Eulers ligninger

I fluidmekanikk , Eulers ligninger er lineære partielle differensialligninger som beskriver strømningen av fluider (væske eller gass) i den tilnærmelse av kontinuerlige media . Disse strømningene er adiabatiske , uten utveksling av momentum ved viskositet eller energi ved termisk ledning .

Historien til disse ligningene går tilbake til Leonhard Euler som etablerte dem for komprimerbare strømmer (1757). Forholdet til termodynamikk skyldes Pierre-Simon de Laplace (1816) og forklaringen på diskontinuiteter til Bernhard Riemann (1860) hvis arbeid gikk foran de av Rankine og Hugoniot .

Etablering av ligninger for et komprimerbart medium

Fra bevaringslover

Vi kan definere en bevaringslov for en intensiv variabel $ϕ som$ drives med hastigheten $V$ og omfatter en volumproduksjonstid $S$ ved: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}$

Eulerian formulering

Den mest brukte formuleringen påkaller en naturlig fast referanseramme når man håndterer et stasjonært eller ustabilt problem der beregningsdomenet er kjent på forhånd. Vi påkaller deretter de euleriske variablene .

Vi oppnår Eulersystemet ved å bruke bevaringsrelasjonen ovenfor til tettheten $ρ$ , til momentum $ρ V$ og til den totale energien $ρE$ .

Kontinuitetsligning (massebalanseligning) ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ rho \ mathbf {V}) = 0}$
Momentum Balance Equation ${\ displaystyle {\ dfrac {\ partial (\ rho \ mathbf {V})} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ høyre) = - \ nabla p + \ rho \ mathbf {g}}$
Energibalanse ligning ${\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ rho E)} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ rho E \ mathbf {V}) = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot (p \, \ mathbf {V}) + \ rho \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}$

I disse ligningene:

$t$ representerer tid (SI-enhet: s);
$ρ$ betegner væskens tetthet (SI-enhet: kg m −3 );
$V$ betegner den flytende partikkelens euleriske hastighet (SI-enhet: m s −1 );
$p$ betegner det termodynamiske trykket (SI-enhet: Pa);
${\ displaystyle {\ mathsf {I}}}$ betegner enhetens tensor ;
$g ( x , t )$ betegner tyngdekraften eller annen ekstern massekraft (SI-enhet: m s −2 );
$E$ betegner den totale energien per masseenhet (SI-enhet: J kg -1 ); det uttrykkes som en funksjon av den interne energien per masseenhet $e$ av: ${\ displaystyle E = e + {\ frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}}}$

Systemet må lukkes med en termodynamisk relasjon, for eksempel ved å koble den indre energien til de andre verdiene $f ( e , ρ , p ) = 0$ . For en ideell gass : ${\ displaystyle e = {\ frac {1} {\ gamma -1}} {\ frac {p} {\ rho}}}$ hvor er forholdet mellom spesifikke varme ved henholdsvis konstant trykk og volum. ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}}}$

Noen variasjoner rundt ligningssystemet

Vi kan uttrykke momentumligningen annerledes ved å merke seg at: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left (\ rho \ mathbf {V} \ right)} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = \ rho \ left [{\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V } \ Ikke sant].}$

Demonstrasjon

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} {\ frac {\ partial \ left (\ rho \ mathbf {V} \ right)} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left ( \ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) & = & \ mathbf {V} \, {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ rho \, {\ frac {\ delvis \ mathbf {V}} {\ partial t}} + \ mathbf {V} (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ rho) + \ rho (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf { \ nabla}) \ mathbf {V} + \ rho \ mathbf {V} \, (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V}) & {\ text {Development}} \\ [0.5em] & = & \ rho \ left [{\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V} \ right] + \ mathbf {V} \ left [{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ rho + \ rho \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} \ right] & {\ text {Grouping of terms}} \\ [0.5em] & = & \ rho \ left [{\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V} \ right] + \ mathbf {V} {\ cancelto {0} {\ left [{\ frac {\ partial \ rho} {\ delvis t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ rho \ mathbf {V} ) \ right]}} og {\ text {Simplification}} \ end {array}}}$

