Verhulst modell

I populasjonsdynamikk er Verhulst-modellen en vekstmodell som ble foreslått av Pierre François Verhulst rundt 1840. Verhulst foreslo denne modellen som svar på Malthus- modellen som foreslo en konstant økningstall uten brems som førte til en eksponentiell vekst i befolkningen.

Verhulst sin modell forestiller at fødselsraten og dødsraten er henholdsvis fallende og økende affine funksjoner av størrelsen på befolkningen. Med andre ord, jo mer befolkningsstørrelsen øker, jo mer reduseres fødselsraten og dødsraten. Verhulst derimot antar at når populasjonene er små , har de en tendens til å vokse.

Den samme modellen kan brukes til autokatalytiske reaksjoner , der økningen i berørte individer er proporsjonal med både antall individer som allerede er rammet og antall individer som fremdeles kan bli berørt.

Denne modellen fører, i kontinuerlig tid, til en logistisk funksjon og i diskret tid til en logistisk sekvens hvis egenart er å være, under visse omstendigheter, kaotisk .

Matematisk implementering

Hvis vi ringer:

$y$ størrelsen på befolkningen;
$m ( y )$ dødsrate;
$n ( y )$ fødselsraten,

størrelsen på befolkningen følger differensiallikningen

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y \ left (n (y) -m (y) \ right)

Hvis $m$ og $n$ henholdsvis øker og reduserer affinefunksjoner, er $n - m$ en avtagende affinefunksjon. Hvis derimot veksten er positiv for $y$ som går mot 0, kan ligningen skrives

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = y (a-by)

med

a

b

to positive realer

Deretter blir ligningen ved å sette $K = a / b$ :

{\ frac {{\ mathrm d} y} {{\ mathrm d} t}} = ay \ left (1 - {\ frac yK} \ right) \ quad {\ text {with}} \ quad a, K> 0.

Umiddelbar observasjon viser at:

den konstante funksjonen $y = K$ er løsningen på denne ligningen;
hvis $y < K$ så øker befolkningen;
hvis $y > K$ så reduseres befolkningen.

Parameteren $K$ kalles bæreevne .

Den auto-katalytiske modellen fører til samme ligning (øk proporsjonalt med den berørte befolkningen og den gjenværende befolkningen)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = \ alpha y (Ky) = \ alpha Ky \ left (1 - {\ frac {y} {K}} \ Ikke sant).}

Kontinuerlig tidsoppløsning

Søket etter strengt positive funksjoner definert på og verifisering av systemet $[0; + \ infty [$

$y (0) = y_ {0} ~$
$y '= ay \ left (1 - {\ frac yK} \ right)$

fører til logistikkløsningen

y (t) = K {\ frac 1 {1+ \ left ({\ frac K {y_ {0}}} - 1 \ right) e ^ {{- at}}}}

der vi observerer at befolkningen har en tendens mot mottakskapasiteten K, at den øker hvis den opprinnelige populasjonen er lavere enn mottakspopulasjonen og ellers avtar.

Diskret tidsoppløsning

På diskret tid blir modellen forvandlet til

u _ {{n + 1}} - u_ {n} = au_ {n} \ venstre (1 - {\ frac {u_ {n}} {K}} \ høyre)

Deretter ved å stille

$a + 1 = \ mu$
$v_ {n} = {\ frac {au_ {n}} {\ mu K}}$

gjentakelsesforholdet blir

v _ {{n + 1}} = \ mu v_ {n} (1-v_ {n}) \,

Det er i denne formen at den studeres som en logistisk oppfølging . Selv om denne sekvensen er veldig enkel i sitt uttrykk, kan den føre til svært varierte resultater; dens oppførsel varierer i henhold til verdiene på μ:

for μ mellom 1 og 3, det vil si mellom 0 og 2, konvergerer sekvensen mot og vi finner faktisk en sekvens som konvergerer mot K $på$ $(v_ {n})$ ${\ frac {\ mu -1} {\ mu}}$ $(en})$
for μ større enn 3 kan sekvensen , avhengig av verdiene til μ, svinge mellom 2, 4, 8, 16 ... verdier eller ellers være kaotisk . $(v_n)$

Merknad og kilder

Merk

Se særlig Martial Schtickzelle , “ Pierre-François Verhulst (1804-1849). Den første oppdagelsen av logistikkfunksjonen ”, Population , National Institute of Demographic Studies, vol. 36, n o 3,Mai-juni 1981, s. 541-556 ( DOI 10.2307 / 1532620 , les online ).
I følge kilder 1838 i [1] , 1844 i [2] , 1846 i (en) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Pierre François Verhulst" , i MacTutor History of Mathematics archive , University of St. Andrews ( les online )..

Kilder

Pierre-François Verhulst , " Notice på loven at befolkningen fortsetter å øke ", Korrespondanse mathématique et kroppsbygning , n o 10,1838, s. 113-121 ( les online )
Pierre-François Verhulst , " Matematisk forskning om loven om befolkningsvekst ", Nye memoarer fra Royal Academy of Sciences og Belles-Lettres de Bruxelles , nr . 18,1845, s. 1-42 ( les online )
Pierre-François Verhulst , " Second memoir på loven om befolkningsvekst ", Memoirs of Royal Academy of Sciences, Brev og Fine Arts i Belgia , n o 20,1847, s. 1-32 ( les online )
Bernard Delmas, Pierre-François Verhulst og befolkningens logistiske lov , i matematikk og samfunnsvitenskap (nr. 167, 2004)
Nicolas Bacaër , Historier om matematikk og populasjoner , Éditions Cassini, koll. "Salt og jern"2008, 212 s. ( ISBN 9782842251017 ) , "Verhulst and the logistics equation"

Se også

Relatert artikkel

Skalerbar r / K-modell

Eksterne linker

Matematikk i populasjonsdynamikk av Christelle Magal