Janssen-modell
Denne modellen ble introdusert av HA Janssen i 1895 og ble deretter utviklet av John William Strutt Rayleigh i 1906 for å forklare loven om trykk i kornsiloer. Det gjør det mulig å svare på fenomenet silosprengning som kan vises når sistnevnte er for fullt. Denne modellen er imidlertid basert på sterke antagelser, andre mer presise modeller gjenspeiler bedre fenomenet.
Hypoteser
Vi betrakter en sylinder med radius fylt med korn over en høyde . Den første hypotesen er å betrakte det granulære mediet som et kontinuerlig tetthetsmedium . Så er det to andre hypoteser:
R{\ displaystyle R}
H{\ displaystyle H}
ρ{\ displaystyle \ rho}![\ rho](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
- En vertikal belastning frembringer et horisontalspenning som er direkte proporsjonal med: . Janssen-koeffisienten støtter effekten av buer som dannes inne i det granulære mediet. Merk at vi ville hatt hvis trykket var isotropisk, slik det er for eksempel for en væskesz{\ displaystyle p_ {z}}
sr{\ displaystyle p_ {r}}
sr=Ksz{\ displaystyle p_ {r} = Kp_ {z}}
K{\ displaystyle K}
K=1{\ displaystyle K = 1}![{\ displaystyle K = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664e812426e011891ed84ff62421ec49e21f7159)
- Mot veggen vi er ved grensen for likevekt, enten ved å notere den friksjonskoeffisient , har vi forholdet mellom de normale og tangentielle reaksjoner:μs{\ displaystyle \ mu _ {s}}
T=μsIKKE{\ displaystyle T = \ mu _ {s} N}
Balanse
Tenk på et lite siloskive i høyden (overflate og sideoverflate ). I projeksjon på skrives likevekten:
dz{\ displaystyle dz}
S=πR2{\ displaystyle S = \ pi R ^ {2}}
dSl=2πRdz{\ displaystyle dS_ {l} = 2 \ pi Rdz}
e→z{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}![{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d7dc5dd50fc55f2d715e40e466e29e28a56ffb)
dT-dP+sz(z)S-sz(z+dz)S=0{\ displaystyle dT-dP + p_ {z} (z) S-p_ {z} (z + dz) S = 0}
Den 3 e Newtons lov gir:dIKKE=sr(z)dSl{\ displaystyle dN = p_ {r} (z) dS_ {l}}
Vi trekker derfor ut med 2 forutsetninger Janssen . Ved å injisere dette resultatet i likevektsligningen og legge til uttrykket av vekten til det har vi:
dT=μsKsz(z)dSl{\ displaystyle dT = \ mu _ {s} Kp_ {z} (z) dS_ {l}}
dP=ρgSdz{\ displaystyle dP = \ rho gSdz}![{\ displaystyle dP = \ rho gSdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc717a0e78d81dba3ed241ceeb97355caae5c6d8)
μsKsz(z)dSl-ρgSdz-dsdzdzS=0{\ displaystyle \ mu _ {s} Kp_ {z} (z) dS_ {l} - \ rho gSdz - {\ frac {dp} {dz}} dzS = 0}
Forenkling ved å til slutt få differensiallikningen bekreftet av den vertikale begrensningen:
Sdz{\ displaystyle Sdz}![{\ displaystyle Sdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbec959a0c0d282604520c40e8398e206c5559d)
dszdz-szλ=-ρg{\ displaystyle {\ frac {dp_ {z}} {dz}} - {\ frac {p_ {z}} {\ lambda}} = - \ rho g}
Med karakteristisk lengde: λ=R2Kμs{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {R} {2K \ mu _ {s}}}}
Trykkprofil i siloen
Den vertikale begrensningen tilfredsstiller en lineær differensialligning av første orden som man enkelt løser med tilstanden øverst på bunken :
sz{\ displaystyle p_ {z}}
sz(H)=0{\ displaystyle p_ {z} (H) = 0}![{\ displaystyle p_ {z} (H) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b742826cdf8d33c7e7109f2facf9f3b8cb6887)
sz(z)=λρg(1-e-H-zλ){\ displaystyle p_ {z} (z) = \ lambda \ rho g (1-e ^ {- {\ frac {Hz} {\ lambda}}})}
En slik profil betyr at trykket i siloen er mettet. Faktisk, i en fast høyde hvis spenningen påføres, det vil si når siloen fylles på ubestemt tid, er spenningen mettet . Ved å ta 1 m hypotese fra Janssen, forstår vi hva som skjer fysisk: når man støper en kornmasse, blir en del reflekteres vertikalt og den andre siden (effekt av "hvelv"), og er den sistnevnte som er ansvarlig for sprengning av siloer . Ofte er sidedelen av siloen, i motsetning til bunnen, ikke laget for å tåle tunge belastninger.
z{\ displaystyle z}
H→∞{\ displaystyle H {\ xrightarrow {}} \ infty}
sz→λρg{\ displaystyle p_ {z} {\ xrightarrow {}} \ lambda \ rho g}![{\ displaystyle p_ {z} {\ xrightarrow {}} \ lambda \ rho g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c871055b74bec9a1b8a0db77c9b3f7d31463f91)
Tilsynelatende masse i bunnen av siloen
La oss gå tilbake til uttrykket for vertikal belastning, men denne gangen i bunnen av siloen:
sz(0)=λρg(1-e-Hλ){\ displaystyle p_ {z} (0) = \ lambda \ rho g (1-e ^ {- {\ frac {H} {\ lambda}}})}
Hvis vi vil ha den tilsynelatende massen i bunnen av siloen, uttrykkes dette som enten:
mpåss=sz(0)Sg{\ displaystyle m_ {app} = {\ frac {p_ {z} (0) S} {g}}}![{\ displaystyle m_ {app} = {\ frac {p_ {z} (0) S} {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6a94970ad41e2c950c0fa2de55911981f7b55e)
mpåss=λρS(1-e-Hλ){\ displaystyle m_ {app} = \ lambda \ rho S (1-e ^ {- {\ frac {H} {\ lambda}}})}
Ved å merke den kritiske massen og ved å merke seg at den teoretiske massen som helles uttrykkes som , får vi uttrykk for den tilsynelatende massen i bunnen av siloen som en funksjon av massen som teoretisk helles i den:
mvs.=λρS{\ displaystyle m_ {c} = \ lambda \ rho S}
mth=HρS{\ displaystyle m_ {th} = H \ rho S}![{\ displaystyle m_ {th} = H \ rho S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69aafe9809937c66913cc9876db6167adc03b459)
mpåss=mvs.(1-e-mthmvs.){\ displaystyle m_ {app} = m_ {c} (1-e ^ {- {\ frac {m_ {th}} {m_ {c}}}})}
Fysisk betyr dette resultatet at selv om vi fyller siloen på ubestemt tid, vil ikke massen vi måler i bunnen ikke overstige den kritiske massen . Av hensyn til bevaring av massen forstår vi at hvis vi ikke finner massen som helles i bunnen av røret, er det fordi en del av den blir absorbert av den laterale delen av siloen.
mvs.{\ displaystyle m_ {c}}![{\ displaystyle m_ {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81125728206d5d371eabf428b75f6abdd7faa5f4)
Hvelvfenomener
I denne delen vil vi studere grensesaker. For enkelhets skyld bemerker vi dybden i bunken. Trykket i det er derfor som en funksjon av dybden:
δ=H-z{\ displaystyle \ delta = Hz}![{\ displaystyle \ delta = Hz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43376e6c8330afbe133f51b244aabcb43b00734f)
sz(δ)=λρg(1-e-δλ){\ displaystyle p_ {z} (\ delta) = \ lambda \ rho g (1-e ^ {- {\ frac {\ delta} {\ lambda}}})}
Når (grunne dybder): med andre ord den tilsynelatende massen er nær massen, blir de nedre sonene konvensjonelt utsatt for vekten av de øvre sonene.
δ≪λ{\ displaystyle \ delta \ ll \ lambda}
sz(δ)≈ρgδ{\ displaystyle p_ {z} (\ delta) \ approx \ rho g \ delta}![{\ displaystyle p_ {z} (\ delta) \ approx \ rho g \ delta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc954439a7c2785fda4cfa86293e44e1eb2c214d)
Når (store dybder): med andre ord den tilsynelatende massen er nær den kritiske massen, gjennomgår ikke de nedre sonene vekten til de øvre sonene.
δ≫λ{\ displaystyle \ delta \ gg \ lambda}
sz(δ)≈λρg{\ displaystyle p_ {z} (\ delta) \ approx \ lambda \ rho g}![{\ displaystyle p_ {z} (\ delta) \ approx \ lambda \ rho g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cdbc832e7ef896c1ab5e74232a3d3b0add606d)
Derfor gir vi en fysisk betydning for lengden : den karakteriserer hvelvenes posisjon (i dybden). Over disse blir vi utsatt for vekten av kornkolonnen, mens under er vi beskyttet mot den.
λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
Merknader og referanser
-
(en) HA Janssen, " Undersøkelser av kornpress i silo " , Vereins Eutscher Ingenieure Zeitschrift ,1895, s. 1045-1049
-
[1]
-
(in) Matthias Sperl, " Eksperimenter på trykk i mais siloceller - oversettelse og hvordan Janssens papir fra 1895 " , Granular Matter ,Mai 2006, s. 59–65 ( ISSN 1434-5021 , les online )
-
Ph. Claudin , “ Fysikken til sandbunker. Fenomenologisk beskrivelse av forplantning av spenninger i granulære materialer ”, Annales de Physique , vol. 24 n o to1 st januar 1999, s. 1–207 ( ISSN 0003-4169 og 1286-4838 , DOI 10.1051 / anphys: 199902001 , leses online , åpnes 14. mai 2017 )
-
Duran, Jacques. , Sand, pulver og korn: en introduksjon til fysikk av granulære materialer , Springer,2000, 214 s. ( ISBN 978-1-4612-6790-4 , OCLC 606280798 , les online )
-
(in) Pierre-Gilles de Gennes, " Granular matter: a attempt view " , Anmeldelser av moderne fysikk ,1999( les online )
-
Loïc Vanel , “ Eksperimentell studie av den mekaniske likevekten i et granulært medium: eksempler på siloen og sandbunken. » [PDF] , Pierre og Marie Curie University - Paris VI,1999(åpnet 30. mai 2017 )
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">