Ligningen som deretter ble oppnådd tolkes som Newtons andre lov , og bemerker at begrepet beskriver akselerasjonen av væskens partikler. ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V}}$

Det er mulig å uttrykke bevaring av energi i ekvivalent form ved å overføre begrepet som tilsvarer trykket til det første medlemmet:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ rho E)} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot [(\ rho E + p) \ mathbf {V}] = \ rho \, \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}.}$ Begrepet $ρE + P$ kan erstattes av hvor er masseentalpien og $H er$ den totale entalpien. ${\ displaystyle \ rho H = \ rho \ left (h + {\ frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle h = e + {\ frac {p} {\ rho}}}$

Ved å skalere momentumligningen skrevet som ovenfor av hastigheten, får vi en bevaringslov for kinetisk energi:

${\ displaystyle \ rho \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}} \ right) + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ left ({\ frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}} \ right) \ right] = - \ mathbf {V} \ cdot \ nabla p + \ rho \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}.}$

Ved å trekke denne ligningen fra bevaring av energiligning og bruke bevaring av masseligning, får vi følgende ligning på intern energi per enhetsmasse: ${\ displaystyle \ rho \ left ({\ dfrac {\ partial e} {\ partial t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} e \ right) = - p \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V}.}$

Lagrangian formulering

I noen problemer kan området okkupert av væsken variere betydelig over tid. Dette er derfor ustabile problemer. Dette er tilfelle i eksplosjonsproblemer eller i astrofysikk . Man påkaller deretter de Lagrangian-variablene som er definert i den nevnte referansen $ξ$ . Akselerasjonen av fluidpartikkelen er gitt av partikkelderivatet : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {\ phi}} {\ mathrm {D} t}} \ ,: = \ left. {\ frac {\ partial \ mathbf {\ phi}} {\ delvis t}} \ høyre | _ {\ xi} = \ venstre. {\ frac {\ partial \ mathbf {\ phi}} {\ partial t}} \ høyre | _ {x} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ mathbf {\ phi}}$ Den siste termen i denne ligningen er adveksjonsperioden for mengden $ϕ$ . Dette kan være skalar, vektor eller tensorisk.

For fremdriften er partikkelderivatet verdt: ${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ mathrm {D} (\ rho \ mathbf {V})} {\ mathrm {D} t}} = \ left. {\ frac {\ partial (\ rho \ mathbf {V})} {\ partial t}} \ right | _ {\ xi} & = & \ left. {\ frac {\ partial (\ rho \ mathbf {V})} {\ partial t }} \ høyre | _ {x} + \ venstre (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ høyre) (\ rho \ mathbf {V}) \\ [0.8em] & = & \ left. {\ frac {\ partial (\ rho \ mathbf {V})} {\ partial t}} \ right | _ {x} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ høyre) - \ rho \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} \ right) \ mathbf {V} \ end {array}}}$

Bevaringsligningene i koordinatsystemet definert av er skrevet: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} = \ mathbf {V}}$

Kontinuitetsligning (eller massebalanseligning) ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ rho} {\ mathrm {D} t}} + \ rho \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}$
Momentum Balance Equation ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {V}} {\ mathrm {D} t}} = - \ mathbf {\ nabla} p + \ rho \ mathbf {g}}$
Energibalanse ligning ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ mathrm {D} E} {\ mathrm {D} t}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (p \ mathbf {V} \ right) + \ rho \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}$

Fra Boltzmann-ligningen for en gass

Vi betegner den statistiske fordelingsfunksjonen til hastigheten $V$ på tidspunktet $t$ ved punkt $x$ for partikkelen (atom eller molekyl) av massen $m$ . Det sannsynlige antall partikler i volumet , hastigheter på dette øyeblikket er . Den statistiske fordelingen $f$ måles derfor i s 3 m −6 . ${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, \ mathbf {v}, t)}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {x}, \ mathbf {x} + \ mathrm {d} \ mathbf {x}]}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {v}, \ mathbf {v} + \ mathrm {d} \ mathbf {v}]}$ ${\ displaystyle f \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \ mathrm {d} \ mathbf {v}}$

Den Boltzmann ligningen skrevet ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla f = Q (f, f)}$ hvor $Q$ , operatøren (eller kjernen) for kollisjon, er en kvadratisk integrert operatør som gir effekten av kollisjonene som man antar elastisk for å forenkle problemet: ingen utveksling mellom interne grader av frihet, rotasjon og oversettelse.

