I matematikk er en monoton funksjon en funksjon mellom ordnede sett som bevarer eller reverserer rekkefølgen. I det første tilfellet snakker vi om en økende funksjon og i den andre om en avtagende funksjon . Dette konsept som først dukket opp i reell analyse for numeriske funksjoner , og ble deretter generalisert i mer abstrakt rammen av orden teori .
Intuitivt (se figurene motsatt) er den grafiske fremstillingen av en monoton funksjon over et intervall en kurve som hele tiden "går opp" eller "går ned" konstant. Hvis dette grafiske aspektet snakkes med en gang, er det imidlertid ikke den eneste formen hvor monotoniens egenskap avsløres: en monoton funksjon er en funksjon som alltid har samme effekt på forholdet mellom orden . For en økende funksjon, er rekkefølgen som eksisterer mellom to variabler funnet i rekkefølgen på bildene deres . For en avtagende funksjon blir rekkefølgen på bildene omvendt sammenlignet med rekkefølgen til forgjengerne .
For en funksjon som kan differensieres over et intervall , er studiet av monotoni knyttet til studiet av tegnet på derivatet, som er konstant: alltid positiv eller alltid negativ.
La jeg ha et intervall på ℝ og f en funksjon med reelle verdier, definisjonsdomenet inneholder intervallet jeg .
Monotoni i vid forstand. Vi sier at f er:
Eksempel : for ethvert ekte x , la oss her betegne E ( x ) heltalsdelen av x (det er det unike relative heltallet k slik at k ≤ x <k + 1). Funksjonen E: ℝ → ℝ øker på ℝ, men øker ikke strengt (jf. Infra ), fordi den er konstant i hvert intervall [ i , i + 1 [av heltalsendene.
Streng monotoni. Vi sier at f er:
Eksempler : la n være et strengt positivt heltall.
Note 1 : for en funksjon f er økende (hhv Strengt økende.) På jeg det er nødvendig og tilstrekkelig at - f eller redusere (strengt avtagende resp.) På jeg .
Merknad 2 : slik at en monoton funksjon f av I i ℝ ikke er strengt, det er nødvendig (og selvfølgelig er det tilstrekkelig) at jeg inneholder et ikke-trivielt intervall (dvs. ikke-fritt og ikke redusert til et punkt) som f er konstant.
Gitt to økende funksjoner på jeg . Så:
Vi har en analog egenskap for å øke funksjonene strengt.
SammensetningLa f være to funksjoner : I → ℝ og g : J → ℝ, hvor I og J er to reelle intervaller slik at f ( I ) ⊂ J ; vi kan definere den sammensatte funksjonen g ∘ f : I → ℝ.
Hvis f er monoton på I og g monotone på J , deretter g ∘ f IS monoton på jeg . Mer presist :
Vi har en analog egenskap for strengt monotone funksjoner.
InjektivitetEn strengt monoton funksjon over et intervall I er injeksjonsdyktig , det vil si at to forskjellige elementer av jeg har forskjellige bilder.
Faktisk, hvis x , y er to forskjellige elementer av jeg har vi (forutsatt at f strengt øker)
hvis x < y så f ( x ) < f ( y ),
hvis x > y så f ( x )> f ( y ),
derfor i begge tilfeller er f ( x ) og f ( y ) forskjellige.
Denne egenskapen, assosiert med teorien for mellomverdien , er nyttig for å finne antall nuller i en funksjon .
La] a , b [være et åpent intervall (avgrenset eller ikke) og en økende funksjon f :] a , b [→ ℝ. Så:
En analog setning for å redusere funksjoner følger umiddelbart ved å erstatte f med - f .
En følge av denne teoremet er kontinuiteten til enhver monoton overføring av et intervall på et intervall .
En annen typisk applikasjon gjelder fordelingsfunksjonene til tilfeldige variabler .
Punkt for diskontinuitetFrodas teorem (1929): mengden D av punktene for diskontinuitet for en monoton funksjon er endelig eller tellbar (vi sier at den er høyest tellbar ). Faktisk, ved å merke ε x = f ( x + ) - f ( x - ), er familien (ε x ) x ∈ D ∩ [ c , d ] av strengt positive realer derfor sammenfattelig høyest tellende for alle [ c , d ] inkludert i monotonisitetsintervallet. Froda har faktisk vist at for alle reelle funksjoner er settet med punkt av diskontinuitet av den første typen høyest tellende. Imidlertid, for en monoton funksjon, sier monoton grense setning nøyaktig at denne typen diskontinuitet er den eneste mulige.
En klassisk og viktig bruk av differensialregning er karakteriseringen blant de avledede funksjonene (av en reell variabel og med reelle verdier) av de som er monotone (i vid forstand eller i streng forstand) over et intervall.
Teorem - La meg være et reelt intervall og f : I → ℝ et differensierbart kart.
Punkt 1 er klassisk (vi bruker passasjen til det ytterste i ulikheter og teoremet om endelige økninger ).
Punkt 2 kan trekkes ut av dette ved å bruke bemerkning 2 ovenfor . Detalj: i direkte forstand: Hvis f ' forsvinner over et ikke-trivielt intervall, så er f konstant over dette intervallet, derfor er det ikke strengt monotont. Omvendt, anta at f er ensformig, men ikke strengt. Fra bemerkning 2 eksisterer det et ikke-trivielt intervall der f er konstant; over et slikt intervall er f ' null.
MerknaderEn økende funksjon kan skille seg nesten overalt (vi viser først - takket være den maksimale ulikheten i Hardy-Littlewood - at de fire Dini-derivatene er endelige nesten overalt, så - takket være Vitalis gjenopprettingsteorem - at de er en annen metode for dette andre trinnet er å bevis det i tilfelle der funksjonen er kontinuerlig - takket være lemmaet til den stigende solen - så å legge merke til at enhver økende funksjon er summen av en kontinuerlig økende funksjon og et "funksjonshopp" og at sistnevnte er nesten overalt av null derivat ).
Vi trekker frem to følger:
En applikasjon mellom to topologiske mellomrom sies å være monoton hvis hver av fibrene er koblet sammen, det vil si at for alt i settet (som kan være tomt ) er koblet sammen.
I funksjonell analyse kalles en operatør på et topologisk vektorrom (som kan være ikke-lineær) en monoton operator hvis
De Kachurovskii teorem (en) viser at de følgende derivater av konvekse funksjoner på banachrom er monotone operatører.
Ordensteori omhandler delvis ordnede sett og generelle forhåndsbestilte sett , i tillegg til intervaller av realer. Ovennevnte definisjon av monotoni er også relevant i disse tilfellene. Tenk for eksempel på en kartlegging f fra et ordnet sett ( A , ≤ A ) til et ordnet sett ( B , ≤ B ).
Monotone applikasjoner er sentrale i ordre teorien. Noen bemerkelsesverdige monoton programmer er ordre embeddinger (applikasjoner som x ≤ y hvis og bare hvis f ( x ) ≤ f ( y )) og ordre isomorphisms ( ordre embeddinger som er surjektiv).