König-Huygens-teorem
I statistikk og sannsynlighetsteori er König - Huygens- teorem en bemerkelsesverdig identitet som forbinder variansen og gjennomsnittet .
Sannsynlighetserklæring
König-Huygens-setningen sier som følger:
Teorem - For enhver ekte tilfeldig variabel X som innrømmer et øyeblikk av ordre 2, har vi:
Var(X)≡E[(X-E[X])2]=E[X2]-E[X]2{\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) \ equiv \ mathbb {E} \ left [(X- \ mathbb {E} [X]) ^ {2} \ right] = \ mathbb {E} [X ^ { 2}] - \ mathbb {E} [X] ^ {2}}.
Demonstrasjon
Beviset er relativt enkelt og algebraisk. Tre punkter bør huskes:
- utviklingen av Newtons par ;
- forventningens linearitet som en funksjon av den tilfeldige variabelen;
- forventningen om en konstant er verdt denne konstanten.
Disse tre egenskapene tilbakekalt innebærer:
E[(X-E[X])2]=E[X2-2XE[X]+E[X]2]=E[X2]-E[2XE[X]]+E[E[X]2]=E[X2]-2E[X]E[X]+E[X]2=E[X2]-E[X]2{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} \ left [(X- \ mathbb {E} [X]) ^ {2} \ right] & = \ mathbb {E} \ left [X ^ {2 } -2X \ mathbb {E} [X] + \ mathbb {E} [X] ^ {2} \ right] \\ & = \ mathbb {E} [X ^ {2}] - \ mathbb {E} \ venstre [2X \ mathbb {E} [X] \ høyre] + \ mathbb {E} \ venstre [\ mathbb {E} [X] ^ {2} \ høyre] \\ & = \ mathbb {E} [X ^ {2}] - 2 \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [X] + \ mathbb {E} [X] ^ {2} \\ & = \ mathbb {E} [X ^ {2} ] - \ mathbb {E} [X] ^ {2} \ end {justert}}}
Statistisk uttalelse
Denne teoremmen kan også brukes for en spaltning av den empiriske variansformelen.
Teorem - Vi har:1ikke∑Jeg=1ikke(xJeg-x¯)2=(1ikke∑Jeg=1ikkexJeg2)-x¯2{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} \ right) - {\ overline {x}} ^ {2}}
Demonstrasjon
1ikke∑Jeg=1ikke(xJeg-x¯)2=1ikke∑Jeg=1ikke(xJeg2-2xJegx¯+x¯2)=1ikke∑Jeg=1ikkexJeg2-1ikke∑Jeg=1ikke2xJegx¯+1ikke∑Jeg=1ikkex¯2=1ikke∑Jeg=1ikkexJeg2-2x¯ikke∑Jeg=1ikkexJeg+1ikkeikkex¯2=1ikke∑Jeg=1ikkexJeg2-2x¯2+x¯2=1ikke∑Jeg=1ikkexJeg2-x¯2{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2} & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} ^ {2} -2x_ {i} {\ bar {x}} + {\ overline {x}} ^ {2} \ right) & \\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} - {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} 2x_ {i} {\ bar {x}} + {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {x}} ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ { 2} - {\ frac {2 {\ bar {x}}} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} + {\ frac {1} {n}} n {\ bar {x}} ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} -2 {\ bar {x }} ^ {2} + {\ bar {x}} ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ { 2} - {\ bar {x}} ^ {2} \\\ slutt {justert}}}
Generalisering
Denne formuleringen er faktisk et spesielt tilfelle av en mer generell identitet.