Fra mikroskopisk til makroskopisk

Boltzmann-ligningen beskriver utviklingen av partikler på mikroskopisk nivå. For å beskrive det makroskopiske nivået vi definerer

- partikkeltetthet	${\ displaystyle n = \ int _ {\ mathbf {vb}} f \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}}$
- tettheten	$ρ = nm$
- gjennomsnittshastighet	${\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {1} {n}} \ int _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {v} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}$
- den relative hastigheten	${\ displaystyle \ mathbf {U} = \ mathbf {v} - \ mathbf {V}}$
- indre energi	${\ displaystyle e = \ int _ {\ mathbf {v}} {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}$
- press	${\ displaystyle p = {\ frac {1} {3}} \ int _ {\ mathbf {v}} mU ^ {2} f \ mathrm {d} \ mathbf {U}}$

Vi kan deretter definere en temperatur fra tilstandsligningen ${\ displaystyle p = n \, k \, T}$

Evolusjonsligninger

Interaksjoner sparer masse, fart og energi. Vi sier at det er kollisjonelle invarianter. Ved å multiplisere Boltzmann-ligningen suksessivt med hver av disse størrelsene og ved å summere på hastighetene avbryter alle andre medlemmer hverandre: ${\ displaystyle m, m \ mathbf {v}, {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {v}} \ psi \, Q \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} = 0, ~~ \ forall \ psi \ in [m, m \ mathbf {v} , {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}]}$ Faktisk, hva som er sant for hver enkelt interaksjon, er nødvendigvis sant for dem alle.

Man oppnår således lett makroskopiske evolusjonsligninger kalt Enskog-ligninger i det generelle tilfellet og som her fører til Euler-ligningene gitt ovenfor.

Den tilsvarende mikroskopiske hastighetsfordelingen er Maxwell-fordelingen , noe som ikke er tilfelle for Navier-Stokes-ligningene .

Egenskaper til Euler-systemet

Analytiske løsninger av Eulers ligninger er svært sjeldne, selv for endimensjonale problemer. Vi kan imidlertid sitere:

den Hugoniot ligningen for en endimensjonal isentropisk strømning,
det forhold Rankine-Hugoniot for diskontinuiteter
den flyte Arnold-Beltrami-Childress som modell dynamisk system .

Entropi bevaring

Det første prinsippet om termodynamikk for en ideell gass gjør det mulig å avsløre entropien $S$ i tilfelle et reversibelt medium der vi forsømmer arbeidet relatert til $g$ : ${\ displaystyle \ mathrm {d} e = T \ mathrm {d} Sp \ mathrm {d} \ left ({\ frac {1} {\ rho}} \ right)}$ Fra hvor : ${\ displaystyle \ rho T {\ frac {\ mathrm {D} S} {\ mathrm {D} t}} = \ rho {\ frac {\ mathrm {D} e} {\ mathrm {D} t}} - {\ frac {p} {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D} \ rho} {\ mathrm {D} t}}}$ Ved å bruke kontinuitetsligningen blir dette uttrykket: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} S} {\ mathrm {D} t}} = 0}$ Strømmen er isentropisk på en strømlinje så lenge den er kontinuerlig. Vi ser nedenfor at dette ikke er tilfelle overalt på grunn av den mulige eksistensen av diskontinuiteter som tilsvarer irreversible termodynamiske transformasjoner.

