Mittag-Leffler-teorem

I kompleks analyse viser Mittag-Leffler-setningen eksistensen av meromorfe funksjoner med foreskrevne poler. I dette nærmer den seg Weierstrass faktoriseringsteorem , som hevder eksistensen av holomorfe funksjoner med foreskrevne nuller. Det skylder navnet til den svenske matematikeren Gösta Mittag-Leffler .

Setning

La være et åpent på og en lukket diskret delmengde. For alt inn , la et polynom komme inn . Så eksisterer det en meromorf funksjon på slik at, uansett , er holomorf i . Spesielt, den negative del av å utvikle Laurent serie av i er . $D$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle E \ delmengde D}$ $på$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle p_ {a} (z)}$ $1 / (za)$ $f$ $D$ $eldre$ ${\ displaystyle f (z) -p_ {a} (z)}$ $på$ $f$ $på$ ${\ displaystyle p_ {a} (z)}$

Utkast bevis

Vi gir her et utkast til bevis. Vi merker at i tilfelle hvor det er ferdig, er det tilstrekkelig å ta . Hvis ikke er endelig, anser vi den endelige summen hvor er en endelig delmengde av . Selv om det ikke nødvendigvis konvergerer når F nærmer seg E , kan vi alltid trekke velvalgte rasjonelle funksjoner hvis poler ikke er i D (gitt av Runges teorem ), uten å endre den negative delen av Laurents serieutvidelse de , og dermed garantere konvergens. $E$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {a \ i E} p_ {a} (z)}$ $E$ ${\ displaystyle S_ {F} (z) = \ sum _ {a \ in F} p_ {a} (z)}$ $F$ $E$ ${\ displaystyle S_ {F} (z)}$ ${\ displaystyle S_ {F} (z)}$

Eksempel

Anta at vi vil ha en meromorf funksjon med enkle poler av rest 1 i alle positive heltall. Med de tidligere notasjonene, enten og . Mittag-Leffler-teoremet viser at det eksisterer en meromorf funksjon der den negative delen av Laurents serieutvidelse helt vil være inkludert . Denne funksjonen sjekker de ønskede egenskapene. ${\ displaystyle p_ {k} = 1 / (zk)}$ ${\ displaystyle E = \ mathbb {N}}$ $f$ $z = k$ ${\ displaystyle p_ {k} (z)}$ ${\ displaystyle k}$ $f$

Merknader og referanser