Anosov-systemet

I dynamisk systemteori er et Anosov- system et hyperbolsk system , som viser ekstremt kaotisk dynamikk .

Definisjon

Konseptet med differensial dynamisk system

Et differensialdynamisk system defineres ved en en-til-en- kartlegging av systemets faseplass til seg selv, slik at en starttilstand er assosiert med en og bare en fremtidig tilstand på tidspunktet t ( determinismetilstand ): $\ phi _ {t}: \ Gamma \ til \ Gamma$ $x_ {0}$

x (t) \ = \ \ phi _ {t} (x_ {0})

Når tiden t varierer, genererer denne sammenhengen en flyt på , det vil si en kontinuerlig gruppe med en parameter som: $\ Gamma$ $\ phi _ {t}$

\ phi_0 \ = \ \ mathrm {Id}

\ forall \ (t, s) \, \ in \, \ mathbb {R} ^ 2 \, \ quad \ phi_t \ \ circ \ phi_s \ = \ \ phi_ {t + s}

Denne matematiske modelleringen tilsvarer for eksempel den Hamiltonianske strømmen av klassisk mekanikk , så vel som den geodesiske strømmen på en Riemannian manifold .

Egenskapen til hyperbolisitet

Den hyperbolitet av de faserommet ble demonstrert ved Dmitri Anosov ved analogi med den geodetiske strømning av overflater med negativ krumning av hyperbolsk geometri .

Vanligvis for en Hamiltonian-strøm, tillater den faste energioverflaten i faseområdet nesten overalt en nedbrytning av typen: $S_E$

S_E \ = \ E_0 \ \ oplus \ E_S \ \ oplus \ E_I

eller:

$E_0$ er et endimensjonalt manifold i strømningsretningen.
$E_S$ er underrommet til de stabile retningene, retninger vinkelrett på strømningen. For en forstyrrelse rettet i disse retningene er det en eksponentiell sammentrekning mot fremtiden, som tilsvarer negative Lyapunov-eksponenter (denne variasjonen er derfor ustabil mot fortiden.)
$E_I$ er underrommet for ustabile retninger, retninger også vinkelrett på strømmen. For en forstyrrelse rettet i disse retningene er det eksponentiell ekspansjon mot fremtiden, noe som tilsvarer positive Lyapunov-eksponenter (denne manifolden er derfor stabil mot fortiden.).

Det faktum at det nødvendigvis eksisterer visse kontraktsretninger som er komplementære til dilatasjonsretningene, kan sees på som en konsekvens av Liouvilles teorem , som sier at Hamilton-strømmen bevarer volum i faseområdet.

For et dissipativt kaotisk system er det ikke nødvendigvis kontraktsretninger overalt i faseplassen, men det er generelt minst en " attraktor " -mengde i dette faseområdet der dynamikken nesten er hyperbolsk.

Relaterte artikler

Bibliografi

(no) D. Anosov, “Geodesic streams on compact Riemannian manifolds of negative curvature”, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute , vol. 90, n o 1, 1967, s. 1-235

Initiasjonsbøker

John H. Hubbard og Beverly H. West, Differensiallikninger og dynamiske systemer , Cassini, 1999 ( ISBN 978-2-84225015-7 )
Grégoire Nicolis og Ilya Prigogine , Meeting the Complex , koll. " Dagens filosofi", PUF , 1992 ( ISBN 978-2-13043606-5 )
(en) Boris Hasselblatt (de) et Anatole Katok (de) , A First Course in Dynamics with a Panorama of Recent Developments , Cambridge University Press , 2003 ( ISBN 0-521-58750-6 ) [ les online ]
(no) Anatole Katok og Boris Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems , koll. "Encyclopedia of Mathematics and Its Applications" ( n o 54), Cambridge University Press, 1997 ( ISBN 978-0-52157557-7 ) [ lese på nettet ]

Flere tekniske arbeider

(no) Stephen Smale , The matematics of time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics , Springer-Verlag, 1980 ( ISBN 978-0-387-90519-8 )
(en) Boris Hasselblatt og Anatole Katok (red.), Handbook of Dynamical Systems , Elsevier. Flygning. 1A , 2002 ( ISBN 978-0-444-82669-5 ) ; Flygning. 1B , 2005 ( ISBN 978-0-444-52055-5 )
(no) Bernold Fiedler (de) (red.), Handbook of Dynamical Systems . Flygning. 2: Applications , Elsevier, 2002 ( ISBN 978-0-444-50168-4 ) ; Flygning. 3: Geometriske metoder for forskjellig dynamikk , Elsevier, 2010 ( ISBN 978-0-444-53141-4 )
(en) Leonid Bunimovich , Roland Lwowitsch Dobruschin (de) , Iakov Sinai , Anatoly Vershik et al. , Dynamiske systemer, Ergodic teori og anvendelser , Serie: Encyclopaedia of Mathematical Sciences 100 , Volume pakken: Mathematical Physics, Springer-Verlag, 2 nd utgave, 2000 ( ISBN 978-3-540-66316-4 )

Virtuelt bibliotek

Paul Manneville, Dynamical Systems and Chaos , 1998, 233 sider [ les online ]Kurs gitt av forfatteren (LadHyX, École Polytechnique) til DEA i væskefysikk og mekanikk.
(no) David Ruelle , “Ergodisk teori om differensierbare dynamiske systemer”, Publ. Matte. IHES , vol. 50, 1979, s. 27-58 [ les online ]