Karakteristiske kurver og Riemann-invarianter

Systemets matematiske natur innebærer en rekke egenskaper som kjennetegner Eulerian flow. Vi plasserer oss i det endimensjonale tilfellet og av en ideell gass, tilstrekkelig for analysen. Vi forsømmer $g$ som generelt representerer tyngdekraften og hvis effekter ikke er merkbare i de svært komprimerbare strømmer som vi har å gjøre med her.

Ligningenes art

Systemet kan skrives i konservativ vektorform ved å introdusere flyt $F$ for variabelen $W$ : ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {F} (\ mathbf {W})} {\ partial x}} = 0}$ For det bruker vi forholdet mellom staten i form : ${\ displaystyle \, p = (\ gamma -1) \ rho \ left (E - {\ frac {V ^ {2}} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {W} = {\ begin {pmatrix} \ rho \\\ rho V \\\ rho E \ end {pmatrix}} = {\ begynn {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\ b_ {3} \ end {pmatrix}} \; \; \; \; \; \; F = {\ begin {pmatrix} \ rho V \\\ rho V ^ {2} + p \\ (\ rho E + p) V \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} b_ {2} \\ {\ frac {b_ {2} ^ {2}} {b_ {1}}} + (\ gamma - 1) \ left (b_ {3} - {\ frac {b_ {2} ^ {2}} {2b_ {1}}} \ right) \\ {\ frac {b_ {2}} {b_ {1}} } \ venstre [b_ {3} + (\ gamma -1) \ venstre (b_ {3} - {\ frac {b_ {2} ^ {2}} {2b_ {1}}} \ høyre) \ høyre] \ slutt {pmatrix}}}$ Vi avslører den jakobiske matrisen ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial t}} + \ mathbf {J} \, {\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial x}} = 0}$ eller: ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ frac {\ partial \ mathbf {F}} {\ partial \ mathbf {W}}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ {\ frac {\ gamma -3} {2}} V ^ {2} & (3- \ gamma) V & \ gamma -1 \\ - \ gamma eV + {\ frac {\ gamma -2} {2}} V ^ {3 } & \ gamma e + ({\ frac {3} {2}} - \ gamma) V ^ {2} & \ gamma V \ end {pmatrix}}}$

Matrisen er diagonaliserbar og har tre reelle egenverdier som gir forplantningshastigheter for forstyrrelsene i mediet: ${\ displaystyle \ lambda = {\ begin {pmatrix} Va \\ V \\ V + a \ end {pmatrix}}}$ hvor er lydens hastighet. ${\ displaystyle a = {\ sqrt {\ gamma (\ gamma -1) e}} \;}$

Egenvektorelinjen til venstre er: ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {1} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {V ^ {2}} {2}} + {\ frac {Va} {\ gamma -1}} \; \ ; \; \; \; - V - {\ frac {a} {\ gamma -1}} \; \; \; \; \; 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {2} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {V ^ {2}} {2}} - {\ frac {a ^ {2}} {\ gamma -1} } \; \; \; \; \; - V \; \; \; \; \; 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {3} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {V ^ {2}} {2}} - {\ frac {Va} {\ gamma -1}} \; \ ; \; \; \; - V + {\ frac {a} {\ gamma -1}} \; \; \; \; \; 1 \ end {pmatrix}}}$ Egenverdiene er reelle og tydelige, systemet er strengt hyperbolsk .

