Fiskekrok

I mekanisk Hamiltonian definerer vi kroken Poisson to observerbare og , det vil si to funksjoner på faseplassen til et fysisk system , ved å: $PÅ$ $B$

\ {A, B \} \ = \ \ sum _ {{i = 1}} ^ {N} \ \ left [\ {\ dfrac {\ partial A} {\ partial q_ {i}}} \ {\ dfrac {\ partial B} {\ partial p_ {i}}} \ - \ {\ dfrac {\ partial A} {\ partial p_ {i}}} \ {\ dfrac {\ partial B} {\ partial q_ {i} }} \ \ Ikke sant]

der variablene, kalt kanoniske , er de generelle koordinatene og de konjugerte øyeblikkene . $2N$ $IKKE$ $\ {q_ {i} \} _ {{i = 1, ..., N}}$ $IKKE$ $\ {p_ {i} \} _ {{i = 1, ..., N}}$

Dette er et spesielt tilfelle av Lie hook .

Eiendommer

Poisson-braketten er antisymmetrisk: $\ {A, B \} \ = \ - \ \ {B, A \}$
Poisson-braketten bringer en algebrastruktur til settet av observerbare, som i klassisk mekanikk er funksjoner på faseplassen :

{\ begin {justert} \ {A, B + C \} & = \ {A, B \} + \ {A, C \}, \\\ {\ alpha A, \ beta B \} & = \ alpha \ beta \ {A, B \}. \ end {justert}}

Poisson-braketten tilfredsstiller identiteten til Jacobi :

\ {A, \ {B, C \} \} \ + \ \ {B, \ {C, A \} \} \ + \ \ {C, \ {A, B \} \} \ = \ 0

De tre foregående egenskapene gjør Poissons krok til et spesielt tilfelle av Lie krok .

Poisson-kroken tilfredsstiller videre Leibniz identitet:

{\ displaystyle \ {A, BC \} \ = \ \ {A, B \} C \ + \ \ {A, C \} B}

Kanoniske variabler er knyttet til relasjoner: $\ {q_ {j}, q_ {k} \} \ = 0 \ quad \ {q_ {j}, p_ {k} \} \ = \ \ delta _ {k} ^ {j} \ quad \ {p_ { j}, p_ {k} \} \ = 0$
${\ displaystyle {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}} \ {A, B \} \ = \ left \ {{\ dfrac {\ partial A} {\ partial t}}, B \ right \} + \ venstre \ {A, {\ dfrac {\ delvis B} {\ delvis t}} \ høyre \}}$ fordi delderivatene pendler.

Kanoniske ligninger

La vær den Hamilton av disse er vurdert systemet. De Hamilton kanoniske ligningene er omskrevet ved hjelp av Poisson braketten i form: $H (q_ {i}, p_ {i})$

{\ dot {q}} _ {j} \ = \ \ {q_ {j}, H \} \ = \ {\ dfrac {\ partial H} {\ partial p_ {j}}}

og:

{\ dot {p}} _ {j} \ = \ \ {p_ {j}, H \} \ = \ - \ {\ dfrac {\ partial H} {\ partial q_ {j}}}

eller på en enhetlig måte:

\ forall x (t) \ i E ^ {R}, {\ dot {x}} = \ {x, H \}

hvor er faseplassen assosiert med den Hamilton-formuleringen. $E$

Evolusjon av alle observerbare

Generell sak

La være en observerbar , det vil si en funksjon på faseplassen avhengig av øyeblikk og generelle koordinater. Det følger av de foregående forholdene at: $PÅ$

{\ dfrac {{\ mathrm d} A} {{\ mathrm d} t}} \ = \ {\ dfrac {\ partial A} {\ partial t}} \ + \ \ {A, H \}

hvor indikerer delvis derivat av sammenlignet med en mulig eksplisitt avhengighet av sammenlignet med tid. ${\ tfrac {\ partial A} {\ partial t}}$ $PÅ$ $PÅ$

Total energitilfelle

Vi oppnår for den totale energien i systemet:

{\ dfrac {{\ mathrm d} H} {{\ mathrm d} t}} \ = \ {\ dfrac {\ partial H} {\ partial t}}

siden ved antisymmetri. $\ {H, H \} = 0$

Poisson-setning

Hvis og er to "første integraler" av systemet, det vil si om , så er det også en. $PÅ$ $B$ ${\ dfrac {dA} {dt}} = {\ dfrac {dB} {dt}} = 0$ $\ \ {A, B \}$

Demonstrasjon: I tilfelle hvor og ikke eksplisitt er avhengig av tid: i henhold til identiteten til Jacobi, har vi det .

PÅ

B

\ {A, \ {B, H \} \} \ + \ \ {B, \ {H, A \} \} \ + \ \ {H, \ {A, B \} \} \ = \ 0

Gull og derfor .

{\ dfrac {dA} {dt}} = \ {A, H \} = 0

{\ dfrac {dB} {dt}} = \ \ {B, H \} = 0

\ \ {H, \ {A, B \} \} = 0

Som heller ikke eksplisitt avhenger av tid, har man .

\ \ {A, B \}

{\ dfrac {d \ {A, B \}} {dt}} = \ {\ {A, B \}, H \} = 0

Derav konklusjonen for denne saken. I det generelle tilfellet: vi har

{\ dfrac {d} {dt}} \ {A, B \} \ = \ {\ dfrac {\ partial} {\ partial t}} \ {A, B \} \ + \ \ {\ {A, B \}, H \}

Ved å bruke Jacobi-identiteten og likheten ved bruk av delvise derivater, får vi

{\ dfrac {d} {dt}} \ {A, B \} \ = \ left \ {{\ dfrac {dA} {dt}}, B \ right \} + \ left \ {A, {\ dfrac { dB} {dt}} \ høyre \}

Konklusjonen i den generelle saken er da åpenbar.

Kanonisk kvantisering

Poisson-braketten av interesse er at du enkelt kan bytte til kvantifisering i den algebraiske formalismen til Heisenberg i kvantemekanikken . Generelt er det tilstrekkelig å foreta en erstatning:

\ {X, Y \} \ \ til \ {\ dfrac {1} {i \ hbar}} \ [\ widehat {X}, \ widehat {Y}]

hvor betegner kommutatoren , for å oppnå kommuteringsforholdene til operatørene i Heisenberg-formalismen fra Poisson-parentesene til de klassiske observerbare. Den samme strategien gjelder for kvantisering av et klassisk felt. $[.,.]$

Merknader

Vi sier også "konstant bevegelse".

Bibliografi

R. Campbell, Analytical Mechanics , Coll. Que sais-je?, Presses Universitaires de France
Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 1: Mekanikk [ detalj av utgaver ]
Lev Landau og Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 3: Kvantemekanikk [ detalj av utgaver ]
A. Messias, kvantemekanikk , Dunod

Se også

Relaterte artikler