Identitet - Vi har:
1ikke∑Jeg=1ikke(XJeg-på)2=1ikke∑Jeg=1ikke(XJeg-X¯)2+(X¯-på)2{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} -a) ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} + ({\ bar {X}} - a) ^ {2}}
Demonstrasjon
∑Jeg=1ikke(XJeg-på)2=∑Jeg=1ikke(XJeg-X¯+X¯-på)2=∑Jeg=1ikke((XJeg-X¯)+(X¯-på))2=∑Jeg=1ikke[(XJeg-X¯)2+2(XJeg-X¯)(X¯-på)+(X¯-på)2]=∑(XJeg-X¯)2+2(X¯-på)(∑XJeg-ikkeX¯)+ikke(X¯-på)2=∑(XJeg-X¯)2+2(X¯-på)(∑XJeg-ikke1ikke∑XJeg)+ikke(X¯-på)2=∑Jeg=1ikke(XJeg-X¯)2+ikke(X¯-på)2{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} -a) ^ {2} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ { i} - {\ bar {X}} + {\ bar {X}} - a) ^ {2} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ((X_ {i} - {\ bar {X}}) + ({\ bar {X}} - a) \ høyre) ^ {2} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ venstre [(X_ {i } - {\ bar {X}}) ^ {2} +2 (X_ {i} - {\ bar {X}}) ({\ bar {X}} - a) + ({\ bar {X}} -a) ^ {2} \ right] \\ & = \ sum (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} +2 ({\ bar {X}} - a) (\ sum X_ {i} -n {\ bar {X}}) + n ({\ bar {X}} - a) ^ {2} \\ & = \ sum (X_ {i} - {\ bar {X}} ) ^ {2} +2 ({\ bar {X}} - a) (\ sum X_ {i} -n {\ frac {1} {n}} \ sum X_ {i}) + n ({\ bar {X}} - a) ^ {2} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} + n ({\ stolpe {X}} - a) ^ {2} \ end {justert}}}
NB: demonstrasjonen er hentet fra Mood et al. (2001, s. 229)
Merk :
Ved å passere den andre termen fra høyre til venstre og ta a = 0 finner vi formelen for variansen vist ovenfor:
1ikke∑Jeg=1ikke(XJeg-X¯)2=1ikke∑Jeg=1ikke(XJeg-på)2-(X¯-på)2{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} -a) ^ {2} - ({\ bar {X}} - a) ^ {2}}Og så hvis a = 0 ,1ikke∑Jeg=1ikke(XJeg-X¯)2=1ikke∑Jeg=1ikke(XJeg)2-(X¯)2{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {\ bar {X}}) ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i}) ^ {2} - ({\ bar {X}}) ^ {2}}
Forholdet til Leibnizs funksjon
Denne teoremet er et spesielt tilfelle av forenkling av Leibniz skalarfunksjon angående barycenters .
Faktisk er middelverdi m barycenter for det vektede systemet . Forenklingen av Leibniz skalarfunksjon gir for barycenter- systemet G :
{(xJeg,ikkeJeg)}Jeg=1 ...k{\ displaystyle \ {(x_ {i}, n_ {i}) \} _ {i = 1 ... k}}{(PÅJeg,påJeg)Jeg=1 ...k}{\ displaystyle \ {(A_ {i}, a_ {i}) _ {i = 1 ... k} \}}
∑Jeg=1kpåJegPÅPÅJeg2=∑Jeg=1kpåJegGPÅJeg2+(∑Jeg=1kpåJeg)GPÅ2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i} AA_ {i} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i} GA_ {i} ^ { 2} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {k} a_ {i} \ right) GA ^ {2}}Ved å erstatte G med m , A med m ' , a i med n i og A i med x i , får vi
∑Jeg=1kikkeJeg(xJeg-m′)2=∑Jeg=1kikkeJeg(xJeg-m)2+ikke(m′-m)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (x_ {i} -m ') ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} ( x_ {i} -m) ^ {2} + n (m'-m) ^ {2}}Som er, opp til en faktor n og rekkefølge, den forrige formelen.
Uttalelse i mekanikk (Huygens 'teorem)
Er et system med k vesentlige punkter A i , sammen med de respektive masser m i , av den totale masse M av massesenteret G og et punkt A fjernt fra punktet G . Den transport teoremet eller Huygens' teorem eller Steiners teorem gir J A den treghetsmoment av systemet i forhold til A som en funksjon av J G den treghetsmomentet for systemet med hensyn til :
G{\ displaystyle G}
JPÅ=JG+M⋅d2{\ displaystyle J_ {A} = J_ {G} + M \ cdot d ^ {2}}
med
JPÅ=∑Jeg=1kmJegPÅPÅJeg2,JG=∑Jeg=1kmJegGPÅJeg2,M=∑Jeg=1kmJeg,d2=GPÅ2.{\ displaystyle J_ {A} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} m_ {i} AA_ {i} ^ {2}, \ quad J_ {G} = \ sum _ {i = 1} ^ { k} m_ {i} GA_ {i} ^ {2}, \ quad M = \ sum _ {i = 1} ^ {k} m_ {i}, \ quad d ^ {2} = GA ^ {2}. }
Henvisning
(en) Alexander M. Mood , Franklin A. Graybill og Duane C. Boes , Introduction to the Theory of Statistics , New Delhi, Tata McGraw-Hill,2001( ISBN 978-0-07-042864-5 , LCCN 73000292 ) , s. 564
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">