Dirichlets tilnærmingsteori
Den teoremet Dirichlet tilnærmelse er følgende resultat av tilnærmelse Diofantisk samtidige d faktisk :
x1,...,xd{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {d}}![{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bea1fb4f12c734227bb06cb498ec9b50e6a7272)
For ethvert reelt N ≥ 1 eksisterer det et helt tall q slik at
1≤q≤IKKEogd(qxj,Z)<IKKE-1/d(∀j=1,2,...,d){\ displaystyle 1 \ leq q \ leq N \ quad {\ text {et}} \ quad d (qx_ {j}, \ mathbb {Z}) <N ^ {- 1 / d} \ quad (\ forall j = 1,2, \ prikker, d)}![{\ displaystyle 1 \ leq q \ leq N \ quad {\ text {et}} \ quad d (qx_ {j}, \ mathbb {Z}) <N ^ {- 1 / d} \ quad (\ forall j = 1,2, \ prikker, d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aef8054a6f9cfa0ae411b4b3ab0d75ba5fca12e)
,
hvis spesielle tilfelle N = Q d med heltall Q er demonstrert av prinsippet med Dirichlet- skuffer , eller følgende resultat (mer generelt):
For ethvert ekte M > 1 eksisterer det et helt tall q slik at
1≤q<Mogd(qxj,Z)≤M-1/d(∀j=1,2,...,d){\ displaystyle 1 \ leq q <M \ quad {\ text {and}} \ quad d (qx_ {j}, \ mathbb {Z}) \ leq M ^ {- 1 / d} \ quad (\ forall j = 1,2, \ prikker, d)}![{\ displaystyle 1 \ leq q <M \ quad {\ text {and}} \ quad d (qx_ {j}, \ mathbb {Z}) \ leq M ^ {- 1 / d} \ quad (\ forall j = 1,2, \ prikker, d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4cf781b37f243f743f3e44e784da7b4a3d45e4)
,
som bruker en teorem om Minkowski eller Blichfeldt .
Bruker
Denne teoremet brukes spesielt i tallteori (Diophantine approximations, Dirichlet series theory ) og i teorien om nesten periodiske funksjoner .
En elementær følge av tilfellet d = 1 er at målet for irrasjonalitet for enhver irrasjonell er større enn eller lik 2.
Teoremet er også relatert til den ensomme runner-formodningen .
Referanser
-
(in) "Dirichlet theorem" i Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , les online )(kun oppgitt for heltall N ). En generalisering er demonstrert i (en) JWS Cassels , An Introduction to Diophantine Approximation , CUP ,1965( les online ) , s. 1. 3.
-
Bare følgende følge er oppgitt under denne tittelen i (en) EC Titchmarsh , The Theory of the Riemann Zeta-Function , Clarendon Press ,1951( les online ) , kap. VIII : for alle reelle a 1 , a 2 ,…, a d , hele heltall Q > 0 og alle reelle t 0 > 0 , eksisterer det en reell t slik at t 0 ≤ t ≤ t 0 Q d og .d(tpåj,Z)≤1/Spørsmål(j=1,2,...,d){\ displaystyle d (ta_ {j}, \ mathbb {Z}) \ leq 1 / Q \ quad (j = 1,2, \ ldots, d)}
-
GH Hardy og EM Wright ( oversatt fra engelsk av F. Sauvageot), Introduksjon til tallteorien [" En introduksjon til tallteorien "], Vuibert - Springer ,2007, s. 216-217, th. 200.
-
En generalisering er demonstrert i (en) Wolfgang M. Schmidt , Diophantine Approximation , Springer ,1980( les online ) , s. 28- 32.
-
(in) Thomas W. Cusick, " Dirichlet's diophantine approximation theorem " , Bulletin of the Australian Mathematical Society , vol. 16, n o to1977, s. 219-224 ( DOI 10.1017 / S0004972700023224 , les online ), bare oppgi det for heltall M.
-
Den første uttalelsen kan trekkes fra den andre ved å ta .M=⌊IKKE⌋+1{\ displaystyle M = \ lfloor N \ rfloor +1}
-
(i) Terence Tao , " En bemerkning om den ensomme løperformodningen " på terrytao.wordpress.com ,13. mai 2015.
Relaterte artikler