Bevaringsligningene av masse og momentum er skrevet: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ rho V) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho V) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ rho V ^ {2}) + {\ frac {\ delvis p} {\ partial x}} = 0}$ Fra følgende uttrykk for en ideell gass, og vi kan skrive: ${\ displaystyle {\ frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}} = C ^ {ste}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = \ gamma {\ frac {p} {\ rho}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} a} {a}} = {\ frac {\ gamma -1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ rho}}}$ Ved å bære inn ligningene for bevaring blir disse: ${\ displaystyle {\ frac {2} {\ gamma -1}} {\ frac {\ partial a} {\ partial t}} + {\ frac {2V} {\ gamma -1}} {\ frac {\ partial a} {\ partial x}} + a {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial t}} + V {\ frac {\ partial V} {\ partial x}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ delvis p} {\ partial x}} = 0}$ Ved å legge til og trekke disse to ligningene får vi: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial R _ {\ pm}} {\ partial t}} + (V \ pm a) {\ frac {\ partial R _ {\ pm}} {\ partial x}} = 0 }$ eller ${\ displaystyle R _ {\ pm} = V \ pm {\ frac {2a} {\ gamma -1}}}$ Disse mengdene er Riemann-invarianter . Dette navnet kommer fra følgende eiendom. La være de karakteristiske kurvene definert av: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ pm}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = V \ pm a}$ Variasjonen av $R \pm$ på denne krøllete abscissakurven s vil bli skrevet: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} R _ {\ pm}} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {\ partial R _ {\ pm}} {\ partial t}} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} + {\ frac {\ partial R _ {\ pm}} {\ partial x}} {\ frac {\ mathrm {d} x} { \ mathrm {d} s}} = \ left [{\ frac {\ partial R _ {\ pm}} {\ partial t}} + (V \ pm a) {\ frac {\ partial R _ {\ pm} } {\ partial x}} \ right] {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} = 0}$ $R \pm$ er derfor en mengde konservert på karakteristikkurven. Krysset mellom kurveneog(som er ukjente for problemet) gjør det mulig å beregne de lokale verdiene til $V$ og $a$ . I tillegg kjenner vi entropien, som vi har sett at den var konstant langs den aktuelle strømlinjen. Alle de lokale termodynamiske mengdene kan trekkes derfra. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {-}}$

To like egenskaper kan krysse hverandre. I krysset, hvis løsningene var regelmessige, ville de fysiske mengdene bli multivalued. Denne umuligheten er årsaken til utseendet til diskontinuiteter som er beskrevet av forholdene Rankine-Hugoniot .

Disse resultatene kan oppnås ved lineær algebra . Denne metoden gjør det mulig å generalisere til det flerdimensjonale tilfellet. Det er grunnlaget for metodene som brukes for digital oppløsning.

Ved lineær algebra

La $L være$ en av egenverdiene til venstre (radvektoren) av den Jacobianske matrisen. Det er definert av: ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {i} \ mathbf {J} = \ lambda _ {i} \ mathbf {L} _ {i}}$ Vi multipliserer systemet med denne vektoren: ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {i} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial t}} + \ mathbf {J} {\ frac {\ partial \ mathbf {W} } {\ partial x}} \ right) = \ mathbf {L} _ {i} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial t}} + \ lambda _ {i} {\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial x}} \ right) = 0}$ Vi definerer den karakteristiske kurven ved relasjonen (indeksen betyr "langs ..."): ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {i} \ in ({\ mathcal {C}} _ {0}, {\ mathcal {C}} _ {+}, {\ mathcal {C}} _ {-})}$ ${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {{\ mathcal {C}} _ {i}} = \ lambda _ { i} (\ mathbf {W})}$ Hvis vi introduserer denne ligningen i den forrige, kommer den: ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {i} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {W}} {\ partial x }} \ venstre. {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ høyre | _ {{\ mathcal {C}} _ {i}} \ høyre) = \ mathbf {L} _ {i} \ left. {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {W}} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {{\ mathcal {C}} _ { i}} = 0}$ Så $W$ er konstant sammen . Verdien er gitt av grensebetingelsene i : ${\ mathcal {C}} _ {i}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, t_ {0})}$ ${\ displaystyle W_ {i} (x, t) = W_ {i} (x- \ lambda _ {i} t) = W_ {i} (x_ {0} - \ lambda _ {i} t_ {0}) }$

Regioner med avhengighet, innflytelse og grenseforhold

De to karakteristikkene og på et punkt M som passerer gjennom A og B (se kurve) bærer informasjonen i Riemann-invarianten som tilsvarer bølgen som forplantes fra dette punktet, i den økende retningen t. Verdiene i M avhenger derfor av denne informasjonen og av entropien som bæres av den nåværende linjen som går gjennom dette punktet. Fra hvilket som helst punkt i ABM-domenet starter invarianter som krysser og . Verdiene til ethvert indre punkt er derfor knyttet til verdiene i M. Denne egenskapen definerer ABM-domenet som påvirkningsdomenet til verdiene i M eller, som tilsvarer det samme, definerer avhengighetsdomene til M. definerer innflytelsesdomenet til M ved karakteristikkene som starter fra dette punktet. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {-}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {-}}$

