Null av en holomorf funksjon
I kompleks analyse kaller vi null for en holomorf funksjon et komplekst tall slik at .
f{\ displaystyle f} på{\ displaystyle a}f(på)=0{\ displaystyle f (a) = 0}
Multiplikasjonsrekkefølge av et isolert null
Gjennom hele denne delen, betegnes et åpent sett med ℂ, en holomorf funksjon og (element av ) et null på .
U{\ displaystyle U}f:U→VS{\ displaystyle \ scriptstyle f: U \ to \ mathbb {C}}på{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}
Det eksisterer en åpen plate inkludert i hvor utvikler seg i hele serier (av konvergensradius minst lik ):
D(på,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}r{\ displaystyle r}
∀z∈D(på,r),f(z)=∑k=1+∞αk(z-på)k{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k}}(den konstante betegnelsen er og de andre koeffisientene er ).
α0=f(på)=0{\ displaystyle \ alpha _ {0} = f (a) = 0}αk=f(k)(på)/k!{\ displaystyle \ alpha _ {k} = f ^ {(k)} (a) / k!}
Definisjon - er et isolert null av om det er et punkt isolert fra settet med nuller av , det vil si hvis, i en plate med tilstrekkelig lite senter og radius, er det eneste punktet hvor det forsvinner.
på{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}på{\ displaystyle a}på{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}
To tilfeller (bare) er mulige:
- Hvis for noe heltall , dak>0{\ displaystyle k> 0}αk=0{\ displaystyle \ alpha _ {k} = 0}
∀z∈D(på,r),f(z)=0{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = 0} : er identisk null på ; er derfor i dette tilfellet et ikke-isolert null ;
f{\ displaystyle f}D(på,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}på{\ displaystyle a}- Ellers, la indeksen til den første ikke-null koeffisienten i hele serien ( og ): vi kan skriveikke{\ displaystyle n}ikke≥1{\ displaystyle \ scriptstyle n \ geq 1}αikke≠0{\ displaystyle \ scriptstyle \ alpha _ {n} \ neq 0}
∀z∈D(på,r),f(z)=∑k=ikke+∞αk(z-på)k=(z-på)ikkeg(z),{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ sum _ {k = n} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k} = (za) ^ {n} \, g (z),}
hvor er definert av:
g:D(på,r)→VS{\ displaystyle \ scriptstyle g \ ,: \, \ mathrm {D} (a, \, r) \, \ to \, \ mathbb {C}}
∀z∈D(på,r),g(z)=∑ℓ=0+∞αℓ+ikke(z-på)ℓ.{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, g (z) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {\ ell + n} \, (za) ^ {\ ell}.}
Denne funksjonen er
analytisk og er ikke-null.
g{\ displaystyle g}g(på)=αikke{\ displaystyle g (a) = \ alpha _ {n}}
Ved
kontinuitet av in eksisterer det en strengt positiv virkelig slik som ikke avbrytes .
g{\ displaystyle g}på{\ displaystyle a}r1<r{\ displaystyle r_ {1} <r}g{\ displaystyle g}D(på,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})}
Til slutt, for ethvert element av :
z{\ displaystyle z}D(på,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})}
f(z)=(z-på)ikkeg(z)ogg(z)≠0.{\ displaystyle f (z) = (za) ^ {n} g (z) \ quad {\ text {and}} \ quad g (z) \ neq 0.}
Vi utleder at det er det eneste punktet hvor kanselleres; er derfor i dette tilfellet et isolert null .
på{\ displaystyle a}D(på,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})}f{\ displaystyle f}på{\ displaystyle a}
Vi kan oppsummere dette med følgende definisjon og teorem.
Definisjon
Den rekkefølge av multiplisitet (eller multiplisitet ) av en isolert null av det unike heltall slik at:
på{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}ikke>0{\ displaystyle n> 0}
- for alle naturlige ,k<ikke{\ displaystyle k <n}f(k)(på)=0 {\ displaystyle f ^ {(k)} (a) = 0 ~}
og
- f(ikke)(på)≠0.{\ displaystyle f ^ {(n)} (a) \ neq 0.}
Når , sier vi at det er et enkelt null.
ikke=1{\ displaystyle n = 1}på{\ displaystyle a}
Setning
-
på{\ displaystyle a}er en isolert null-orden til (og hvis) bare hvis det eksisterer en holomorf funksjon , definert på en åpen plate inkludert , for eksempel:
ikke{\ displaystyle n}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}D(på,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}
-
∀z∈D(på,r),f(z)=(z-på)ikkeg(z){\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = (za) ^ {n} \, g (z)} og
- g(på)≠0.{\ displaystyle g (a) \ neq 0.}
-
Prinsipp for isolerte nuller : hvis er et ikke-isolert null av , eksisterer det en åpen disk inkludert som er null.på{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}D(på,r){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}
Merk
Vi definerer i algebra den analoge forestillingen om rekkefølgen av mangfold av en rot av et ikke-null polynom , hvorav det som nettopp er definert utgjør en generalisering.
