Tyngdepunkt
I fysikk er tyngdepunktet eller CdG (på engelsk, tyngdepunkt eller COG ), kalt G, applikasjonspunktet for den resulterende tyngdekraften eller tyngdekraften. Det er avhengig av gravitasjonsfeltet hvilken legemet er utsatt og kan ikke være strengt forveksles med sentrum av treghet som er barycenter av massene . I praksis blir det imidlertid likestilt med sistnevnte, siden gravitasjonsfeltet som kroppen utsettes for i de fleste tilfeller kan betraktes som ensartet i kroppen som vurderes.
Historisk
Viktigheten av tyngdepunktet
I statisk retning er tyngdepunktet påføringspunktet for vekten. Dette er en forenkling som består i å vurdere vekten som en kraft som påføres på et enkelt punkt, G, i stedet for å vurdere en volumskraft som gjelder på hvert punkt av objektet.
Mekanisk handlingsbalansetabell
Mekanisk handling |
Point Application |
Retning |
Betydning |
Intensitet
|
---|
Vekt P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}}}
|
Tyngdepunkt G |
Vertikal |
Ned |
m ⋅ g , hvor m er massen og g er den lokale intensiteten til tyngdekraftsfeltet g→{\ displaystyle {\ vec {g}}}
|
I tillegg til forenkling av statiske beregninger, er kunnskap om posisjonen til tyngdepunktet viktig for å bestemme stabiliteten til et objekt:
- for et objekt som plasseres på bakken, virkelinjen av vekten må passere gjennom støtteflaten ; hvis den er utenfor, bytter objektet;(G,z→){\ displaystyle (\ mathrm {G}, {\ vec {z}})}
- når et kjøretøy akselererer (i den fysiske forstanden av begrepet: hastighetsøkning, men også bremsing, sving), risikerer et objekt med høyt tyngdepunkt å vippe; det er mer en egenskap for massesenteret , og dette skyldes prinsippet om ekvivalens mellom tyngdekraft og akselerasjon;
- når du løfter en gjenstand (slynge), er tyngdepunktet justert med vertikalen som går gjennom selenes festestropper (stropper eller kabler); hvis festepunktet, rorstangen , ikke er rett over tyngdepunktet i starten, svinger objektet;
- for en flytende gjenstand er tyngdepunktet plassert rett over trykkpunktet til trykkreftene på skroget (se Archimedean Thrust ); hvis tyngdepunktet beveger seg, vipper objektet;
- når en enkelt person løfter en last for hånd, må han sørge for at gjenstandens tyngdepunkt er så nær bekkenet som mulig, og særlig må arbeide ryggen så rett som mulig; dette begrenser bøyningsinnsatsen på korsryggen.
Bestemmelse av tyngdepunktet
Eksperimentell bestemmelse
For komplekse gjenstander, for eksempel maskiner, bestemmes koordinatene x G og y G ved å slynge: løftetester utføres og posisjonen til slyngenes festepunkt justeres til likevekt oppnås.
Du kan også sette objektet på flere skalaer, minst tre. Posisjonen til tyngdepunktet er da barycenter for posisjonene til skalaene vektet av den målte vekten. For å bestemme tyngdepunktet til en bil, kan det for eksempel plasseres en skala under hvert hjul.
Høyden z G kan ikke bestemmes , bortsett fra når du utfører slynging eller veiingstester med en annen posisjon av objektet.
Beregning generelt
Tenk på et objekt hvis tetthet ved punkt M er lik og som ligger i tyngdefeltet . Posisjonen til tyngdepunktet er definert av følgende forhold:
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}ρ(M){\ displaystyle \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right)} g→(M){\ displaystyle {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M} \ right)}Gg{\ displaystyle \ mathrm {G} _ {g}}
∫VSGgM→∧π→(M) dV=0→{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M } \ høyre) ~ \ mathrm {dV} = {\ vec {0}}}der er vekten enhetsvektoren definert ved: .
π→(M){\ displaystyle {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right)}π→(M)=ρ(M)g→(M){\ displaystyle {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M } \ Ikke sant)}
Dette forholdet gjenspeiler det faktum at vektens øyeblikk i forhold til tyngdepunktet er null.
Demonstrasjon
Massen til et uendelig minimalt volum av materie dV rundt et punkt M er:
dm(M)=ρ(M)dV{\ displaystyle \ mathrm {dm} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm {dV}}.
