Maltesisk kors (mekanisme)

Det maltesiske korset er et mekanisk apparat som forvandler en kontinuerlig rotasjonsbevegelse til en rykkete rotasjon. Navnet stammer fra dets likhet med det maltesiske korset (✠, symbol på St. John of Jerusalem eller Maltas suverene orden ), men med sirkulære sider. På engelsk og spansk tar denne mekanismen navnet sitt fra byen Genève ( Genève-stasjon , Rueda de Ginebra ) - men på engelsk brukes også begrepet maltesisk kors .

Den mekaniske enheten består av en kam drevet av en "tilhenger", som tillater indeksering .

Historisk

Oppfinneren Jules Carpentier i Frankrike, som jobbet med brødrene Lumière , og Oskar Messter , en av pionerene innen tysk kino, patenterte maltesiske kryssapparater allerede i 1896. Men det er det maltesiske korset i fire grener av Pierre-Victor Continsouza. som da var den mest brukte i filmprojeksjonsenheter.

Bruker

Den brukes spesielt til filmfilm (ikke-digital) i projektorer og sjelden i kameraer til fremføring av filmen: filmen må stoppe ved hvert bilde foran lukkeren (fotografering) eller foran lampen (projeksjon).

Denne mekanismen finnes i mekaniske teller (bil kjørelengde, vann- eller gassforbruk osv.) Der den garanterer justering av figurene og vipping av dem ved hver forvaring. Den brukes også i maskiner som implementerer en produktoverføring med behov for ventetid når den blir introdusert (som koblingsstang-veivsystemet ikke tillater). For eksempel er det funnet ved bunnen av bevegelser som brukes på emballasjemaskiner: produktene introduseres i en matbutikk i henhold til en forhåndsdefinert mengde (stoppfase), og pakkes deretter inn under overføringsbevegelsen (fase i bevegelse).

Operasjon

Driften av den maltesiske kryssmekanismen er som følger: en sylinder, kalt et sveiv eller drivhjul, roterer kontinuerlig, med vanlig hastighet, og bærer en finger. Fingeren kommer inn i et spor i det maltesiske korset (det drevne hjulet), og får det til å rotere 1 / n sving, der n er antall spor i korset ( n = 4 i figuren motsatt, 6 i l animasjon over).

Deretter kommer fingeren ut av sporet, motorsylinderen fortsetter sin gang mens det maltesiske korset forblir ubevegelig. Den sentrale sylinderen, delvis uthult, utfyller avrundingen av det maltesiske korset; dette tjener til å stabilisere posisjonen til anordningen når fingeren ikke er i inngrep i et spor.

Antall spor kan ha jevne eller odde verdier, vanligvis mellom 4 og 10.

Varianter

Internt maltesisk kors.
Drift av et internt maltesisk kors.
Sfærisk maltesisk kors.

Det er to varianter: det indre maltesiske korset og det sfæriske malteserkorset, "i tulipan" (system med samtidige akser).

Når det gjelder det indre maltesiske korset, er motorakselen (som bærer drivhjulet) montert på en utkrageaksel ( utkraget , den holdes bare på den ene siden). Skaftet er derfor mer følsomt for bøying, noe som kan være et problem hvis lasten er tung.

I tillegg er kjøretiden større enn en halv periode: det tar mer enn en halv omdreining av drivhjulet for å få det drevne hjulet til å dreie ett trinn. Treningstiden (motortiden) er derfor større enn hviletiden, i motsetning til et eksternt maltesisk kors. Følgelig er maksimal akselerasjon lavere, men fremdeles viser diskontinuiteter i begynnelsen og slutten av bevegelsen.

Når det gjelder det sfæriske maltesiske korset, må treet også være utkraget. Treningstiden er en halv periode; treningsvarigheten er lik hviletiden.

Hyllest

Noen filmskapere har hyllet denne mekanismen, som er grunnleggende for innspilling og projeksjon på film:

Wim Wenders , i The American Friend (1977): et barn, sønn av Jonathan og Marianne Zimmermann, leker med et maltesisk trekors; og i Au fil du temps (1976) ville "kino ikke eksistere uten denne oppfinnelsen" ifølge Bruno Winter, hovedpersonen, projektorreparatør.
Martin Scorsese i Hugo Cabret (2011): når Georges Méliès er ferdig med automaten, er det siste stykket han setter på plass et maltesisk kors.

