Innkalling fra Cesàro

Den cesàro-summering er, i analysen , en alternativ metode for å tilordne en sum til en serie . Hvis serien konvergerer i vanlig forstand, er serien også summerbar i betydningen Cesàro, og dens Cesàro-sum er lik den "klassiske" summen. På den annen side kan en serie som ikke konvergerer ha en veldefinert Cesàro-sum.

Innkallingen til Cesàro er oppkalt etter den italienske analytikeren Ernesto Cesàro (1859–1906).

Definisjon

Er :

$\ left (a_ {n} \ right) _ {{n \ in {\ mathbb {N}} ^ {*}}}$ en skikkelig oppfølger ;
${\ displaystyle S_ {k} = a_ {1} + \ cdots + a_ {k}}$ delsummen av rekkefølgen $k$ av serien , summen av $k$ første vilkår for . ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n}}$ $\ left (a_ {n} \ right) _ {{n \ in {\ mathbb {N}} ^ {*}}}$

Vi sier at serien er summerbar i betydningen Cesàro hvis gjennomsnittsverdien av dens delsummer $S$ $k$ har en tendens til : ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} S_ {k} = A}

$A$ er da Cesàro-summen av serien. Med andre ord er Cesàro-summen av en serie grensen for det aritmetiske gjennomsnittet av de $n$ første delsummen som $n$ har en tendens til uendelig.

I følge Cesàros lemma er en hvilken som helst konvergerende serie summerbar i betydningen Cesàro, og dens Cesàro-sum er lik summen av serien. På den annen side er det divergerende serier som likevel er summerbare i betydningen Cesàro.

Eksempler

1 - 1 + 1 - 1 ⋯

La sekvensen defineres av:

{\ displaystyle a_ {n} = {(- 1)} ^ {n + 1} = \ {1, -1,1, -1, \ ldots \}}

La $G være$ den tilsvarende serien:

{\ displaystyle G = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} = 1-1 + 1-1 + 1- \ cdots}

Da den sekvens av partielle summer er ${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}$

{\ displaystyle 1,0,1,0,1,0, \ ldots}

Det er således tydelig at $G-$ serien , også kjent som Grandi-serien , ikke er konvergent, fordi den veksler mellom to verdier. På den annen side er vilkårene for sekvensen $t n$ av delsummene til $s n$ der : ${\ displaystyle t_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} s_ {k}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}}, \, {\ frac {1} {2}}, \, {\ frac {2} {3}}, \, {\ frac {2} {4 }} = {\ frac {1} {2}}, \, {\ frac {3} {5}}, \, {\ frac {3} {6}} = {\ frac {1} {2}} , \, {\ frac {4} {7}}, \, {\ frac {4} {8}} = {\ frac {1} {2}}, \, \ ldots}

Her er sekvensen av delsummene til jevne indekser $t 2 n$ konstant lik $1/2$ og den for delsummen av odde indekser $t 2 n +1$ konvergerer til samme verdi (vi har $t 2 n +1 = ikke / 2 n -1$ ). Så det har vi gjort

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t_ {n} = 1/2.}

Summen av Cesàro i serien $G$ er 1/2.

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

La sekvensen defineres av:

{\ displaystyle a_ {n} = n = \ {1,2,3,4, \ ldots \}}

La $G være$ den tilsvarende serien:

{\ displaystyle G = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ cdots}

Sekvensen av delsummene er:

{\ displaystyle 1,3,6,10, \ ldots}

Noe som gjør det til en divergerende serie. Betingelsene for sekvensen av gjennomsnittet av dets delvise summer er:

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}}, \, {\ frac {4} {2}}, \, {\ frac {10} {3}}, \, {\ frac {20} {4 }}, \, \ ldots}

Her divergerer også denne sekvensen: $G$ er ikke summerbar i betydningen Cesàro. Faktisk, for enhver serie som divergerer mot uendelig, fører Cesàros metode til en serie som divergerer på samme måte: en slik serie er ikke summerbar i betydningen Cesàro.

