b_ {n-1} r ^ {n-1}}
vil gi oss løsningene til ligningen vi satte oss for å løse.
Vi vil vise metoden i følgende eksempel:
6x3-6x2+12x+7=0 {\ displaystyle 6x ^ {3} -6x ^ {2} + 12x + 7 = 0 ~}
La oss stille:
j=e2Jegπ3 {\ displaystyle \ mathrm {j} = \ mathrm {e} ^ {\ frac {2 \ mathrm {i} \ pi} {3}} ~}
j er en av enhetens kubiske røtter og bekrefter derfor:
j3=1 {\ displaystyle \ mathrm {j} ^ {3} = 1 ~}
La oss se etter røttene i formen:
x=på+bj+vs.j2(∗) {\ displaystyle x = a + b \ mathrm {j} + c \ mathrm {j} ^ {2} \ qquad (*) ~}
Vi vil eliminere j mellom de to siste ligningene.
De to siste ligningene er i form:
{j3=1x-på-bj=vs.j2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathrm {j} ^ {3} = 1 \\ xab \ mathrm {j} = c \ mathrm {j} ^ {2} \ end {matrix}} \ Ikke sant.}
Ved å lage suksessive medlems-til-medlem-produkter og erstatte hver gang den av de to ligningene hvis grad i forhold til j er den høyeste av resultatet, vil vi gradvis senke ligningsgraden i forhold til j til j forsvinner fra en av ligningene.
Et første medlem-til-medlem produkt gir oss:
{bj2=jx-påj-vs.x-på-bj=vs.j2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} b \ mathrm {j} ^ {2} = \ mathrm {j} xa \ mathrm {j} -c \\ xab \ mathrm {j} = c \ mathrm { j} ^ {2} \ end {matrix}} \ høyre.}
Et annet medlem-til-medlem produkt gir oss:
{vs.jx-påvs.j+b2j=bx+vs.2-påbx-på-bj=vs.j2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} c \ mathrm {j} x-ac \ mathrm {j} + b ^ {2} \ mathrm {j} = bx + c ^ {2} -ab \\ xab \ mathrm {j} = c \ mathrm {j} ^ {2} \ end {matrix}} \ right.}
Et tredje medlem-til-medlem produkt gir oss:
{vs.jx-påvs.j+b2j=bx+vs.2-påbpåb2-på2vs.-b2x+2påvs.x-vs.x2=2påbvs.j-b3j-vs.3j-2bvs.jx{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} c \ mathrm {j} x-ac \ mathrm {j} + b ^ {2} \ mathrm {j} = bx + c ^ {2} -ab \\ ab ^ {2} -a ^ {2} cb ^ {2} x + 2acx-cx ^ {2} = 2abc \ mathrm {j} -b ^ {3} \ mathrm {j} -c ^ {3} \ mathrm {j} -2bc \ mathrm {j} x \ end {matrix}} \ right.}
Et siste medlem-til-medlem produkt eliminerer j og gir oss ligningen:
x3-3påx2+(3på2-3bvs.)x+3påbvs.-på3-b3-vs.3=0 {\ displaystyle x ^ {3} -3ax ^ {2} + (3a ^ {2} -3bc) x + 3abc-a ^ {3} -b ^ {3} -c ^ {3} = 0 ~ }
Ved å identifisere koeffisientene til denne ligningen med koeffisientene til ligningen som vi må løse, får vi:
{-3på=-13på2-3bvs.=23påbvs.-på3-b3-vs.3=76{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} -3a = -1 \\ 3a ^ {2} -3bc = 2 \\ 3abc-a ^ {3} -b ^ {3} -c ^ { 3} = {\ frac {7} {6}} \ end {matrix}} \ høyre.}
Fra den første ligningen trekker vi ut verdien av en som vi overfører til de andre ligningene, vi får:
{på=13bvs.=-59bvs.-b3-vs.3=6554{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} a = {\ frac {1} {3}} \\ bc = - {\ frac {5} {9}} \\ bc-b ^ {3} - c ^ {3} = {\ frac {65} {54}} \ end {matrix}} \ høyre.}
Husk verdien av a og legg produktet bc i den tredje ligningen, vi får:
{bvs.=-59b3+vs.3=-9554{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} bc = - {\ frac {5} {9}} \\ b ^ {3} + c ^ {3} = - {\ frac {95} {54} } \ end {matrise}} \ høyre.}
Ved å kubere de to medlemmene av den første ligningen får vi:
{b3vs.3=-125729b3+vs.3=-9554 {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} b ^ {3} c ^ {3} = - {\ frac {125} {729}} \\ b ^ {3} + c ^ {3} = - {\ frac {95} {54}} \ end {matrix}} \ høyre. ~}
b 3 og c 3 er derfor røttene til ligningen:
X2+9554X-125729=0 {\ displaystyle X ^ {2} + {\ frac {95} {54}} X - {\ frac {125} {729}} = 0 ~}
De to røttene til denne ligningen er:
b3=554,vs.3=-5027 {\ displaystyle b ^ {3} = {\ frac {5} {54}}, \, c ^ {3} = - {\ frac {50} {27}} ~}
De tre parene ( b , c ) som bekrefter:
bvs.=-59 {\ displaystyle bc = - {\ frac {5} {9}} ~}
dermed er:
b1=13523ogvs.1=-13503{\ displaystyle b_ {1} = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2}}} \ quad {\ text {and}} \ quad c_ { 1} = - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {50}}} ;
b2=j3523ogvs.2=-j23503{\ displaystyle b_ {2} = {\ frac {\ mathrm {j}} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2}}} \ quad {\ text {and}} \ quad c_ {2} = - {\ frac {\ mathrm {j} ^ {2}} {3}} {\ sqrt [{3}] {50}}} ;
b3=j23523ogvs.3=-j3503{\ displaystyle b_ {3} = {\ frac {\ mathrm {j} ^ {2}} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2}}} \ quad {\ text {et}} \ quad c_ {3} = - {\ frac {\ mathrm {j}} {3}} {\ sqrt [{3}] {50}}}.
Ved å utsette verdiene til funnet, oppnår vi
(∗){\ displaystyle (*)}på,b,vs.{\ displaystyle a, b, c}x1=13+13523j-13503j2{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2}}} \ mathrm {j} - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt [{3}] {50}} \ mathrm {j} ^ {2}},
x2=13+j3523j-j23503j2{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {\ mathrm {j}} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2} }} \ mathrm {j} - {\ frac {\ mathrm {j} ^ {2}} {3}} {\ sqrt [{3}] {50}} \ mathrm {j} ^ {2}} og
x3=13+j23523j-j3503j2{\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {\ mathrm {j} ^ {2}} {3}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5 } {2}}} j - {\ frac {j} {3}} {\ sqrt [{3}] {50}} \ mathrm {j} ^ {2}},
som etter forenkling gir
x1=13(1+j523-j2503){\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {1} {3}} \ left (1+ \ mathrm {j} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2}}} - \ mathrm {j} ^ {2} {\ sqrt [{3}] {50}} \ høyre)},
x2=13(1+j2523-j503){\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {1} {3}} \ left (1+ \ mathrm {j} ^ {2} {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2}} } - \ mathrm {j} {\ sqrt [{3}] {50}} \ høyre)} og
x3=13(1+523-503){\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {1} {3}} \ left (1 + {\ sqrt [{3}] {\ frac {5} {2}}} - {\ sqrt [{3} ] {50}} \ høyre)},
som er de tre røttene til ligningen som vi måtte løse.
Andre metoder for å løse ligninger
Ekstern lenke
Tekst av Bézout (1764) om oppløsningen av algebraiske ligninger , online og kommentert Bibnum
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">