Dette gjør det mulig å gi grensebetingelsene i et beregningsdomene:

for de innkommende forholdene kreves det vanligvis to forhold som tilsvarer invarianten som bæres av og til entropien (eller et sett med tilsvarende verdier), ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {-}}$
for de utgående forholdene kreves det generelt en tilstand som tilsvarer den uendelige som bæres av (eller en tilsvarende mengde). ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {+}}$

I det supersoniske tilfellet . Verdiene i M avhenger bare av verdiene i . I dette tilfellet er det ingen utgående grenseforhold. Dette tegnet kan brukes til beregningen for å utføre en romlig feiing i stedet for en romlig iterasjon. Det er en metode som vanligvis brukes til beregning av dyser . ${\ displaystyle x_ {B} \, <\, x_ {M}}$ ${\ displaystyle x \, <\, x_ {M}}$

Invarians av homøthet

Vi er først interessert i systemet uten begrepet ekstern akselerasjon. Hvis vi multipliserer $x$ og $t$ samtidig med en skalar (homotitet i rom og tid) er Euler-ligningene uendret. Deres løsning er derfor identisk. Tidsromskalering fører til en skalering av løsningen. Denne egenskapen brukes i aerodynamikk for å rettferdiggjøre modelltester.

Egenskapen til uforanderlighet er fremdeles sant med begrepet $g$ forutsatt at det er delt med skaleringsfaktoren. Eksperimentelt innebærer dette bruk av en sentrifuge . Denne typen eksperimenter brukes heller på miljøområdet.

Dimensjonal analyse

Eulers ligninger involverer 6 størrelser $ρ , V , p , e , T , g$ og 4 dimensjoner: tid, rom, masse, temperatur. Den Vaschy-Buckingham teorem viser derfor at det foreligger 2 dimensjonsløse variable som tillater analyse av systemet. Disse variablene er for eksempel Mach- nummeret og Froude-tallet . For å skrive disse tallene er det nødvendig å definere referansemengder som er karakteristiske for det studerte problemet. La oss definere følgende variabler som fungerer som referanser:

en lengde , for eksempel krumningsradiusen til veggen i aerodynamikk, ${\ displaystyle L ^ {*}}$
en hastighet , en tetthet $ρ$ $*$ og en temperatur , for eksempel oppstrømsverdiene (grensetilstand) hvorfra et trykk blir trukket fra , $V ^ {*}$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ ${\ displaystyle p ^ {*} = \ rho ^ {*} {\ frac {R} {M}} T ^ {*}}$
en andre hastighet for forplantning av lydbølger, for eksempel for en ideell gass, $a ^ {*}$ ${\ displaystyle a ^ {*} = {\ sqrt {\ gamma ^ {*} {\ frac {R} {M}} T ^ {*}}}}$
en intern energi , for eksempel for en ideell gass, $e ^ *$ ${\ displaystyle e ^ {*} = {\ frac {p ^ {*}} {(\ gamma ^ {*} - 1) \ rho ^ {*}}} = {\ frac {{a ^ {*}} ^ {2}} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1)}}}$
akselerasjon . $g ^ {*}$

Vi kan da definere følgende reduserte variabler for dette problemet:

- plass	${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} = {\ frac {\ mathbf {x}} {L ^ {*}}}}$
- tid	${\ displaystyle {\ tilde {t}} = {\ frac {V ^ {}} {L ^ {}}} \, t}$
- Volumisk masse	${\ displaystyle {\ tilde {\ rho}} = {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {*}}}}$
- indre energi	${\ displaystyle {\ tilde {e}} = {\ frac {e} {e ^ {*}}}}$
- press	${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p} {\ rho ^ {} {a ^ {}} ^ {2}}}}$

og de dimensjonsløse variablene:

- Mach-nummeret	${\ displaystyle {\ mathcal {M}} a = {\ frac {V ^ {}} {a ^ {}}}}$
- Froude-nummeret	${\ displaystyle {\ mathcal {F}} r = {\ frac {{V ^ {}} ^ {2}} {g ^ {} L ^ {*}}}}$

Systemet med ligningsverdier er skrevet:

masse bevaring ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {\ rho}}} {\ partial {\ tilde {t}}}} + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}}) = 0}$

hvor er den dimensjonale nabla-operatøren brukt i det transformerte koordinatsystemet. ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} = L ^ {*} \ mathbf {\ nabla}}$

bevaring av fart

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {t}}}} ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {\ mathbf {V}}}) + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}} {\ tilde {\ mathbf {V}}}) = - {\ frac { 1} {\ gamma ^ {*} {\ mathcal {M}} a ^ {2}}} \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p}} + {\ frac {1} {{\ mathcal {F}} r}} \, {\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {g}}}}$

Energi konservering ${\ displaystyle {\ frac {\ partial ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {E}})} {\ partial {\ tilde {t}}}} + \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot \ left [\ left ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {E}} + {\ tilde {p}} \ right) {\ tilde {\ mathbf {V}}} \ right] = { \ frac {{\ mathcal {M}} a ^ {2}} {{\ mathcal {F}} r}} \, {\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {g}}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}}}$

med ${\ displaystyle {\ tilde {E}} = {\ frac {e ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {2}}} \, {\ tilde {e}} + {\ mathcal {M }} a ^ {2} {\ frac {| {\ tilde {\ mathbf {V}}} | ^ {2}} {2}}}$ I tilfelle en ideell gass ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1 )}}}$ Denne tilnærmingen kan brukes til analyse av ligninger og utførelse av eksperimenter som anses som realistiske fordi de respekterer kriteriet analogi når det gjelder dimensjonsløse tall.

Ukomprimerbare homogene strømmer

Strømmen av en væske sies å være komprimerbar og homogen når dens variasjoner i tetthet kan neglisjeres. Systemet med bevaringslover er skrevet i dette tilfellet:

Incompressibility-ligning (sammenfallende med massebalanseligningen for en homogen væske) ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {V} = 0}$
bevaring av fart ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p + \ mathbf {g}}$
Energi konservering: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial E} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (E \ mathbf {V}) = \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}$

Vi merker at bevaring av energi er koblet fra de andre bevaringsligningene, det vil si at vi kan bestemme hastigheten og trykket uavhengig av energilikningen.

Jevn, ukomprimerbar flyt

La oss undersøke det spesielle tilfellet med en stasjonær og komprimerbar strøm definert av: ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (H \ mathbf {V} \ right) = \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}$ Hvis den eksterne kraften er konservativ , nemlig $g = - \nabla φ$ , får vi ved å utvide den første termen og ta hensyn til inkompressibilitetsligningen: ${\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ nabla (H + \ varphi) = 0}$ Dette uttrykket som indikerer at $H + φ$ er konstant langs en nåværende linje, er Bernoullis teorem .

Vorticity evolusjonsligning, vortexvektor

Vi introduserer virvling, ${\ displaystyle \ mathbf {\ omega} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {V}}$ Denne mengden er veldig nyttig for å karakterisere rotasjonen av fluidelementer i en strømning, som ikke nødvendigvis tilsvarer en krumning av strømlinjene. Noen ganger introduserer vi også vortexvektoren, definert som . Denne definisjonen er slik at for en solid rotasjon (rotasjon av væsken i blokken) tilsvarer vortexvektorens norm vinkelhastigheten til rotasjonen. ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} = \ mathbf {\ omega} / 2}$

