Hermitisk rom

I matematikk er et Hermitian-rom et vektorrom på kommutativt felt av komplekser med endelig dimensjon og utstyrt med et Hermitian-punktprodukt . Den Geometrien av en slik plass er analog med den i en euklidsk plass . Mange egenskaper er felles for begge strukturer.

Dermed er de karakteristiske påminnelsene som Cauchy-Schwarz- ulikheten og den trekantede ulikheten alltid gyldige, eksistensen av bestemte baser , sies å være ortonormal , sikres, og den kanoniske relasjonen mellom rommet og dets dobbelte har samme art som den av den euklidiske konfigurasjonen.

Den algebraisk lukkede karakteren til den underliggende kroppen gjør diagonaliseringen av endomorfismen kompatibel med det skalære produktet mer generelt. Begrepet kompatibelt her betyr normalt , det vil si pendling med tillegg .

Til slutt er et hermitisk rom med dimensjon n også et euklidisk rom med dimensjon 2 n , derfor er de topologiske egenskapene nøyaktig de samme.

Denne strukturen skylder navnet sitt til den franske matematikeren Charles Hermite ( 1822 - 1901 ) .

Definisjon og første egenskaper

Definisjoner

Målet er å generalisere den euklidiske romstrukturen til komplekse tall, noe som gir fordelen av å være et algebraisk lukket felt. På den annen side er det ikke lenger en ordrerelasjon som er kompatibel med kroppens operasjoner, og kvadratet til et kompleks er noen ganger negativt. For å overvinne denne vanskeligheten, er ikke skalarproduktet lenger en bilinær form, men en hermitisk form.

En hermitisk form er en kartlegging〈⋅, ⋅〉 fra E × E til ℂ slik at:

for alle x i E , er kartet φ x av E i ℂ definert av φ x ( y ) = 〈y , x〉, en lineær form og
for alle x og y i E , (hvor representerer bøyningen ). $\ langle x, y \ rangle = \ overline {\ langle y, x \ rangle}$ ${\ bar {\ cdot}}$

Spesielt er 〈x , x〉reell , og er en kvadratisk form på E sett på som ℝ-vektorrom. $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Merk også at en hermitisk form med denne definisjonen er sesquilinear til høyre .

Som fører til følgende definisjoner:

Definisjon - Et prikkprodukt over et komplekst vektorrom er en hermitisk form 〈⋅, ⋅〉 slik at den virkelige kvadratformen er positiv bestemt . $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Under disse forholdene er den virkelige delen av 〈⋅, ⋅〉 et euklidisk skalarprodukt for den virkelige vektorromsstrukturen oppnådd ved begrensning, og den imaginære delen en alternerende bilineær form som ikke degenererer , med andre ord en symplektisk form . ${\ mathfrak {Re}} \ left (\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ right)$

Begrepet Hermitian-produkt er synonymt med prikkprodukt over et komplekst vektorrom.

Definisjon - Et hermitisk rom er et komplekst vektorrom med endelig dimensjon og utstyrt med et punktprodukt.

Kartleggingen som til en vektor x forbinder kvadratroten av punktproduktet av x i seg selv, er en norm som kalles den hermitiske normen ; den tilknyttede avstanden , som med to vektorer forbinder normen for deres forskjell, kalles Hermitian-avstanden .

I resten av artikkelen betegner E et komplekst vektorrom med endelig dimensjon, ℂ kroppen av komplekse tall, 〈⋅, ⋅〉 et skalarprodukt på E , valgt lineært med hensyn til den første variabelen og semi-lineær med hensyn til pr sekund. Normen er notert ║ ∙ ║.

Eksempler

Vektorrommet ℂ n , utstyrt med det kanoniske skalarproduktet og tilhørende norm, definert for x = ( x 1 ,…, x n ) og y = ( y 1 ,…, y n ), av $\ langle x, y \ rangle = x_ {1} \ overline {y_ {1}} + x_ {2} \ overline {y_ {2}} + \ ldots + x_ {n} \ overline {y_ {n}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ overlinje {y_ {i}} {\ text {et}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}},$ er et hermitisk rom kalt kanonisk hermitisk rom med dimensjon n .
På vektorområdet M n (ℂ) av firkantede matriser av orden n , identifisert med ℂ ( n 2 ) , blir det kanoniske skalære produktet omskrevet: $\ langle A, B \ rangle = \ sum _ {{i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}} A _ {{ij}} \ overline {B _ {{ij}}} = { \ mathrm {tr}} (AB ^ {*})$ hvor $tr$ betegner sporet og B * betegner tilleggs (eller transkonjugat) matrise av B (det vil si transponere av matrisen hvis koeffisienter er konjugatene til koeffisientene B ). Den tilhørende normen kalles “ Frobenius-normen ”.
Vektorrommet for komplekse polynomer med en grad mindre enn eller lik n ,
- leveres med skalarproduktet $\ left \ langle \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} b_ {i} X ^ {i} \ høyre \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} \ overlinje {b_ {i}}$ er et hermitisk rom, trivielt isomorft til det kanoniske hermitiske rommet med dimensjon n + 1.
- med et annet skalarprodukt: $\ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) \ overline {Q (t)} \ {{\ rm {d}}} t$ er også et hermitisk rom. Dette skalarproduktet er det fra Hilbert-rommet $L 2 ([0, 1])$ (av uendelig dimensjon), begrenset til underområdet til polynomfunksjoner (identifisert som polynomier) med en grad mindre enn eller lik n .
- leveres med skalarproduktet (forskjellig fra de to foregående): $\ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} P (x_ {i}) \ overline {Q (x_ {i})}$ (der x 0 ,…, x n er n + 1 distinkte komplekser) er isomorf til det kanoniske hermitiske rommet av dimensjonen n + 1, ved kartet P ↦ ( P ( x 0 ),…, P ( x n )).

