I generell algebra , er kommutativ algebra er den gren av matematikken at studier kommutative ringer , deres ideal , de moduler og algebra . Det er grunnleggende for algebraisk geometri og for algebraisk tallteori .
David Hilbert regnes for å være den sanne grunnleggeren av denne disiplinen som opprinnelig ble kalt “idealenes teori”. Mange antar at han ville ha tenkt på denne teorien som en tilnærming for å erstatte teorien om komplekse funksjoner . Beregningsaspektet ble presentert som sekundært, noe som ga mer rom for strukturer. Studiet av moduler , senere knyttet til denne teorien under innflytelse av Emmy Noether , presenterer i en eller annen form arbeidet til Kronecker , og er en teknisk forbedring uten å alltid jobbe direkte med det spesielle tilfellet av idealer.
I forhold til forestillingen om skjema kan kommutativ algebra betraktes som lokal teori eller affineteori om algebraisk geometri .
Den generelle studien av ringer som ikke antas å være kommutativ er kjent som ikke-kommutativ algebra ; det utvides av representasjonsteorien og av andre felt som for eksempel teorien om Banach-algebraer .