Summasjon (C, α)

I 1890 beskrev Ernesto Cesàro en større familie av summeringsmetoder som siden har blitt kalt $(C, n )$ for positive heltall $n$ . Metoden $(C, 0)$ er den vanlige summeringen, $(C, 1)$ er Cesàro-summeringen beskrevet ovenfor. Metoder for høyere ordre er beskrevet som følger:

La sekvensen $a n være$ den tilsvarende serien . Vi definerer mengdene $\ sum a_ {n}$

{\ displaystyle A_ {n} ^ {- 1} = a_ {n}; \ quad A_ {n} ^ {\ alpha} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} ^ {\ alpha -1}}

Mengdene $E n$ som tilsvarer verdien $A n$ som er beskrevet ovenfor for rekken er også definert . Deretter betegnes summen (C, α) av og har verdien ${\ displaystyle 1 + 0 + 0 + 0 + \ ldots}$ $\ sum a_ {n}$ ${\ displaystyle (C, \ alpha) - \ sum a_ {n}}$

{\ displaystyle (C, \ alpha) - \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {A_ {n} ^ {\ alpha }} {E_ {n} ^ {\ alpha}}}}

hvis den eksisterer. Denne beskrivelsen representerer anvendelsen av den innledende summeringsmetoden iterert α ganger og kan omformuleres:

{\ displaystyle (C, \ alpha) - \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {n \ velg j} {n + \ alpha \ velg j}} a_ {j}.}

Enda mer generelt, for , gis implisitt av koeffisientene i serien ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \ setminus (- \ mathbb {N})}$ ${\ displaystyle A_ {n} ^ {\ alpha}}$

{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} A_ {n} ^ {\ alpha} x ^ {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} x ^ { n}}} {(1-x) ^ {1+ \ alpha}}},}

og $E α n$ definert som tidligere ( $E α n$ er binomiale kraftkoeffisienter −1 - α). Da er summen $(C, α)$ av definert som før. ${\ displaystyle \ sum a ^ {n}}$

Eksistensen av en summering $(C, α)$ innebærer eksistensen av alle høyere ordens summeringer, samt $en n = o ( n α )$ hvis α> −1.

Cesàro summering av en integral

La α ≥ 0. Integralet er (C, α) -sumelig i betydningen Cesàro hvis ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}}$

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1 - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (x) \, dx}

eksisterer og er endelig. Verdien av denne grensen, hvis den eksisterer, er summen (C, α) av integralen. Hvis α = 0, er resultatet konvergensen til den feilaktige integralen . Hvis α = 1, tilsvarer konvergensen (C, 1) eksistensen av grensen

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} {\ frac {1} {\ lambda}} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left \ {\ int _ {0} ^ {x} f (y) \, dy \ right \} \, dx}

som er grensen for midlene til delintegralene.

På samme måte som serier, hvis en integral er (C, α) -summabel for en verdi α ≥ 0, er den også (C, β) -sumelig for alle β> α, og verdien av den resulterende grensen er den samme.

Vedlegg

Interne lenker

Bibliografi

(en) Bruce Shawyer og Bruce Watson , Borel's Methods of Summability: Theory and Applications , Oxford, OUP ,1994, 242 s. ( ISBN 0-19-853585-6 )
(no) Edward Charles Titchmarsh , Introduksjon til teorien om Fourier-integraler , New York, Chelsea Pub. Co.,1948, 2 nd ed. ( ISBN 978-0-8284-0324-5 )
(en) II Volkov , “Cesàro summation methods” , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , les online )
(en) Antoni Zygmund , trigonometrisk serie , CUP ,1968, 747 s. ( ISBN 978-0-521-35885-9 )

Referanser

Shawyer og Watson 1994 , s. 16-17.
Titchmarsh 1948 , s. §1.15.