Malteserkorset var logoen til Cinemeccanica (it) projektormerke . Den nåværende logoen så vel som logoen til CineCloud-merket er et stilisert maltesisk kors (se logoen på den offisielle siden ).

Mekanisk studie

Geometriske begrensninger

Det kritiske driftspunktet er når fingeren kommer inn i sporet. Dette pålegger et forhold mellom kranken R's radius, det vil si avstanden mellom sentrum av fingeren og sentrum av drivhjulet som støtter den, og midtavstanden E, det vil si avstanden mellom sentrum av drivhjulet og midten av det maltesiske korset. For at det ikke skal bli noe støt, må hastighetsvektoren være i sporets akse.

Vi kaller α halvparten av rotasjonsvinkelen til det drevne hjulet per omdreining av drivhjulet

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

i radianer

la $α = π / 4 = 45 °$ for fire spor, og $α = π / 6 = 30 °$ for seks spor. Vi har da følgende relasjoner mellom senteravstanden E, radien av drivhjulet R 1 og radien av det drevne hjulet R 2 :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha}

Mellom 0 og $π / 4$ (0 og 90 °) øker sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen synker i α. Vi utlede at for en gitt senteravstand, desto flere spor vi har (jo større n er), er den mindre α derfor jo mindre R 1 og jo større R- 2 .

Demonstrasjon

La oss representere systemet når fingeren kommer inn i sporet. Vi plasserer linjen som forbinder sentrene på hjulene til det horisontale. Sporet lager derfor en vinkel α med det horisontale. Hastighetsvektoren er vinkelrett på banen; som fingeren beskriver en sirkel, er linjen som bærer hastighetsvektoren derfor tangent til sirkelen, det vil si vinkelrett på radiusen på dette punktet. Vi har derfor en rettvinklet trekant med hypotenusen E, hvor en av vinklene er $π / n$ , og hvis side som er motsatt av vinkelen har lengde R 1 . Så vi har:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

Radien til sirkelen som er avgrenset til det maltesiske korset, er også lengden på den tilstøtende siden av høyre trekant, dvs.

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha.}

I tillegg må sporets nominelle bredde være lik den nominelle diameteren 2 r på fingeren: mindre, fingeren kunne ikke komme inn, for stor, det ville være et sjokk. I praksis er det et spill: sporet må være litt bredere enn fingeren for å tillate bevegelse. Det er mulig å bruke en såkalt "glidende uten lek" -justering, eller mer presist "presis veiledning", betegnet H7 / g6, for å begrense støt, men dette er dyrt å oppnå.

Enden på grenene må ha en bredde som ikke er null. Det er faktisk nødvendig å innføre en minimumsbredde e 1 , som avhenger av ønsket motstand. Dette pålegger en maksimal radius for startsperresylinderen. I tillegg må kontakten være effektiv, det er derfor en minimumsradius, nemlig:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

dimensjonen e 1 er tykkelsen som det er ønskelig å beholde i enden av grenen for å ha tilstrekkelig styrke.

Demonstrasjon

Vi har nominelle odds (forutsatt null klarering):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

På grunn av nødvendig klarering er det faktisk nødvendig

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

forskjellen (R 1 - r - e 1 ) - R 3 er spillet.

Kontakten må være effektiv, så vi har også nødvendigvis:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

Minimumslengden på sporet L oppnås ved å vurdere posisjonen som fingeren er mest engasjert med. Vi har da, ved å orientere lengdene til venstre:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ venstre (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ høyre) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

Maksimal lengde er at man etterlater nok materiale til at malteserkorset tåler stress. Hvis vi kaller r a radiusen på skaftet til det maltesiske korset og e 2 den minste materialtykkelsen vi ønsker, så har vi:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Kinematisk studie

Det antas at drivhjulet (sveiven) roterer med konstant vinkelhastighet ω (jevn rotasjonsbevegelse). Figuren motsatt representerer mekanismen i drift. Hvis vi noterer som før

n det antall spor i malteserkors (drevet hjul);
α = 2π / n vinkelen mellom to spor

og at vi introduserer rapporten

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

så bemerker vi at:

den maksimale vinkelhastigheten til det drevne hjulet er ;
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
maksimal vinkelakselerasjon er verdt, avhengig av antall spor:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
den innledende og endelige vinkelakselerasjonen er ikke null, noe som betyr at det drevne hjulet utsettes for støt uendelig vinkel ( diracs ) i praksis begrenset av elastisiteten og friksjonen i systemet.

Disse rykketoppene utgjør ikke et problem så lenge man holder seg i lave hastigheter og treghet. På den annen side blir de uoverkommelige for systemer med høy hastighet og høy belastning.

Demonstrasjon

Vi kaller inngangsvinkel, og vi betegner med θ e , vinkelen laget av strålen som passerer gjennom fingeren med x- aksen , og som karakteriserer drivhjulets retning. Vi kaller utgangsvinkel, og vi betegner med θ s , vinkelen laget av aksen til et spor i forhold til x- aksen , og som karakteriserer retningen på det drevne hjulet.

Studie av intermittency

Innløpsvinkelen θ e endres jevnt

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

vinkelhastigheten ω er negativ på tegningen. Timelikningen til inngangsvinkelen skrives derfor

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

hvor $φ$ er vinkelen ved t = 0, valgt vilkårlig. For den grafiske representasjonen velger vi $φ$ slik at fingeren kommer inn i sporet ved t = 0, dvs.

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

Treningsvarigheten $τ$ tilsvarer en rotasjon av drivhjulet fra en vinkel $φ$ til den symmetriske vinkelen - $φ$ , dvs.

{\ displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alpha - \ pi.}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

Den totale perioden er lik $T = -2π / ω$ , så treningsfasen er en brøkdel av den totale perioden verdt

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Deretter bestemmer vi for enkelhets skyld θ s som en funksjon av θ e snarere enn t .

Studie av vinkelforhold

Inngangsvinkelen er relatert til utgangsvinkelen ved at de to høyre trekantene har samme motsatte side h :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Så det har vi gjort

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ times {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ høyre)}

Lov om bevegelse

La oss som foreløpig beregne følgende derivater:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

og på samme måte

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

Vinkelhastigheten til det drevne hjulet oppnås ved bypass. La oss ta igjen uttrykk for tan θ s . Hvis vi avleder venstre lem, har vi det

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ Ikke sant)}

og ved å utlede høyre side:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} høyre) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Ved å skrive likheten mellom de to medlemmene får vi

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Ved å utlede bestemmer man vinkelakselerasjonen:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Vi bemerker at denne akselerasjonen forsvinner for θ e = 0, så hastigheten er maksimum på dette punktet, og

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

Ved opprinnelsen har vi θ e = φ og derfor

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

det er derfor en uendelig rykk ved opprinnelsen. Ved symmetri er det et uendelig rykk på slutten av bevegelsen.

Ved å utlede akselerasjonen får vi rykket under bevegelse:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ venstre (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} høyre) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {aligned}}}

Akselerasjonen er maksimal når rykket avbrytes, noe som tilsvarer å løse:

{\ displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

det vil si ved å sette x = cos θ e

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

som er en kvadratisk ligning av strengt positiv diskriminerende

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Ligningen innrømmer derfor to virkelige løsninger

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Vi oppnår for noen verdier av n :

ikke	k	x 1	x 2	θ e	Iht. maks.
4	√2	0,980	1.33	-0.200 rad (-11.5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0,921	1.17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8	2.61	0,851	1.04	-0,552 rad (-31.6 °)	0,268 × ω 2

Digital applikasjon

Tenk på en kinoprojektor med malteserkors med fire spor. Så vi har:

et drivhjul med rotasjonsfrekvensen N = 24 Hz (24 bilder per sekund), eller ω = 2π N ≃ 151 rad / s ;
et forhold på $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

og så

ω 0 ≃ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 rpm ;
α 0 ≃ 8,69 x 10 4 rad / s 2 .

Merknader og referanser

" Maltese Cross " , på projector.mip.free.fr (åpnet 30. juni 2016 )

Se også

Bibliografi

(en) John H. Bickford , Mekanismer for periodisk bevegelse , New York, Industrial Press inc.,1972, 264 s. ( ISBN 0-8311-1091-0 , leses online ) , kap. 9 (“Geneva Mechanisms”) , s. 127-138

Relaterte artikler

Eksterne linker

Det maltesiske korset på nettstedet til University of Nantes ( Java kid animation )
Det maltesiske korset : nettsted relatert til begynnelsen på kinohistorien sett gjennom periodebøker