Ulikheter og identiteter

Følgende egenskaper er verifisert i ethvert komplekst prehilbertisk rom , av dimensjon som ikke nødvendigvis er endelig. Noen er bare en repetisjon av egenskapene til det virkelige $prikkproduktet Re$ (〈⋅, ⋅〉), som har samme tilknyttede norm som 〈⋅, ⋅〉.

I likhet med den virkelige situasjonen blir de to klassiske tilleggene alltid bekreftet. Hvis x og y betegner to vektorer av E :

den Cauchy-Schwarz : ; $| \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |$
den trekant ulikheten : De sistnevnte viser at den tredje aksiom av definisjonen av en standard , nevnte subadditivity er avmerket. De to andre (separasjon og homogenitet) er tydeligvis slik. $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.$
Utviklingen av kvadratet til normen for en sum, $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 {{\ rm {Re}}} \ left (\ langle x, y \ rangle \ right),$ tillater oss å etablere den pythagoreiske teoremet : hvis x og y er ortogonale , så er det motsatte ikke lenger sant, i motsetning til den euklidiske situasjonen, siden et skalarprodukt her kan være en ren imaginær ikke-null. $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2}.$
Utviklingen av kvadratet til normen for summen av to vektorer viser parallellogramregelen , som karakteriserer normene som følge av et punktprodukt : $\ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2},$
så vel som den polare identiteten: $\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ langle x, y \ rangle +2 \ langle y, x \ rangle.$
Den polariseringen identitet (formulert her for en rett sesquilinear skjema ), mer presist, viser at de skalarproduktet er fullstendig bestemt av den norm: $\ langle x, y \ rangle = {\ frac 14} \ sum _ {{k = 0}} ^ {3} {{\ rm {i}}} ^ {k} \ | x + {{\ rm {i }}} ^ {k} y \ | ^ {2}.$

Eiendommer

Ortonnormalt grunnlag

Situasjonen er nøyaktig den samme som i et euklidisk rom:

enhver ortonormal familie er gratis ;
hvis E er et hermitisk rom med dimensjon n og B et ortonormalt grunnlag for E , er for alle vektorene u og v for E , av koordinatene x og y i B , skalarproduktet 〈u , v〉 lik skalarproduktet 〈x , y〉 i det kanoniske hermitiske rommet med dimensjon n . Med andre ord, den lineære sammenhengen fra E til ℂ n som assosierer med en hvilken som helst vektor dens koordinater i B respekterer de to skalære produktene og utgjør således en isomorfisme av Hermitian-rom;
Beviset for Bessels ulikhet viser at hvis ( f i ) er et ortonormalt grunnlag for et vektors underområde F av E , vil enhver vektor x av E innrømme en ortogonal projeksjon på F , hvis koordinater i ( f i ), kalt Fourier-koeffisienter, er 〈X , f i〉 og bekreft $\ sum | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~;$
vi utleder Gram-Schmidt-algoritmen , som sikrer eksistensen av et ortonormalt grunnlag.

Dobbelt, tilleggs- og tensorprodukt

Husk at i denne artikkelen er en hermitisk form en riktig sesquilinear form med Hermitian symmetri.

Konfigurasjonen er nok en gang analog med den i euklidiske rom. Punktproduktet gir et kanonisk kart φ av E i sin doble E *:

{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad \ varphi _ {x}: E \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad y \ mapsto \ varphi _ {x} (y) = \ langle y, x \ rangle .}

Rekkefølgen er her omvendt sammenlignet med konvensjonen valgt i artikkelen om det euklidiske rommet. Faktisk ville φ x være semi-lineær ellers, og vi ville oppnå en lineær sammenheng av E i sin antidual (vektorrom av semi-lineære former).

Med den valgte rekkefølgen har vi en semi-lineær sammenheng φ fra E til dens doble E *. Når E * er utstyrt med den doble normen , er denne bindingen til og med en isometri (ifølge Cauchy-Schwarz-ulikheten ), som beviser at denne normen er Hermitian, det vil si assosiert med et skalarprodukt: den som er definert av 〈φ ( x ), φ ( y )〉 = 〈y , x〉.

