Moivre-Laplace-teorem

I sannsynlighetsteori , ifølge Moivre-Laplace-teoremet , hvis variabelen følger en binomial lov av orden og parameter , så er variabelen Xikke{\ displaystyle X_ {n}}ikke{\ displaystyle n}s∈]0,1[{\ displaystyle p \ in] 0.1 [}

Zikke=Xikke-ikkesikkes(1-s){\ displaystyle Z_ {n} = {\ frac {X_ {n} -np} {\ sqrt {np (1-p)}}}

konvergerer i lov mot en sentrert og redusert normallov . IKKE(0,1){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}

Abraham de Moivre var den første som etablerte denne teoremet i 1733 i det spesielle tilfellet  ; og Laplace var i stand til å generalisere det i 1812 for en hvilken som helst verdi på mellom 0 og 1. Dette er et spesielt tilfelle av den sentrale grensesetningen . s=12{\ displaystyle p = {\ frac {1} {2}}}s{\ displaystyle p}

Demonstrasjon

Bevis på Moivre-Laplace-teoremet

La være en sekvens av binomiale variabler . Xikke{\ displaystyle X_ {n}}Xikke∼B(ikke,s){\ displaystyle X_ {n} \ sim {\ mathcal {B}} (n, \, p)}

Den karakteristiske funksjonen til er: Xikke{\ displaystyle X_ {n}}

φXikke(t)=(seJegt+q)ikke{\ displaystyle \ varphi _ {X_ {n}} (t) = (p \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} + q) ^ {n}} Det er:Zikke=Xikke-ikkesikkesq{\ displaystyle Z_ {n} = {\ frac {X_ {n} -np} {\ sqrt {npq}}}}φZikke(t)=(seJegtikkesq+q)ikkee-Jegtikkesikkesq{\ displaystyle \ varphi _ {Z_ {n}} (t) = (p \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ mathrm {i} t} {\ sqrt {npq}}} + q) ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ frac {- \ mathrm {i} tnp} {\ sqrt {npq}}}}

La oss beregne logaritmen til denne funksjonen:

ln⁡φZikke(t)=ikkeln⁡[(seJegtikkesq+q)]-Jegtikkesikkesq=ikkeln⁡[(s(eJegtikkesq-1)+1)]-Jegtikkesikkesq{\ displaystyle \ ln \ varphi _ {Z_ {n}} (t) = n \ ln {\ big [} (p \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ mathrm {i} t} {\ sqrt {npq }}} + q) {\ big]} - {\ frac {\ mathrm {i} tnp} {\ sqrt {npq}}} = n \ ln {\ big [} (p (\ mathrm {e} ^ { \ frac {\ mathrm {i} t} {\ sqrt {npq}}} - 1) +1) {\ big]} - {\ frac {\ mathrm {i} tnp} {\ sqrt {npq}}}}.

Det utvikler den eksponentielle til to e  orden, følger det at:

ln⁡φZikke(t)≈ikkeln⁡[1+s(Jegtikkesq-t22ikkesq)]-Jegtikkesikkesq{\ displaystyle \ ln \ varphi _ {Z_ {n}} (t) \ approx n \ ln {\ bigg [} 1 + p {\ bigg (} {\ frac {\ mathrm {i} t} {\ sqrt { npq}}} - {\ frac {t ^ {2}} {2npq}} {\ bigg)} {\ bigg]} - {\ frac {\ mathrm {i} tnp} {\ sqrt {npq}}}}.

Deretter utvikler logaritmen til 2 e  rekkefølge inkluderer:

ln⁡φZikke(t)≈ikke(Jegstikkesq-st22ikkesq+s2t22ikkesq)-Jegtikkesikkesq=-t22q+st22q=t22q(s-1)=-t22{\ displaystyle \ ln \ varphi _ {Z_ {n}} (t) \ approx n {\ bigg (} {\ frac {\ mathrm {i} pt} {\ sqrt {npq}}} - {\ frac {pt ^ {2}} {2npq}} + {\ frac {p ^ {2} t ^ {2}} {2npq}} {\ bigg)} - {\ frac {\ mathrm {i} tnp} {\ sqrt { npq}}} = - {\ frac {t ^ {2}} {2q}} + {\ frac {pt ^ {2}} {2q}} = {\ frac {t ^ {2}} {2q}} (p-1) = - {\ frac {t ^ {2}} {2}}}.

Det er vist at:

ln⁡φZikke(t)≈-t22{\ displaystyle \ ln \ varphi _ {Z_ {n}} (t) \ approx {\ frac {-t ^ {2}} {2}}} og vi utleder det φZikke(t)≈e-t22{\ displaystyle \ varphi _ {Z_ {n}} (t) \ approx \ mathrm {e} ^ {\ frac {-t ^ {2}} {2}}}.

Dette er den karakteristiske funksjonen til den reduserte sentrerte normalfordelingen . IKKE(0,1){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}

applikasjon

Med andre ord, hvis følger en binomial fordeling av parametrene n og p, og hvis er fordelingsfunksjonen til da, for enhver reell t , har vi: Xikke{\ displaystyle X_ {n}}Φ{\ displaystyle \ Phi}IKKE(0,1){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}

limikke→∞P⁡(Xikke-ikkesikkesq≤t)=Φ(t){\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {P} \ left ({\ frac {X_ {n} -np} {\ sqrt {npq}}} \ leq t \ right) = \ Phi ( t)}

som betyr at for n stor nok ,

P⁡(Xikke-ikkesikkesq≤t)≈Φ(t){\ displaystyle \ operatorname {P} \ left ({\ frac {X_ {n} -np} {\ sqrt {npq}}} \ leq t \ right) \ approx \ Phi (t)}

som gir, ved å stille , følgende tilnærming for sannsynligheten for å ha mest suksess: t=x-ikkesikkesq{\ displaystyle t = {\ frac {x-np} {\ sqrt {npq}}}}x{\ displaystyle x}

