Partikkel i en boks

I fysikk er partikkelen i en boks (eller brønn med kvadratpotensial ) en enkel representasjon av et system som gjelder kvantemekanikk . Vi studerer en partikkel som er begrenset i et begrenset område av rommet takket være vegger med uendelig potensial i kantene av denne regionen. Partikkelen utsettes ikke for kraft inne i esken, men holdes der av en uendelig kraft i kantene. Det er en situasjon som ligner på en gass som er innelukket i en container. For å forenkle, blir det endimensjonale tilfellet behandlet først. Vi vil trekke ut ligningene til de to- og tredimensjonale tilfellene.

Løsningen av Schrödinger-ligningen for en partikkel i problemet med en boks avslører kvanteoppførsel som er i samsvar med eksperimentet, men i strid med spådommene fra klassisk mekanikk . Dette er en nyttig illustrasjon siden denne oppførselen ikke blir "tvunget" av systemet, den kommer naturlig fra de første forholdene.

Partikkelens oppførsel

Kvanteoppførselen til en fri partikkel i en boks består av:

Kvantifisering av energi - Partikkelen kan bare ta visse veldefinerte energiverdier (diskretisering av energi). (Dette er forskjellig fra resultatet av et lignende system innen klassisk mekanikk der systemet teoretisk kunne ta alle mulige kontinuerlige energiverdier mellom de to grensene.)
En grunntilstand av ikke-null energi - Den laveste energien er strengt tatt større enn verdien av det laveste potensialet.
Noder - I motsetning til klassisk mekanikk, forutsier Schrödingers ligning at visse stater har noder, noe som resulterer i posisjoner der partikkelen ikke kan bli funnet.

Produksjon

Produksjonen utføres ofte ved bruk av vekst av krystaller på et halvledersubstrat (Silicon, GaAs, etc.). Vi får dermed et slags kunstig atom, mye større faktisk (~ 100x), men som vi fritt kan velge absorpsjonslinjene (farge og fysiske egenskaper) av. En av disse kvantepunktene brukes industrielt i en sender med variabel frekvens der en kraft på krystallet forårsaker en modifisering av frekvensen.

Saken til partikkelen i en endimensjonal boks

For det endimensjonale tilfellet, for eksempel i retning av aksen , kan den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen skrives som: $x$

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} + V (x) \ psi = E \ psi \ quad (1)}

eller

\ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}

hvor h er Plancks konstant , m er massen til partikkelen, ψ er den (eventuelt kompleks) bølgefunksjonen Vi må derfor finne, V ( x ) er en funksjon som beskriver potensialet for hver verdi av x og E er energi , en ekte Nummer. For tilfellet av partikkelen i en én-dimensjonal boks av lengde L , er potensialet null inne i boksen, og er uendelig i x = 0 og x = L . For regionen i boksen V ( x ) = 0 og ligning (1) reduseres til:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} = E \ psi \ quad (2)}

Dette er et velkjent egenverdiproblem som har den generelle løsningen

{\ displaystyle \ psi = A \ sin (kx) + B \ cos (kx) \ quad}

{\ displaystyle E = {\ frac {k ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2m}} \ quad (3)}

der A og B er komplekse tall , og k er et reelt tall ( k må være ekte fordi E er ekte).

For å finne de spesifikke løsningene for problemet med en partikkel i en potensiell brønn, må vi spesifisere grensebetingelsene og finne verdiene til A og B som tilfredsstiller disse forholdene. For det første krever det ψ lik null for x = 0 og x = L . Disse forholdene kan tolkes som en uendelig verdi av potensialet ved disse posisjonene, så det er umulig å finne partikkelen på disse stedene. Dermed er sannsynligheten for å finne partikkelen, det vil si | ψ | 2 , bør være liten i disse regionene og reduseres når potensialet øker. I tilfelle av et uendelig potensiale, | ψ | 2 må være null, derfor må ψ være null i denne regionen. Oppsummert,

{\ displaystyle \ psi (0) = \ psi (L) = 0 \ quad (4)}

For det andre vil man finne løsningene som tilsvarer den gratis forplantningsdelen på slutten av denne artikkelen: dette tilfellet tvinger ikke bølgefunksjonen til å avbryte ved grensene. Dette betyr at når partikkelen når en grense for brønnen, forsvinner den øyeblikkelig på den siden av brønnen for bare å dukke opp igjen på den andre siden, som om brønnen var en slags torus . Verdien av løsningene er diskutert i den aktuelle delen. Vi gjenopptar nå avledningen med avbestillingsbetingelser ved grensen.

Ved å erstatte den generelle løsningen av ligning 3 i ligning 2 og plassere oss på x = 0 ( ψ = 0), finner vi at B = 0 (fordi sin (0) = 0 og cos (0) = 1). Det følger at bølgefunksjonen må ha formen:

{\ displaystyle \ psi = A \ sin (kx) \ quad (5)}

og i x = L finner vi:

{\ displaystyle \ psi = A \ sin (kL) = 0 \ quad (6)}

En løsning for ligning 6 er A = 0, men denne "trivielle løsningen" vil antyde at ψ = 0 når som helst (dvs. at partikkelen ikke er i esken) og kan kastes. Hvis A ≠ 0 så er sin ( kL ) = 0, som bare gjelder når:

{\ displaystyle kL = n \ pi \ quad {\ textrm {with}} \ quad n = 1,2, \ ldots}

{\ displaystyle \ mathrm {derfor} \ quad k = {\ frac {n \ pi} {L}} \ quad (7)}

(legg merke til at n = 0 ikke er egnet fordi da ψ = 0 når som helst, tilsvarende tilfellet der partikkelen ikke er i esken). Negative verdier av n blir også neglisjert, fordi de ganske enkelt endrer tegn på synd ( nx ). For å finne A , bruker vi det faktum at sannsynligheten for å finne partikkelen et eller annet sted er 1. Derfor er verdien til integralen av | ψ | 2 på x-aksen:

{\ displaystyle 1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | \ psi \ right | ^ {2} \, dx = \ left | A \ right | ^ {2} \ int _ {0 } ^ {L} \ sin ^ {2} kx \, dx = \ left | A \ right | ^ {2} {\ frac {L} {2}}}

fra hvor

{\ displaystyle \ left | A \ right | = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ quad (8)}

Dermed kan A være et hvilket som helst komplekst tall med norm √ (2 / L); disse forskjellige verdiene av A tilsvarer den samme fysiske tilstanden. Vi velger derfor A = √ (2 / L) for enkelhets skyld.

Til slutt, ved å erstatte resultatene av ligning 7 og 8 i ligning 3, får vi den komplette løsningen for problemet med en endimensjonal partikkel i en boks:

{\ displaystyle E_ {n} = {\ frac {n ^ {2} \ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} = {\ frac {n ^ {2} h ^ {2}} {8 ml ^ {2}}}, \ quad n = 1,2, \ cdots \ quad (9)}

{\ displaystyle \ psi _ {n} = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right) \ quad (10) }

Merk at, som nevnt tidligere, bare "kvantifiserte" energinivåer er mulige. Siden n ikke kan være null, er den laveste energien i henhold til ligning 9 også ikke-null. Denne grunntilstanden for ikke-null energi kan forklares med usikkerhetsprinsippet . Siden partikkelen blir tvunget til å bevege seg i et begrenset område, øker avviket i posisjonene. I følge usikkerhetsprinsippet kan således ikke variansen til partikkelmomentet (momentum) være null, partikkelen har derfor en viss mengde energi som bare øker når lengden på boksen, L , avtar.

Siden ψ er sammensatt av sinusbølger, for noen verdier på n større enn en, er det områder i boksen som ψ så vel som ψ 2 er lik 0, og indikerer dermed at det for disse energinivåene finnes noder i boksen der sannsynligheten for å finne en partikkel er null.

Partikkelen i en 2 eller 3 dimensjonal boks

For det todimensjonale tilfellet er partikkelen begrenset i en rektangulær overflate med lengden L x i x- retning og L y i y- retning . Potensialet er fortsatt null i "boksen" og uendelig på veggene. For den indre sonen av boksen, der potensialet er null, skrives det todimensjonale uttrykket som ligner ligning 2:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac { \ partial ^ {2} \ psi} {\ partial y ^ {2}}} \ right) = E \ psi \ quad (11)}

I dette tilfellet er ψ en funksjon av x og y, derav ψ = ψ ( x , y ). For å løse ligning 11 bruker vi en metode for å skille variabler . For det første antar vi at ψ kan uttrykkes som et produkt av to uavhengige funksjoner, den første avhenger bare av x og den andre bare av y , dvs.

{\ displaystyle \ psi (x, y) = X (x) Y (y) \ quad (12)}

Ved å erstatte ligning 12 i ligning 11 og evaluere delderivatene (som blir enkle derivater, avhenger X bare av x og Y på y):

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left (Y {\ frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} + X {\ frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} \ høyre) = EXY \ quad (13)}

som ved deling med XY og innstilling av d 2 X / d x 2 = X "og d 2 Y / d y 2 = Y " blir:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ venstre ({\ frac {X ''} {X}} + {\ frac {Y ''} {Y}} \ høyre) \ quad = E \ quad (14)}

Vi har nå oppmerksom på at siden X "/ X er uavhengig av det , en variant av det kan bare endre betegnelsen Y '/ Y . I følge ligning 14 endrer imidlertid variasjon av Y "/ Y uten å variere X " / X også E , eller E er konstant, så Y "/ Y må også være en konstant uavhengig av y. Samme resonnement kan brukes til å vise at X "/ X er uavhengig av x . Siden X "/ X og Y " / Y er konstante, kan vi skrive:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {X ''} {X}} = E_ {x} \ quad and \ quad - {\ frac {\ hbar ^ { 2}} {2m}} {\ frac {Y ''} {Y}} = E_ {y} \ quad (15)}

hvor E x + E y = E . Ved å bruke den forrige notasjonen for X "og Y " får vi:

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} X} {dx ^ {2}}} = E_ {x} X \ quad (16)}

{\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} Y} {dy ^ {2}}} = E_ {y} Y \ quad (17)}

hver av disse ligningene har samme form som den endimensjonale Schrödinger-ligningen (ligning 2) som vi løste i forrige avsnitt. I følge forrige del har vi således:

{\ displaystyle X_ {n_ {x}} = {\ sqrt {\ frac {2} {L_ {x}}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ {x} \ pi x} {L_ {x} }} \ høyre) \ quad (18)}

{\ displaystyle Y_ {n_ {y}} = {\ sqrt {\ frac {2} {L_ {y}}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ {y} \ pi y} {L_ {y} }} \ høyre) \ quad (19)}

Til slutt, siden ψ = XY og E = E x + E y , får vi løsningene:

{\ displaystyle \ psi _ {n_ {x}, n_ {y}} = {\ sqrt {\ frac {4} {L_ {x} L_ {y}}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ { x} \ pi x} {L_ {x}}} høyre) \ sin \ venstre ({\ frac {n_ {y} \ pi y} {L_ {y}}} \ høyre) \ quad (20)}

{\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = {\ frac {h ^ {2}} {8m}} \ left [\ left ({\ frac {n_ {x}} {L_ {x} }} \ høyre) ^ {2} + \ venstre ({\ frac {n_ {y}} {L_ {y}}} \ høyre) ^ {2} \ høyre] \ quad (21)}

Den samme teknikken for å skille variabler kan brukes på det tredimensjonale tilfellet for å gi løsningen:

{\ displaystyle \ psi _ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {\ sqrt {\ frac {8} {L_ {x} L_ {y} L_ {z}}}} \ sin \ left ({\ frac {n_ {x} \ pi x} {L_ {x}}} \ høyre) \ sin \ left ({\ frac {n_ {y} \ pi y} {L_ {y}}} \ høyre) \ sin \ left ({\ frac {n_ {z} \ pi z} {L_ {z}}} høyre) \ quad (22)}

{\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {\ frac {h ^ {2}} {8m}} \ left [\ left ({\ frac {n_ {x}} {L_ {x}}} \ høyre) ^ {2} + \ venstre ({\ frac {n_ {y}} {L_ {y}}} \ høyre) ^ {2} + \ venstre ({\ frac {n_ {z}} {L_ {z}}} \ høyre) ^ {2} \ høyre] \ quad (23)}

En interessant egenskap ved løsningene ovenfor er at når to eller flere av lengdene er like (f.eks. L x = L y ), er det flere bølgefunksjoner som tilsvarer samme totale energi . For eksempel har bølgefunksjonen med n x = 2, n y = 1 den samme energien som bølgefunksjonen med n x = 1, n y = 2. Denne situasjonen kalles degenerasjon . For tilfellet hvor nøyaktig to degenererte bølgefunksjoner har samme energi, sies dette energinivået å være dobbelt degenerert . Degenerasjon er et resultat av systemets symmetri. For ovennevnte tilfelle er to av lengdene like, så systemet er symmetrisk med en 90 ° rotasjon.

Gratis forplantning

Hvis potensialet er null (eller konstant) på et hvilket som helst punkt, definerer vi en fri partikkel. Dette medfører noen vanskeligheter med å normalisere bølgefunksjonen. En måte å omgå problemet er å begrense partikkelen i et endelig volum V av vilkårlig størrelse, der det ikke er noe hinder for forplantning. Når V → ∞, må vi gjenopprette den frie partikkelen, mens vi i mellomberegningene tillater bruk av riktig normaliserte tilstander. Når vi for eksempel beskriver en partikkel som beveger seg i et fast stoff, forventer vi ikke romlig lokaliserte tilstander, men tvert imot fullstendig delokaliserte tilstander (i det faste stoffet), noe som betyr at partikkelen forplanter seg gjennom ham (siden det kan være overalt med samme sannsynlighet, i motsetning til de sinusformede løsningene som vi har opplevd når partikkelen har foretrukne steder). Denne tolkningen følger av løsningene i Schrödinger-ligningen for et nullpotensial med grensebetingelsene kjent som " Von-Karman grensebetingelser ", med andre ord tar bølgefunksjonen de samme verdiene på motsatte sider av boksen., Men ikke nødvendigvis null. Det blir deretter sjekket at følgende funksjoner er løsning av ligning 1:

{\ displaystyle {\ textrm {en ~ 1D}}: \ \ psi _ {k} (x) = {1 \ over {\ sqrt {L}}} e ^ {ikx}, \ quad k = {2n \ pi \ over L}, n ​​\ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle {\ textrm {en ~ 3D}}: \ \ psi _ {\ mathbf {k}} (x) = {1 \ over {\ sqrt {L ^ {3}}}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}, \ quad k_ {x} = {2n_ {x} \ pi \ over L}, k_ {y} = {2n_ {y} \ pi \ over L}, k_ { z} = {2n_ {z} \ pi \ over L}, n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ in \ mathbb {Z}}

Energien forblir (jf. Likning 3), men her har k doble verdier av de for den forrige løsningen (jf. Likning 7). Dette er fordi i det forrige tilfellet var n strengt positiv, mens det her kan være negativt eller null (grunntilstanden). Løsningene der den sinusformede funksjonen ikke overlapper seg selv etter en oversettelse av L, kan ikke bli funnet ved hjelp av en eksponentiell, siden i denne tolkningen av en forplantende partikkel er derivatet diskontinuerlig ved kanter, betyr det at partikkelen får en uendelig hastighet ved denne plass. Dette viser at de to tolkningene gjenspeiler ulik atferd. ${\ displaystyle \ hbar ^ {2} k ^ {2} / 2m}$

Eksterne linker