Riemannian beregning

I differensialgeometri er Riemannian-beregninger den grunnleggende forestillingen om Riemannian-geometri . Den første introduksjonen ble gitt av Bernhard Riemann i 1854. Hans artikkel om emnet ble imidlertid publisert etter hans død i 1868. Samme år publiserte Hermann von Helmholtz lignende resultater.

Riemanniske beregninger er forskjellige familier med positive bestemte kvadratiske former .

Definisjoner

På en vektor bunt E → M , en Riemannisk metrikk g er dataene for en punktproduktet g x på hver fiber E x som avhenger av hvor glatt basispunktet x varierende M . Mer formelt er x↦g x et snitt ved et hvilket som helst positivt bestemt punkt i vektorpakken S 2 E → M av symmetriske bilineære former. Vi sier at dataene ( E, g ) er en Riemannian-pakke .

For to Riemannian-bunter ( E, g ) og ( F, g ' ) på M , er en Riemannian buntmorfisme f :( E, g ) → ( E, g' ) en vektorbuntmorfisme f: E → E ' slik at , for ethvert punkt x av M , er det lineære kartet f x : E x → F x en lineær isometri , det vil si:

\ forall v, w \ i E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Hvis M er en differensialmanifold, er en Riemannian-beregning på M ganske enkelt en Riemannian-beregning på dens tangentbunt . Dataene ( M, g ) er en Riemannian manifold .

Gitt to Riemann-manifolder ( M, g ) og ( N, g ' ), er en isometri F :( M, g ) → ( N, g' ) et differensierbart kart F: M → N slik at tangentkartet dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) er en morfisme av Riemann-bunter. Denne siste tilstanden blir omskrevet: F * g '= g .

Eksempler

Ethvert skalarprodukt på ℝ n induserer på en hvilken som helst triviell vektorpakke M × ℝ n → M a Riemannian-beregning: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
La oss være en Riemann-beregning på E → M og P en manifold. For en differensierbar funksjon ψ: P → M eksisterer det på vektorpakken trukket tilbakeIndusert fiber ψ * E → P en unik Riemannisk beregning ψ * g slik at den naturlige morfismen ψ * E → E er en isomorfisme av Riemannian-bunter.
Ved g er en Riemannisk metrikk på E → M , deretter ved restriksjons , g definerer en Riemannisk metrikk på en hvilken som helst vektor subbundle av E .
Grensen for Minkowski-beregningen når c nærmer seg uendelig er en buntmåling. Tiden blir absolutt og romtid er fiber over, vi finner transformasjonen av Galileo . Ved to forskjellige tider er beregningen tidsforskjellen. På samme tid, i en fiber av rom isomorf til , er metrisk det vanlige skalære produktet. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Eksistens

På en hvilken som helst parakompakt basevektorbunt eksisterer det en Riemannian-beregning.

Demonstrasjoner

Bevis via en partisjon av enheten.

For enhver tilstrekkelig liten åpen U av M er vektorbunten π -1 ( U ) → U trivialiserbar. Men ovenfra innrømmer enhver trivialiserbar vektorpakke en Riemann-beregning. Så det eksisterer en Riemannisk metrisk g U på π -1 ( U ).

Ved hjelp av paracompacity av M , eksisterer det en tellbar overlapping ( U n ) n ∈ℕ av M slik at for et hvilket som helst heltall n eksisterer det et Riemannisk metrikk g n på vektoren bunten π -1 ( U n ) → U n . La (ϕ n ) n ∈ℕ være en partisjon av enheten underlagt ( U n ) n ∈ℕ . Kartet x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ) er et globalt snitt av S 2 π -1 ( U n ) → U n null i nærheten av grensen ∂ U n . Den utvides med en global seksjon av S 2 E → M , feil betegnet med x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ). ${\ displaystyle 0}$

Vi spør da:

g = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Det er et snitt av S 2 E → M , og det er veldefinert positivt på ethvert punkt i M : hvis hører hjemme i støtten til , og for en hvilken som helst ikke-null vektor av ,

x

x

\ phi _ {n}

v

Eks}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Bevis via innebygging.

Det eksisterer en vektorpakke F → M slik at E ⊕ F → M kan trivialiseres. Brukt på dette nivået paracompactness av M . Så det er en Riemannsk metrikk på E ⊕ F → M som begrenser til en Riemannsk metrikk på E → M .

Selv om det tilsynelatende er kortere, skjuler dette andre argumentet vanskeligheten ved eksistensen av . Denne eksistensen appellerer også til et enhetsdelingsargument . $F$

Spesielt :

På en hvilken som helst parakompakt differensialmanifold eksisterer det en Riemannian-beregning.

Se også