Eksempel
La være et komplekst tall og
på{\ displaystyle a}
f:VS→VS, z↦eksp(z)-eksp(på)-(z-på) eksp(på).{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, ~ z \ mapsto \ exp (z) - \ exp (a) - (za) ~ \ exp (a).}Denne funksjonen er integrert (dvs. holomorf over ℂ) og er et isolert null av rekkefølge 2.
på{\ displaystyle a}
Vi bekrefter det
f(på)=f′(på)=0ogf"(på)≠0.{\ displaystyle f (a) = f '(a) = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad f' '(a) \ neq 0.}applikasjon
Fra prinsippet om isolerte nuller trekker vi følgende prinsipp, et bevis på det er foreslått i artikkelen Analytisk utvidelse .
Prinsipp for analytisk utvidelse
La være et tilkoblet åpent sett og to definerte og holomorfe funksjoner på .
U{\ displaystyle U}f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}U{\ displaystyle U}
Hvis settet har minst ett ikke- isolert punkt , da .
{z∈U∣f1(z)=f2(z)}{\ displaystyle \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = f_ {2} (z) \}}f1=f2{\ displaystyle f_ {1} = f_ {2}}
Eller:
hvis det er et element av og en serie med elementer som er forskjellige , konvergerende , slik at for ethvert heltall , da
på{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}(zikke){\ displaystyle (z_ {n})}U{\ displaystyle U}på{\ displaystyle a}på{\ displaystyle a}ikke{\ displaystyle n}f1(zikke)=f2(zikke){\ displaystyle f_ {1} (z_ {n}) = f_ {2} (z_ {n})}
∀z∈Uf1(z)=f2(z){\ displaystyle \ forall z \ i U \ quad f_ {1} (z) = f_ {2} (z)}.
Eksempel
La være et tilkoblet åpent sett med ℂ som inneholder et intervall på ℝ ikke redusert til et punkt: punktene av er ikke isolerte.
U{\ displaystyle U}Jeg{\ displaystyle I}Jeg{\ displaystyle I}
Hvis funksjonene er holomorfe og sammenfaller , faller de sammen .
f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}U{\ displaystyle U}Jeg{\ displaystyle I}U{\ displaystyle U}
Det betyr at en funksjon av i ℂ innrømmer høyst en analytisk fortsettelse til et tilkoblet åpen sett av ℂ innehold .
Jeg{\ displaystyle I}U{\ displaystyle U}Jeg{\ displaystyle I}
- Dermed er den komplekse eksponensielle funksjonen den eneste analytiske utvidelsen ved ℂ av den virkelige eksponensielle funksjonen.
- Vi antar at identiteten er kjent for ethvert par realer. Den kan utvides med analytisk utvidelse til ethvert par komplekse tall. Faktisk :
eksp(x+y)=eksp(x)eksp(y){\ displaystyle \ exp (x + y) = \ exp (x) \ exp (y)}
- La være virkelig. Vi definerer på ℂ (åpen koblet) to holomorfe funksjoner ved å sette og . Disse to funksjonene sammenfaller på ℝ, så (prinsippet om analytisk fortsettelse) på ℂ: for ethvert kompleks , og alt dette for ekte ;y{\ displaystyle y}f1,f2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}f1(z)=eksp(z+y){\ displaystyle f_ {1} (z) = \ exp (z + y)}f2(z)=eksp(z)eksp(y){\ displaystyle f_ {2} (z) = \ exp (z) \ exp (y)}z{\ displaystyle z}eksp(z+y)=eksp(z)eksp(y){\ displaystyle \ exp (z + y) = \ exp (z) \ exp (y)}y{\ displaystyle y}
- La være noe komplekst. Vi definerer på ℂ (åpen koblet) to holomorfe funksjoner ved å sette og . Disse to funksjonene sammenfaller på ℝ (i henhold til forrige punkt), så (prinsipp for analytisk fortsettelse) på ℂ: for ethvert kompleks , og det for alle z-komplekser.z{\ displaystyle z}f3,f4{\ displaystyle f_ {3}, f_ {4}}f3(u)=eksp(z+u){\ displaystyle f_ {3} (u) = \ exp (z + u)}f4(u)=eksp(z)eksp(u){\ displaystyle f_ {4} (u) = \ exp (z) \ exp (u)}u{\ displaystyle u}eksp(z+u)=eksp(z)eksp(u){\ displaystyle \ exp (z + u) = \ exp (z) \ exp (u)}
Antall nuller
Det prinsipp i argumentet gjør det mulig å gi antallet nuller i et holomorfe funksjon, telles med multiplisitet, som inngår i en disk.
Hvis F er holomorf i et nabolag av en lukket disk D slik at F ikke forsvinner på kanten av disken, gir følgende formel antall nuller av F , telles med mangfold, i disk D :
12Jegπ∮∂DF′(ξ)F(ξ) dξ.{\ displaystyle {\ frac {1} {2i \ pi}} \ anoint _ {\ partial D} {\ frac {F '(\ xi)} {F (\ xi)}} ~ \ mathrm {d} \ xi .}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">