P⁡(Xikke≤x)≈Φ(x-ikkesikkes(1-s)){\ displaystyle \ operatorname {P} (X_ {n} \ leq x) \ approx \ Phi \ left ({\ frac {x-np} {\ sqrt {np (1-p)}}} \ right)}

Denne tilnærmingen er generelt bra for . ikkes(1-s)≥10{\ displaystyle np (1-p) \ geq 10}

I praksis må vi imidlertid være oppmerksom på at variablene er diskrete. Grafisk oversettes dette til det faktum at endene på stengene i det binomiale fordelingsdiagrammet er nær tetthetskurven til normalfordelingen . En omtrentlig verdi kan oppnås ved å beregne arealet under tetthetskurven mellom linjene abscissa og . Xikke{\ displaystyle X_ {n}}Xikke∼B(ikke,s){\ displaystyle X_ {n} \ sim {\ mathcal {B}} (n, \, p)}IKKE(ikkes,ikkesq){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (np, npq)}P(Xikke=x){\ displaystyle \ mathrm {P} (X_ {n} = x)}x-12{\ displaystyle x - {\ frac {1} {2}}}x+12{\ displaystyle x + {\ frac {1} {2}}}

P⁡(Xikke=x)≈P⁡(x-12-ikkesikkesq≤IKKE≤x+12-ikkesikkesq){\ displaystyle \ operatorname {P} (X_ {n} = x) \ approx \ operatorname {P} \ left ({\ frac {x - {\ frac {1} {2}} - np} {\ sqrt {npq }}} \ leq N \ leq {\ frac {x + {\ frac {1} {2}} - np} {\ sqrt {npq}}} høyre)} P⁡(Xikke≤x)≈P⁡(IKKE≤x+12-ikkesikkesq){\ displaystyle \ operatorname {P} (X_ {n} \ leq x) \ approx \ operatorname {P} \ left (N \ leq {\ frac {x + {\ frac {1} {2}} - np} { \ sqrt {npq}}} høyre)}

Denne prosedyren kalles "  kontinuitetskorrigering  ".

Eksempel

Xikke∼B(50,0,3){\ displaystyle X_ {n} \ sim {\ mathcal {B}} (50, \, 0 {,} 3)} ;  ;ikkes=15{\ displaystyle np = 15}ikkeq=35{\ displaystyle nq = 35}

Fra tabellene, den nøyaktige verdien for . P(Xikke=10)=0,038619{\ displaystyle \ mathrm {P} (X_ {n} = 10) = 0 {,} 038 \, 619}

Tilnærmelsesformelen med en lov gir resultatet: IKKE(ikkes,ikkesq)=IKKE(15,10,5){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (np, {\ sqrt {npq}}) = {\ mathcal {N}} (15, {\ sqrt {10 {,} 5}})}

P⁡(9,5-1510,5≤IKKE≤10,5-1510,5){\ displaystyle \ operatorname {P} \ left ({\ frac {9 {,} 5-15} {\ sqrt {10 {,} 5}}} \ leq N \ leq {\ frac {10 {,} 5- 15} {\ sqrt {10 {,} 5}}} \ høyre)}

er

P⁡(-1,7≤IKKE≤-1,39)=P⁡(1,39≤IKKE≤1,7)=0,9554-0,9177=0,0377{\ displaystyle \ operatorname {P} (-1 {,} 7 \ ​​leq N \ leq -1 {,} 39) = \ operatorname {P} (1,39 \ leq N \ leq 1 {,} 7) = 0 {,} 955 \, 4-0 {,} 917 \, 7 = 0 {,} 037 \, 7}

Tilnærmingsfeilen er liten.

For , den vanlige tilnærmingen gir P(Xikke≤10)=0,0789{\ displaystyle \ mathrm {P} (X_ {n} \ leq 10) = 0 {,} 078 \, 9}

P(IKKE≤-1,39)=P(IKKE≥1,39)=1-P(IKKE≤1,39)=0,0823{\ displaystyle \ mathrm {P} (N \ leq -1 {,} 39) = \ mathrm {P} (N \ geq 1 {,} 39) = 1- \ mathrm {P} (N \ leq 1 {, } 39) = 0 {,} 082 \, 3}

Hvis vi ikke hadde korrigert kontinuiteten i tilnærmingen, ville vi hatt:

P⁡(IKKE≤10-1510,5)=P⁡(IKKE≤-1,54)=1-P⁡(IKKE≤1,54)=0,0618{\ displaystyle \ operatorname {P} \ left (N \ leq {\ frac {10-15} {\ sqrt {10 {,} 5}}} \ right) = \ operatorname {P} (N \ leq -1 { ,} 54) = 1- \ operatorname {P} (N \ leq 1 {,} 54) = 0 {,} 061 \, 8}

Denne siste verdien er ganske upresis.

Se også

Bibliografi

• Denis Lantier, Didier Trotoux, “The store talls lov: De Moivre-Laplace teorem”, i Bidrag til en historisk tilnærming til undervisning i matematikk: Proceedings of the 6 th  tverrfaglig sommeren universitetet på matematikkens historie , Besançon, University Press av Franche-Comté / University of Franche-Comté, koll.  "Publikasjonene til IREM of Besançon", 1995, 490  s. ( ISBN  2-909963-136 og 978-2909963136 ) , s.  259-294 [ les online ] [PDF] .

Relaterte artikler

• Konvergens av tilfeldige variabler
• Sentral grensesetning
• Galton planke

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">