Eulers formel

Den Euler formel er lik matematisk , tilskrevet matematikeren sveitsisk Leonhard Euler . Det er skrevet, for ethvert reelt tall $x$ ,

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, x} = \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}

og generaliserer til $x-$ komplekser .

Her er antall $e$ er basen av naturlige logaritmer , $jeg$ er den imaginære enhet , $synd$ og $cos$ er trigonometriske funksjoner .

Beskrivelse

Denne formelen kan tolkes ved å si at funksjonen $x \mapsto e i x$ , kalt cis-funksjonen , beskriver den enhet sirkelen i det komplekse plan som $x$ varierer i settet med reelle tall.
$x$ representerer mål (i radianer) av den orienterte vinkelen laget av slutthalvlinjen ved opprinnelsen og passerer gjennom et punkt i enhetssirkelen med halvlinjen av positive realer. Formelen er bare gyldig hvis $synd$ og $cos$ har argumenter uttrykt i radianer i stedet for grader.

Beviset er basert på heltallserieutvidelsene til den eksponensielle funksjonen $z \mapsto e z$ av den komplekse variabelen $z$ og av $sin-$ og $cos-$ funksjonene betraktet med reelle variabler.
Faktisk viser det samme beviset at Eulers formel fortsatt er gyldig for alle komplekse tall $x$ .

Formelen etablerer en kraftig kobling mellom analyse og trigonometri . Ifølge Richard Feynman er det “en av de mest bemerkelsesverdige formlene […] i all matematikk. " Den brukes til å representere komplekse tall i trigonometrisk form og tillater definisjon av logaritmen for komplekse argumenter. Bruke egenskapene til det eksponentielle

{{\ rm {e}}} ^ {{a + b}} = {{\ rm {e}}} ^ {a} {{\ rm {e}}} ^ {b}

({{\ rm {e}}} ^ {a}) ^ {k} = {{\ rm {e}}} ^ {{ak}}

(som også gjelder for alle komplekse tall $a , b$ og for ethvert heltall $k$ ), blir det lett å utlede flere trigonometriske identiteter eller å trekke Moivre-formelen fra dem . Eulers formel tillater en tolkning av cosinus og sinusfunksjoner som lineære kombinasjoner av eksponensielle funksjoner:

\ cos (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} + {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2}}

\ sin (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} - {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2 {\ mathrm {i}} \,}}

Disse formlene (også kalt Eulers formler ) utgjør den moderne definisjonen av funksjoner og (inkludert når $x$ er en kompleks variabel ) og tilsvarer Eulers formel (brukt på $x$ og $-$ $x$ ), som deretter blir en tautologi . $\ cos$ $\ synd$

I differensiallikninger brukes ofte funksjonen $x \mapsto e i x$ for å forenkle avledningene, selv om problemet er å finne de virkelige løsningene uttrykt ved hjelp av sinus og cosinus. Den Eulers identitet er en direkte følge av Eulers formel.

I elektroteknikk og andre felt blir signaler som varierer med jevne mellomrom ofte beskrevet av lineære kombinasjoner av sinus- og cosinusfunksjoner (se Fourier-analyse ), og sistnevnte blir mer praktisk uttrykt som reelle deler av eksponensielle funksjoner. Med imaginære eksponenter, ved bruk av Eulers formel.

Demonstrasjoner

Av Taylor-serien

Serieutvidelsen av funksjonen $exp$ for den virkelige variabelen $t$ kan skrives:

{{\ mathrm {e}}} ^ {t} = {\ frac {t ^ {0}} {0 \,!}} + {\ frac {t ^ {1}} {1 \,!}} + {\ frac {t ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {t ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {t ^ {4}} {4 \, !}} + \ cdots = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n \,!}}

og strekker seg til ethvert komplekst tall $t$ : Taylor-seriens utvidelse forblir absolutt konvergent og definerer den komplekse eksponentielle.

Spesielt for $t = i x$ med $x$ real:

{{\ mathrm {e}}} ^ {{{{\ mathrm {i}} \,} x}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{({ {\ mathrm {i}} \,} x)} ^ {n}} {n \,!}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ mathrm { i}} \,} ^ {n} x ^ {n}} {n \,!}} \ cdot

Denne serien, delt i to, blir, ved å bruke det faktum at : ${\ mathrm {i}} \, ^ {{2k}} = ({\ mathrm {i}} \, ^ {{2}}) ^ {{k}} = (- 1) ^ {{k}}$

{\ mathrm {e}} ^ {{{\ \ mathrm {i}} \, x}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i}} \, ^ {{2k}} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + \ Sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i }} \, ^ {{2k + 1}} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} = \ Sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + {\ mathrm {i}} \, \ sum _ {{k = 0}} ^ { \ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} \ cdot

Vi dermed se Taylor serien utvidelser av cosinus og sinusfunksjoner vises:

\ cos (x) = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4 \,!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6 \,!}} + \ Cdots = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}}

\ sin (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5 \,!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 \,!}} + \ Cdots = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1} }} {(2k + 1) \,!}}

som ved å erstatte i forrige uttrykk for $e i x$ gir:

{\ mathrm {e}} ^ {{{\ \ mathrm {i}} \, x}} = \ cos (x) + {\ mathrm {i}} \, \ sin (x).

Ved differensialregning

For ethvert komplekst tall $k$ er det eneste kartet $f$ : ℝ → ℂ som bekrefter $f '= kf$ og $f (0) = 1$ er kartet $x \mapsto exp ( kx )$ (beviset er identisk med det for ekte $k$ , gitt i l detaljert artikkel).

Søknaden $f$ definert av $f (x) = \ cos x + {{\ rm {i}}} \ sin x$ sjekket $f '= {{\ rm {i}}} f {\ text {and}} f (0) = 1.$

Det sammenfaller derfor med kartet $x \mapsto exp (i x )$ .

Historisk

Eulers formel ble først demonstrert av Roger Cotes i 1714 som $ln (cos x + i sin x ) = i x$ (hvor $ln$ betegner den naturlige logaritmen , dvs. logaritmen grunnleggende $e$ ). Det var Euler som publiserte formelen i sin nåværende form i 1748, og baserte sitt bevis på Moivres formel og brukte ekvivalenter og begrensninger. Ingen av de to matematikerne ga en geometrisk tolkning av formelen: tolkningen av komplekse tall som fikseringer av punkter på et plan ble egentlig ikke nevnt før femti år senere (se Caspar Wessel ).

applikasjoner

Eulers formel tillater oss å si at hovedbestemmelsen av den komplekse logaritmen til er for alt . ${\ displaystyle \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle x \ in \ left] - \ pi, \ pi \ right [}$
Et eksempel på anvendelse i elektromagnetisme er vekselstrøm : siden potensialforskjellen til en slik krets svinger , kan den representeres av et komplekst tall : $V = V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{\ rm {i}}} \ omega t}} = V_ {0} \ venstre (\ cos \ omega t + {{\ rm {i}}} \ sin \ omega t \ right).$ For å oppnå en målbar mengde tar vi den virkelige delen:

${\ mathrm {Re}} (V) = {\ mathrm {Re}} \ venstre [V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{\ rm {i}}} \ omega t} } \ right] = V_ {0} \ cos \ omega t.$

De linearisering , som er basert på Eulers formel og binomialformelen , en hvilken som helst omformet polynom i $cos ( x )$ og $sin ( x )$ ved en lineær kombinasjon av forskjellige $cos ( nx )$ og $sin ( nx )$ , som deretter gjør beregningen av dens primitive øyeblikkelig .

Se også

Relaterte artikler

Descartes-Eulers teorem
Euler-forhold i trekanten
Eulers metode , tilnærmet beregning av differensiallikninger og primitiver
Identiteten til Euler , den berømte identiteten: $e iπ$ + 1 = 0

Referanser

(i) Alan Sultan F. og Alice Artzt, matematikken som hver matematikklærer i videregående skole trenger å vite , Studies in Mathematical Thinking and Learning, Taylor & Francis, 2010, s. 326 .
(in) Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (in) og Matthew Sands (in) , Feynman Lectures on Physics [ publiseringsdetaljer ], flygning. 1, s. 22, i henhold til (i) " Eulers identitet " på Wikibooks .
Srishti D. Chatterji, Analyse Course , vol. 2: Kompleks analyse , PPUR ,1997( les online ) , s. 96.
Chatterji 1997 , s. 97.
Ernst Hairer og Gerhard Wanner, analyse gjennom historien , Springer,2001, s. 59
Dominique Flament , Historie av komplekse tall: Mellom algebra og geometri , Paris, CNRS Éditions,2003( ISBN 2 271 06128 8 ), s. 80.
(i) John Stillwell , Mathematics and Its History [ detaljutgaver ], s. 294.
L. Euler, Introduction to infinitesimal analyse , artikkel 138 .
Flament 2003 , s. 83-84.
Se eksempler i: Elektromagnetisme ( 2 th edition), IS Grant, WR Phillips, Manchester fysikk Series 2008 ( ISBN 0-471-92712-0 ) .