Interaksjon representasjon

Den vekselvirkning representasjon eller Dirac representasjon av kvantemekanikken er en måte å håndtere tidsavhengige problemer.

Bruksbetingelse for interaksjonsrepresentasjonen

I samhandlingsrepresentasjonen bruker vi følgende antagelser:

Vi anser en Hamilton som har følgende form:

H^=H^0+V^(t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t)}

hvor er konstant over tid og beskriver en forstyrrende interaksjon som kan være tidsavhengig. H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}V^(t){\ displaystyle {\ hat {V}} (t)}

• Egenstatene er tidsavhengige
• De operatører er også tidsavhengige
• Dynamikken til stater er beskrevet i henhold til representasjonen av Schrödinger mens dynamikken til operatørene er beskrevet i henhold til representasjonen til Heisenberg .
• Diracs representasjon gjelder bare effektivt for visse problemer. Det mest talende eksemplet er tidsavhengige forstyrrelser.

Propagatorer

For å erkjenne at vi jobber i interaksjonsrepresentasjonen, vil tilstander og operatører bli fulgt av indeksen "I" (som interaksjon). Betydningen av denne representasjonen er at tidsavhengigheten på grunn av vil bli tatt i betraktning i den eksplisitte avhengigheten av de observerbare som en funksjon av tid og tidsavhengigheten som skyldes i utviklingen av bølgefunksjonen. Det er en annen måte å beskrive samme fysikk på. Dette betyr at de betydelige fysiske størrelsene er uendret. H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}V^(t){\ displaystyle {\ hat {V}} (t)}

Det er to operatører av evolusjon over tid:

• den "normale" operatøren i forhold til den komplette Hamiltonian  :H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

U^(t,t0)=e-JegH^(t-t0)/ℏ{\ displaystyle {\ hat {U}} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} (t-t_ {0}) / \ hbar}}

• operatøren om uforstyrret Hamilton  :H^0{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0}}

U^0(t,t0)=e-JegH^0(t-t0)/ℏ{\ displaystyle {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- i {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) / \ hbar }}

Definisjon av Hamiltonians og interaksjon bølgefunksjon

Den tidsavhengige operatøren er skrevet som i Heisenberg-representasjonen PÅ^Jeg(t){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {I} (t)}

PÅJeg(t)=U^0†(t,t0)PÅ^S(t0)U^0(t,t0)=eJegH^0(t-t0)ℏPÅ^S(t0)e-JegH^0(t-t0)ℏ.{\ displaystyle A_ {I} (t) = {\ hat {U}} _ {0} ^ {\ dolk} (t, t_ {0}) {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0 }) {\ hat {U}} _ {0} (t, t_ {0}) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t -t_ {0})} {\ hbar}} {\ hat {A}} _ {S} (t_ {0}) {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {i \, {\ hat { H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}}} \,.}

den tidsavhengige tilstanden er bare tilgjengelig indirekte, ved reduksjon (i Schrödingers representasjon) av tilstanden til den fulle dynamikken , for å definere. |ψ(t)⟩Jeg{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I}}|ψ(t)⟩S{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {\ rm {S}}}

|ψ(t)⟩Jeg=U^0†(t,t0)|ψ(t)⟩S=eJegH^0(t-t0)ℏ|ψ(t)⟩S.{\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle _ {I} = {\ hat {U}} _ {0} ^ {\ dolk} (t, t_ {0}) | \ psi (t) \ rangle _ { S} = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0})} {\ hbar}} | \ psi (t) \ rangle _ {S} \,.}

Derfra definerer vi også den tidsavhengige operatøren : HJeg(t){\ displaystyle H_ {I} (t)}

H^Jeg(t)=eJegH^0(t-t0)ℏH^0e-JegH^0(t-t0)ℏ=H^0.{\ displaystyle {\ hat {H}} _ {I} (t) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0 })} {\ hbar}} {\ hat {H}} _ {0} {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {i \, {\ hat {H}} _ {0} (t- t_ {0})} {\ hbar}}} \, = {\ hat {H}} _ {0}.}

Evolusjonsligninger av bølgefunksjonen og observerbare

Utviklingen av tilstandsfunksjonen er skrevet i denne representasjonen:

Jegℏddt|ψJeg(t)⟩=V^Jeg(t)|ψJeg(t)⟩{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = {\ hat {V}} _ {I} (t) | \ psi _ {I} (t) \ rangle}.

Denne ligningen er kjent som ligningen til Schwinger - Tomonaga . Utviklingen av den fysiske størrelsen representert av operatøren A er skrevet:

JegℏdPÅ^Jegdt=[PÅ^Jeg(t),H^0]+Jegℏ∂PÅ^Jeg∂t{\ displaystyle i \, \ hbar {\ frac {{\ rm {d}} {\ hat {A}} _ {I}} {{\ rm {d}} t}} = \ venstre [{\ hat { A}} _ {\ rm {I}} (t), {\ hat {H}} _ {0} \ right] + i \, \ hbar {\ frac {\ partial {\ hat {A}} _ { I}} {\ partial t}}}

	Representasjon:
	Heisenberg	Interaksjon	Schrödinger
Ket	konstant	|Ψ(t)⟩Jeg=U0-1|Ψ(t)⟩S{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {I} = U_ {0} ^ {- 1} | \ Psi (t) \ rangle _ {S}}	|Ψ(t)⟩S=U|Ψ(t0)⟩S{\ displaystyle | \ Psi (t) \ rangle _ {S} = U | \ Psi (t_ {0}) \ rangle _ {S}}
Observerbar	PÅH(t)=U-1PÅSU{\ displaystyle A_ {H} (t) = U ^ {- 1} A_ {S} U}	PÅJeg(t)=U0-1PÅSU0{\ displaystyle A_ {I} (t) = U_ {0} ^ {- 1} A_ {S} U_ {0}}	konstant
Evolusjonsoperatør	H^=H^0+V^(t){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H}} _ {0} + {\ hat {V}} (t)}	U(t,t0)=e-JegℏH^(t-t0){\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} (t-t_ {0})}} U0(t,t0)=e-JegℏH^0(t-t0){\ displaystyle U_ {0} (t, t_ {0}) = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ hat {H}} _ {0} (t-t_ {0}) }}
Kvantemekanikk  : Ehrenfest-teorem Schrödingers ligning Propagator

Se også

• A. Messias, kvantemekanikk (Dunod)
• JL Basdevant, kvantemekanikk-kurs ved polyteknikken (ellipser)
• JJ Sakurai og s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">