Vekten av dette uendelige minimale volumet er verdt:
dP→(M)=g→(M)dm(M)=ρ(M)g→(M)dV{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {P}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm {dm} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm { dV}} ;
Vi kan definere tettheten:
π→(M)=ρ(M)g→(M){\ displaystyle {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = \ rho \ left (\ mathrm {M} \ right) {\ vec {g}} \ left (\ mathrm {M } \ Ikke sant)}Den uendelige minimale vekten er derfor verdt:
dP→(M)=π→(M)dV{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {P}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) = {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm {dV}}.
Den totale vekten av objektet er:
P→=∫VSdP→(M)=∫VSπ→(M)dV{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} = \ int _ {\ mathcal {C}} \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {P}}} \ left (\ mathrm {M} \ høyre) = \ int _ {\ mathcal {C}} {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ mathrm {dV}}.
Som et resultat av tetthetsvektene må vektmomentet i forhold til ethvert punkt A være lik summen av momentene til tetthetsvektene:
P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}}}
M→PÅ(P→)=∫VSM→PÅ(π→(M)) dV{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm {P}}}) = \ int _ {\ mathcal {C}} {\ vec { \ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M} \ right) \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} }.
La oss beregne medlemmene av denne ligningen:
M→PÅ(P→)=PÅG→g∧P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ mathrm {P}}} \ right) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}} } _ {g} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}}}
∫VSM→PÅ(π→(M)) dV= ∫VSPÅM→∧π→(M) dV= ∫VS(PÅG→g+GgM→)∧π→(M) dV= PÅG→g∧∫VSπ→(M) dV+∫VSGgM→∧π→(M) dV= PÅG→g∧P→+∫VSGgM→∧π→(M) dV= M→PÅ(P→)+∫VSGgM→∧π→(M) dV.{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ mathcal {C}} {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ pi}} \ venstre (\ mathrm {M} \ høyre) \ høyre) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} = \ & \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ wedge { \ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & \ int _ {\ mathcal {C}} \ left ( {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} _ {g} + {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ right) \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi }}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} _ {g} \ wedge \ int _ { \ mathcal {C}} {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} + \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} _ {g} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} + \ int _ {\ mathcal {C}} { \ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm {M} \ right) ~ \ m athrm {\ mathrm {dV}} \\ = \ & {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} \ left ({\ vec {\ mathrm {P}}} \ right) + \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {\ pi}}} \ left (\ mathrm { M} \ høyre) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} {\ text {.}} \ End {align}}}
Posisjonen til tyngdepunktet G g defineres derfor av følgende forhold:
∫VSGgM→∧π→(M) dV=0→{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} {\ overrightarrow {\ mathrm {G} _ {g} \ mathrm {M}}} \ wedge {\ vec {\ pi}} \ left (\ mathrm {M } \ høyre) ~ \ mathrm {\ mathrm {dV}} = {\ vec {0}}}.
Beregning av stillingen for enkle saker
Vi antar her at tyngdefeltet er homogent; tyngdepunktet er da sammenfallende med massesenteret.
g→{\ displaystyle {\ vec {g}}}
Tyngdepunktet til symmetriske objekter - sfærer, parallellepipeder (alle, rektangler eller terninger), høyre prismer, platoniske faste stoffer - og homogene ligger i deres geometriske sentrum. Hvis objektet har et element av symmetri, ligger tyngdepunktet på dette elementet av symmetri:
-
revolusjonssymmetri (del sammensatt av avkortede kjegler, avkuttede kuler, alle koaksiale sylindere): tyngdepunktet ligger på symmetriaksen;
- flysymmetri: tyngdepunktet ligger på symmetriplanet.
Hvis objektet er laget av et flatt ark med konstant tykkelse, er tyngdepunktet plassert på planet som går gjennom midten av arket, og på det normale som går gjennom tyngdepunktet til polygonet.
I tilfelle av en stiv enhet, som består av n delmontasjene hvis tyngdepunkter G i og vekter p i , er tyngdepunktet av sammenstillingen i barycenter av tyngdepunkt G i vektet med vektene p jeg :
OG→=1s∑1ikkesJegOG→Jeg{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} = {\ frac {1} {p}} \ sum _ {1} ^ {n} p_ {i} {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {Jeg}}hvor p er totalvekten, p = ∑ p i .
Tenk for eksempel på innløpsboksen til en varmeveksler motsatt.
Nomenklatur
11 |
1 |
Rør |
X2CrNiMo17-12-2 T |
64 |
∅273.1 th. 4,16 L = 228
|
10 |
1 |
Flens flat PN 16 DN 250 |
X2CrNiMo17-12-2 |
103 |
Type 01-A
|
5 |
1 |
Flat flens |
|
806 |
∅856 ∅711 th. 2
|
2 |
1 |
Hylse |
2CrNiMo17-12-2 |
610 |
11711 th. 6 L = 1408
|
1 |
1 |
Avrundet bunn |
X2CrNiMo17-12-2 |
310 |
11711 th. 6 L = 585
|
Rep. |
Nb |
Betegnelse |
Materiale |
Vekt (N) |
Observasjon
|
---|
Koordinatene til tyngdepunktene er i millimeter (vanlig enhet i kjeleproduksjon):
OG→1(120000),OG→2(77000),OG→5(50700),OG→10(790-5370),OG→11(790-5460).{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {1} {\ begin {pmatrix} 1200 \\ 0 \\ 0 \\\ end {pmatrix}}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}} } _ {2} {\ begin {pmatrix} 770 \\ 0 \\ 0 \\\ slutt {pmatrix}}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {5} {\ begin {pmatrix} 507 \ \ 0 \\ 0 \\\ end {pmatrix}}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {10} {\ begin {pmatrix} 790 \\ - 537 \\ 0 \\\ end {pmatrix} }, {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} _ {11} {\ begin {pmatrix} 790 \\ - 546 \\ 0 \\\ end {pmatrix}} {\ text {.}}}I beregninger blir dimensjoner omgjort til meter:
p = 310 + 610 + 806 + 103 + 64 = 1893 N ;
{xG= 310×1,2+610×0,77+806×0,507+103×0,79+64×0,791893=0,733 m=733 mmyG= -103×0,537-64×0,5461893=-0,044 m=-44 mmzG= 0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} x _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {310 \ times 1,2 + 610 \ times 0.77 + 806 \ times 0.507 + 103 \ times 0.79 + 64 \ times 0.79} {1893}} = 0.733 \ \ mathrm {m} = 733 \ \ mathrm {mm} \\ y _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {-103 \ times 0,537- 64 \ ganger 0,546} {1893}} = - 0,044 \ \ mathrm {m} = -44 \ \ mathrm {mm} \\ z _ {\ mathrm {G}} = \ & 0 \\\ end {align}} \ Ikke sant.}
Beregninger presenteres ofte i form av en tabell.
Bestemmelse av tyngdepunktet
Delsett i
|
p i |
x i |
y jeg |
z i |
p i ⋅ x i
|
p i ⋅ y i
|
p i ⋅ z i
|
---|
1 |
310 |
1.2 |
0 |
0 |
372 |
0 |
0
|
2 |
610 |
0,77 |
0 |
0 |
469,7 |
0 |
0
|
5 |
806 |
0,507 |
0 |
0 |
408,642 |
0 |
0
|
10 |
103 |
0,79 |
-0,537 |
0 |
81,37 |
-55,311 |
0
|
11 |
64 |
0,79 |
-0,446 |
0 |
55,56 |
-28,544 |
0
|
Sum |
1893 |
Ikke relevant |
1387,272 |
-83,855 |
0
|
Er
{xG= 1387,2721893=0,733 m=733 mmyG= -83,8551893=-0,044 m=-44 mmzG= 0{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} x _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {1387,272} {1893}} = 0,733 \ \ mathrm {m} = 733 \ \ mathrm {mm} \\ y _ {\ mathrm {G}} = \ & {\ frac {-83,855} {1893}} = - 0,044 \ \ mathrm {m} = -44 \ \ mathrm {mm} \\ z _ {\ mathrm {G}} = \ & 0 \\\ slutt {justert}} \ høyre.}
Grafisk metode
Den dynamiske og kabelbanemetoden kan brukes til å bestemme posisjonen til tyngdepunktet. Faktisk, hvis man vurderer diskrete elementer, kan man forestille seg systemet i likevekt på et punkt, dette utøver en kraft . Vi må derfor løse et statisk problem med parallelle krefter, bortsett fra at vi kjenner intensiteten til alle kreftene, og at det ukjente er handlingslinjen til en av dem ( ).
-P→{\ displaystyle - {\ vec {\ mathrm {P}}}}-P→{\ displaystyle - {\ vec {\ mathrm {P}}}}
Å fortsette :
- På dynamikken plasserer vi vektvektorene etter hverandre, i rekkefølgen av delene tatt fra venstre til høyre.
- Vi velger et punkt som kalles pol, og vi trekker linjene som forbinder polen til endene av vektorene (polære linjer); disse linjene er nummerert fra topp til bunn.
- Vi trekker parallellene til polærlinjene i figuren for å danne en brutt linje; for eksempel tegnes linjen 3 'parallelt med linjen 3 som skiller vektorene og mellom handlingslinjene til og .P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}
- Parallellene 0 'og 4' til de to ekstreme polare linjene er trukket fra endene av den brutte linjen; skjæringspunktet mellom disse linjene gir tyngdepunktets abscissa.
- For å bestemme ordinaten, snur vi figuren kvart omgang og bruker metoden igjen.
For å bestemme tyngdepunktet til en plate med kompleks form, kan vi kutte denne platen i strimler, legge vekt på hver stripe og bruke samme metode.
-
Bestemmelse av tyngdepunktet til en gruppe rektangler (Asger Ostenfeld , Teknisk Elasticitetslære , Forfatterens Forlag (København, 1898), plate 3)
-
Bestemmelse av tyngdepunktet til en skinne ( op. Cit. Plate 4)
Bruk av Guldins teoremer
De teoremer Guldin gjelder for roterende deler. De forholder seg
- posisjonen til tyngdepunktet for buen som genererer et skrog, lengden på buen og arealet av skroget;
- posisjonen til overflatens tyngdepunkt som genererer et fast stoff, arealet av denne overflaten og volumet til dette faste stoffet.
Det er således mulig å bestemme posisjonen til tyngdepunktet.
La oss studere et halvsylindrisk skall; sett fra siden, ser vi en halvcirkel. Diameteren vinkelrett på akkorden deler denne halvcirkelen i to like kvartsirkler; av symmetrihensyn ligger tyngdepunktet derfor på denne diameteren.
En halvcirkel, med lengden l = π r , som roterer rundt korden, genererer en sfære av område A = 4π r 2 . Tyngdepunktet krysser derfor en omkrets p verifisering
PÅ=sl⇒s=PÅl=4πr2πr=4r{\ displaystyle \ mathrm {A} = pl \ Rightarrow p = {\ frac {\ mathrm {A}} {l}} = {\ frac {4 \ pi r ^ {2}} {\ pi r}} = 4r }.
Hvis r G er radiusen til sirkelen beskrevet av tyngdepunktet, da
s=2πrG⇒rG=2rπ{\ displaystyle p = 2 \ pi r _ {\ mathrm {G}} \ Rightarrow r _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {2r} {\ pi}}}.
La oss nå studere en plate i form av en halv disk av areal A = 1 / 2π r 2 . Diameteren vinkelrett på akkorden deler denne halvcirkelen i to like kvartsirkler; av symmetrihensyn ligger tyngdepunktet derfor på denne diameteren.
Ved å snu snoren, genererer denne halvdisken en kule med volum V = 4 / 3π r 3 . Tyngdepunktet krysser derfor en omkrets p verifisering
V=sPÅ⇒s=VPÅ=4/3πr3πr2/2=83r{\ displaystyle \ mathrm {V} = p \ mathrm {A} \ Rightarrow p = {\ frac {\ mathrm {V}} {\ mathrm {A}}} = {\ frac {4/3 \ pi r ^ { 3}} {\ pi r ^ {2} / 2}} = {\ frac {8} {3}} r}.
Hvis r G er radiusen til sirkelen beskrevet av tyngdepunktet, da
s=2πrG⇒rG=4r3π{\ displaystyle p = 2 \ pi r _ {\ mathrm {G}} \ Rightarrow r _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {4r} {3 \ pi}}}.
Begrunnelse for beregningsmetoder
Tilfelle av et sett med materielle punkter
La være to materielle punkter M 1 og M 2 for respektive masser m 1 og m 2 , derfor av respektive vekter og . Hvis disse punktene er integrerte (forbundet med en stiv stang med ubetydelig vekt), kan de erstattes av et enkelt materialpunkt G av vekt .
P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}P→=P→1+P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} = {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}
For at systemet skal være statisk ekvivalent, må momentet til den resulterende vekten med hensyn til et hvilket som helst punkt A være lik summen av kreftmomentene og med hensyn til dette punktet:
P→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}}}P→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}}P→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}
M→PÅ(P→)=M→PÅ(P→1)+M→PÅ(P→2){\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm {P}}}) = {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1}) + {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {A}} ({\ vec {\ mathrm { P}}} _ {2})}det vil si per definisjon av øyeblikket til en styrke ,
PÅG→∧P→=PÅM→1∧P→1+PÅM→2∧P→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} _ {2} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}.
Vi plasserer oss i et ortonormalt koordinatsystem , z er den vertikale aksen, og vi noterer koordinatene:
(O,x→,y→,z→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {x}}, {\ vec {y}}, {\ vec {z}})}
M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), G ( x G , y G , z G )
og komponentene:
P→1(00-s1),P→2(00-s2),P→(00-s){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - p_ {1} \\\ end {pmatrix}}, {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - p_ {2} \\\ end {pmatrix}}, {\ vec {\ mathrm {P}}} {\ begin { pmatrix} 0 \\ 0 \\ - p \\\ end {pmatrix}}}med
s1=‖P→1‖,s2=‖P→2‖,s=s1+s2{\ displaystyle p_ {1} = \ | {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} \ |, p_ {2} = \ | {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2} \ |, p = p_ {1} + p_ {2}}.
Punktet A er vilkårlig, man kan altså beregne øyeblikket sammenlignet med O for å forenkle:
OG→∧P→=OM→1∧P→1+OM→2∧P→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OG}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {1} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {1} + {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} _ {2} \ wedge {\ vec {\ mathrm {P}}} _ {2}}er
(-yGsxGs0)=(-s1y1s1x10)+(-s2y2s2x20){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -y _ {\ mathrm {G}} p \\ x _ {\ mathrm {G}} p \\ 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -p_ {1} y_ {1} \\ p_ {1} x_ {1} \\ 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} -p_ {2} y_ {2} \\ p_ { 2} x_ {2} \\ 0 \\\ slutt {pmatrix}}}og så
{yG=s1y1+s2y2sxG=s1x1+s2x2s{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} y_ {1} + p_ {2} y_ {2}} {p}} \\ & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2}} {p}} \\\ end {matrix}} \ høyre. }Vi kan gjøre om beregningen ved å vurdere at vekten er orientert langs x- aksen ; som tilsvarer å snu den stive sammenstillingen {M 1 , M 2 } av et kvart omdreining i vertikalt plan ( x , z ), og å vurdere at referansemerket er relatert til den stive sammenstillingen {M 1 , M 2 }. Vi får da et nytt lignende forhold for koordinatene i z , nemlig til slutt:
{xG=s1x1+s2x2syG=s1y1+s2y2szG=s1z1+s2z2s{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2}} {p}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {p_ {1} y_ {1} + p_ {2} y_ {2}} {p}} \\ & z _ {\ mathrm {G} } = {\ frac {p_ {1} z_ {1} + p_ {2} z_ {2}} {p}} \\\ end {matrix}} \ right.}Tyngdepunktet er derfor barycenter for materialpoengene vektet av deres vekt. Vi kan utvide dette resultatet til et sett med n poeng M i ( x i , y i , z i ):
{xG=∑sJegxJegsyG=∑sJegyJegszG=∑sJegzJegs{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum p_ {i} x_ {i}} {p}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum p_ {i} y_ {i}} {p}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum p_ {i} z_ { i}} {p}} \\\ slutt {matrise}} \ høyre.}med p = ∑ p i . Den har alle de geometriske egenskapene til barycenter.
Tyngdefeltet antas å være homogent, det har vi
p i = m i ⋅g
p = (∑ m i ) ⋅ g
og så
{xG=∑mJegxJegmyG=∑mJegyJegmzG=∑mJegzJegm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} x_ {i}} {m}} \\ & y _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} y_ {i}} {m}} \\ & z _ {\ mathrm {G}} = {\ frac {\ sum m_ {i} z_ { i}} {m}} \\\ slutt {matrise}} \ høyre.}med m = ∑ m i . Vi finner definisjonen av massesenteret .
Tilfelle av en kontinuerlig gjenstand
La være et homogent objekt med tetthet ρ. Tenk på et uendelig minimalt volum av materie dV rundt et punkt M; det er et materialpunkt med masse dm = ρ (M) dV og med vekt d p = d m ⋅ g .
Beregningen er lik den diskrete saken, men summen blir en integral (integralen er en sum over et kontinuerlig sett):
{xG=1s∫x(M)ds=1s∫ρ(M)gx(M)dVyG=1s∫y(M)ds=1s∫ρ(M)gy(M)dVzG=1s∫z(M)ds=1s∫ρ(M)gz(M)dV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {p}} \ int x (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} p = {\ dfrac {1} {p}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) gx (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [2ex] & y _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {p}} \ int y (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} p = {\ dfrac {1} {p}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) gy (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [2ex] & z _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {p}} \ int z (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} p = {\ dfrac {1} {p}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) gz (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\\ end {matrix}} \ høyre. }med . Videre, hvis g er ensartet:
s=∫ds{\ displaystyle p = \ int \ mathrm {d} p}
p = mg med masse
m=∫ρ(M)dV{\ displaystyle m = \ int \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}}
er
{xG=1m∫ρ(M)x(M)dVyG=1m∫ρ(M)y(M)dVzG=1m∫ρ(M)z(M)dV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {m}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) x (\ mathrm { M}) \ mathrm {dV} \\ [1.5ex] & y _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {m}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) y (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [1.5ex] & z _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {m}} \ int \ rho (\ mathrm {M}) z (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\\ end {matrix}} \ right.}som er definisjonen av massesenter.
Tilfelle av et homogent objekt
Hvis tettheten er jevn, da
m=ρ∫dV=ρV{\ displaystyle m = \ rho \ int \ mathrm {dV} = \ rho \ mathrm {V}}og så
{xG=1V∫x(M)dVyG=1V∫y(M)dVzG=1V∫z(M)dV{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {V}}} \ int x (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\ [1.5ex] & y _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {V}}} \ int y (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \ \ [1.5ex] & z _ {\ mathrm {G}} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {V}}} \ int z (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV} \\\ end { matrise}} \ høyre.}Tyngdepunktet er derfor det “geometriske sentrum”, det vil si barycenter, med tanke på at alle punktene i objektet har samme vekting (isobarycenter).
Ikke-homogent tyngdefelt
Tilnærmingen av gravitasjonsfeltet eller ensartet tyngdekraft er imidlertid ikke alltid gyldig, spesielt i visse astronomiproblemer . For eksempel, når det gjelder månen , gjelder tyngdekraften sterkere på deler av månen nær jorden enn på deler lenger unna, så tyngdepunktet er faktisk litt nærmere enn massesenteret. I tillegg, hvis det kretsløpende legemet ikke er perfekt symmetrisk med hensyn til rotasjonsaksen , beveger tyngdepunktets stilling seg konstant med denne rotasjonen. Dette er grunnen til at en kretslegeme i tillegg til virkningene av tyngdevann har en tendens til å synkronisere rotasjonshastigheten med banehastigheten for å vise sitt mer sfæriske ansikt. Dette er allerede tilfelle for Månen som alltid viser det samme ansiktet , og planeten Merkur som alltid viser det samme ansiktet til solen . I tillegg er dette også grunnen til at lettelsen på den andre siden av månen er mye større enn det synlige ansiktet.
Svært ofte i mekanikk, hvor kroppsdimensjonen er liten sammenlignet med jordens rundhet, anser vi et jevnt tyngdefelt. Under denne antagelsen er tyngdepunktet og treghetssenteret det samme.
Objekter med et nysgjerrig eller kontraintuitivt tyngdepunkt
Tyngdepunktet til visse objekter er noen ganger i en merkelig posisjon. For eksempel kan dette tyngdepunktet være utenfor materie (materie som det preger definisjonen per definisjon): Dette er tilfellet med den grønne ringen av bildet motsatt eller for eksempel tilfellet med dornen (rør) som papirhåndkleet er viklet på.
Mange dekorative gjenstander bruker denne egenskapen til Gravity Center for å være i en kontraintuitiv posisjon (se bildet motsatt til høyre som har notater å ta på).
Motsatt til venstre den nysgjerrige balansen til rovfuglen.
Bibliografi
- Joseph Kane , Morton Sternheim et al. , “Static” , i fysikk: 1. syklus / lisens · PCEM · PCEP , Dunod,2004( ISBN 978-2-10-007169-2 )
Merknader og referanser
-
BTS ROC-sesjon 2002, U41-test.
Se også