Vi oppnår evolusjonsligningen til virvling (eller vortexvektoren) ved å ta rotasjonen av momentumligningen, og ta hensyn til identiteten : ${\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla p: = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + \ nabla \ times (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {V}) = \ nabla \ times \ mathbf {g}}$ Bruke identitet ${\ displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {V}) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) \ mathbf {\ Omega} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {\ Omega}) \ mathbf {V} + \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ nabla \ mathbf {V} - \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ mathbf {\ Omega}}$ og ved å merke seg at de to siste begrepene er null, den første av kontinuitetsligningen, den andre på grunn av identiteten, kan vi skrive en transportligning av vortexvektoren: ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {V}): = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {\ Omega}} {\ mathrm {D} t}} = \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ nabla \ mathbf {V}}$ Denne mengden holdes vanligvis ikke. Imidlertid merker vi at hvis det i utgangspunktet er null, vil det forbli slik. Videre, i tilfelle av en plan vortex, er $Ω$ vinkelrett på planet som inneholder hastigheten.

Holder trafikkhastighet

Vi definerer hastighetsflyten som integralet på den lukkede konturen : $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {\ mathcal {C}} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ oint _ {\ mathcal {C}} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x}}$ Vi er interessert i den tidsmessige variasjonen av denne størrelsen, det vil si i skjebnen til elementene i væsken som tilhører denne konturen: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} = \ anint _ {\ mathcal {C}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} + \ oint _ {\ mathcal {C}} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {V}}$ Gull . Konturen er lukket, den andre integralen er derfor null. ${\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {V} = \ mathrm {d} \ left ({\ frac {1} {2}} V ^ {2} \ right)}$

For en strøm som man antar uten diskontinuitet er derfor isentropisk, blir entalpien gitt av det termodynamiske forholdet: ${\ displaystyle \ mathrm {d} h = {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ nabla h = {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p }$ Vi kan derfor skrive bevaring av momentum i form: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = - \ nabla h}$ Det vil si en overflate begrenset av , av normal . De Stokes teorem kan skrive, gitt identitet : ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {C}$ ${\ mathbf {n}}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ nabla p: = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} = \ int _ {\ mathcal {S}} (\ nabla \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}}) \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} s = - {\ frac {1} {\ rho}} \ int _ {\ mathcal { S}} (\ nabla \ times \ nabla p) \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} s = 0}$ Hastighetssirkulasjonen holdes i en strøm uten diskontinuitet.

Referanser

(in) Demetrios Christodoulou , " The Euler equations of compressible Flows " , Bulletin of the American Mathematical Society , vol. 44, n o 4,2007( les online )
Leonhard Euler , " General Principles of Fluid Movement ", Memoirs of the Royal Academy of Sciences og Belles Letters of Berlin , vol. 11,1757( les online )
Pierre-Simon de Laplace , " Om lydens hastighet i luft og i vann ", Annales de Chimie et de Physique III ,1816( les online )
(fra) Bernhard Riemann , “ Uber die Fortpfanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungswete” ” , Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalishe Klasse , vol. 8,1860( les online )
(in) Alexandre J. Chorin og Jerrold E. Marsden , A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics , Springer ( DOI 10.1007 / 978-1-4612-0883-9 , les online )
(in) S. Tsangaris og Th. Pappou , " Analytical Solutions for the Unsteady Compressible Flow Equations as Test Cases for the Verification of Numerical Schemes " , ADA390566 Report ,2000( les online )
Eric Goncalvès da Silva , " Numerisk oppløsning av Eulers ligninger 1D ", HAL cel-00556980 ,2011( les online )
(i) Thomas H. Pullian , " The Euler Equations " , Merk NASA ,1994( les online )
(in) Eleuterio F. Toro , Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer ,2009( ISBN 978-3-540-25202-3 )
(en) Lev Landau , Evgeny Lifshitz , Fluid Mechanics, Pergamon Press , 1987 ( ISBN 0-08-033933-6 ) [1]

Frédéric Moisy, Fluid mechanics , Cours des Universités Paris-sud og Paris-Saclay, 2015-2016 ( les online )
(en) GK Batchelor , En introduksjon til væskemekanikk , Cambridge / New York, Cambridge University Press ,2000, 615 s. ( ISBN 0-521-66396-2 )

Relaterte artikler