Vi trekker fra φ to sammenhenger ψ 1 og ψ 2 , fra rommet L ( E ) endomorfismer av E i rommet L 3/2 ( E ) fra de sesquilineære formene til høyre:

\ forall a \ i {{\ rm {L}}} (E) ~ \ forall x, y \ i E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x), y \ rangle {\ text {and}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.

ψ 1 er lineær og ψ 2 er semi-lineær, så forbindelsesbinding ψ 2 −1 ∘ψ 1 er semi-lineær. Til en endomorfisme a forbinder den endomorfismen a * kalt tillegg og definert av følgende likhet:

\ forall x, y \ i E \ quad \ langle a (x), y \ rangle = \ langle x, a ^ {*} (y) \ rangle.

Endomorphisms lik (resp. Motstå) til deres medhjelper er sagt å være Hermitians eller selv-medarbeidere (resp. Antihermitians eller anti-selv-stående).

Den semi-lineære - derav ℝ-lineær - kart L ( E ) → L ( E ), a ↦ a * er ikke bare bijektiv (en semi-isomorfisme) men involutiv (( a *) * = a ). I L ( E ) betraktet som et ℝ-vektorrom, er det derfor symmetrien med hensyn til ℝ-underområdet til hermitiske endomorfismer, med hensyn til den ekstra av antihermitians.

Hermitisk skalarprodukt på et tensorprodukt , spesielt på L ( E ) ≃ E * ⊗ E , er definert på en lignende måte som det euklidiske tilfellet. Vi oppnår

\ langle a, b \ rangle = {\ mathrm {Tr}} (a \ circ b ^ {*}).

Den semi-lineære symmetrien a ↦ a * bevarer den tilknyttede normen, derfor også det tilhørende euklidiske skalære produktet $Re$ (〈⋅, ⋅〉) (jf. § “Definisjoner” ).

Eksempler

Vi har ( $i$ a ) * = - $i$ ( a *). Hvis a er Hermitian, er $jeg$ a antihermitian.
Hvis A er matrisen til a med hensyn til et ortonormalt grunnlag, er den til tilleggsstoffet matrisen A *.
Når endomorfismene er representert av matriser på en fast ortonormal basis, finner vi dermed det kanoniske Hermitian-produktet på M n (ℂ) .

Euklidisk rom, Hermitisk rom

La E være et rom fra Hermiti. Det virkelige vektorrommet E ℝ som er utledet fra det ved begrensning av skalarene (en) er naturlig utstyrt med et euklidisk skalarprodukt 〈⋅, ⋅〉ℝ = $Re$ (〈⋅, ⋅〉). Hvis B = ( e 1 ,…, e n ) er et grunnlag for E og hvis $jeg$ betegner den imaginære enheten , så er B ℝ = ( e 1 ,…, e n , $i$ e 1 ,…, $i$ e n ) en grunnlag for E ℝ , som derfor har dimensjon 2 n . Videre, hvis B er ortonormalt for 〈⋅, ⋅〉, så er B ℝ ortonormalt for 〈⋅, ⋅〉ℝ .
Omvendt, la F være et euklidisk rom med dimensjon n , det er mulig å fordype F i et hermitisk rom med dimensjon n : det kompleksiserte F ℂ : = ℂ⊗ F av F , utstyrt med det hermitiske skalarproduktet oppnådd ved å tensorisere det av ℂ av det euklidiske skalære produktet fra F : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ in F _ {\ mathbb {C}} \ quad \ langle \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ rangle _ {F _ {\ mathbb {C}}} = \ lambda {\ overline {\ mu}} \ langle x, y \ rangle _ {F}.}$ Hvis ( f 1 , ..., f n ) er et ortonormalt grunnlag for F, er (1⊗ f 1 ,…, 1⊗ f n ) et ortonormalt grunnlag for F ℂ . Det er vanlig å identifisere vektorene f i og 1⊗ f i .

Disse to konstruksjonene strekker seg til rammen av prehilbertiske dimensjonsrom, ikke nødvendigvis endelige.

Merknader

De to konvensjonene (venstre og høyre) eksisterer sammen. Denne artikkelen tar riktig konvensjon; artiklene Kompleks sesquilinear form og Identity of polarization favoriserer venstresiden.
Metoden som blir eksponert her, brukes ofte når forfatteren av et verk ønsker å være formelt streng. En formalisering orientert mot fysikk er gitt i C. Semay og B. Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, application à la physique , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) .

Se også

Eksterne linker

Punktproduktet over ℂ n , Gram-Schmidt-metoden, Hermitian-matriser, enhetlig og diagonalisering av Véronique Hussin og Alina Stancu, fra University of Montreal
Hermitian-rom av C. Antonini et al. , 2001, på les-mathematiques.net

Bibliografi

Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ]