Halley-metoden
I numerisk analyse er Halleys metode en algoritme for å finne et null av en funksjon som brukes til funksjoner av en reell variabel som kan avledes to ganger og med kontinuerlig andre derivat (dvs. C 2 ). Metoden, presentert av astronomen Edmond Halley , er en generalisering av Newtons metode , med kubisk konvergens .
Stater
La f være en funksjon c² og har en null for f . Halleys metode består av iterering
xikke+1=xikke-2f(xikke)f′(xikke)2[f′(xikke)]2-f(xikke)f"(xikke){\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {2f (x_ {n}) f '(x_ {n})} {2 {[f' (x_ {n})]} ^ {2} -f (x_ {n}) f '' (x_ {n})}}}fra en verdi x 0 nær a .
I nabolaget til a sjekker sekvensen:
|xikke+1-på|<K|xikke-på|3{\ displaystyle | x_ {n + 1} -a | <K | x_ {n} -a | ^ {3}},
med K > 0; som betyr at konvergensen derfor er (i verste fall) kubisk.
Fradrag
Formelen er trukket for eksempel fra Newtons metode brukt på funksjonen :
g=f/f′{\ displaystyle g = f / {\ sqrt {f '}}}
xikke+1=xikke-g(xikke)g′(xikke){\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {g (x_ {n})} {g '(x_ {n})}}},
med
g′(x)=2[f′(x)]2-f(x)f"(x)2f′(x)f′(x),{\ displaystyle g '(x) = {\ frac {2 {[f' (x)]} ^ {2} -f (x) f '' (x)} {2f '(x) {\ sqrt {f '(x)}}}},}derav resultatet. Hvis f ′ ( c ) = 0, gjelder dette bare hvis g kan utvides til c .
Merknader og referanser
-
Edmond Halley , " En ny, nøyaktig og enkel metode for å finne røttene til alle ligninger generelt, og det uten noen tidligere reduksjon ", Philosophical Transaction of the Royal Society, London , vol. 18,1694, s. 136-145
Se også
Interne lenker
Eksterne linker
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">