Den kontaktforhold er den del av differensialgeometri studere former og strukturer i kontakt . Den opprettholder nære koblinger med symplektisk geometri , den komplekse geometrien , teorien om foliering av kodimensjon 1 og dynamiske systemer . Klassisk kontaktgeometri oppsto fra studiet av termodynamikk og geometrisk optikk . En kontaktstruktur på en manifold er et felt av hyperplaner, det vil si datoen, på et hvilket som helst punkt i manifolden, til et hyperplan i det tangente rommet. Illustrasjonen viser et eksempel på en kontaktstruktur på ℝ 3 som er den lokale modellen for alle kontaktstrukturene i dimensjon tre.
Språket for kontaktgeometri finner en naturlig tolkning i forestillingen om tilsynelatende kontur .
I differensialgeometri er en kontaktform en differensiell 1-form på en differensialmanifold av dimensjon odd , som er en volumform . På en tilsvarende måte spør man at det ikke er utartet på distribusjonen av hyperplaner . Et kontaktskjema definerer to forskjellige objekter: en kontaktstruktur og et Reeb-felt .
I følge en teorem fra Frobenius er et felt av hyperplan lokalt integrerbart når det lokalt kan beskrives som kjernen til en lukket differensialform . I kontrast er en kontaktstruktur et felt av hyperplaner som kan defineres lokalt som kjernen i en kontaktform: dette feltet er maksimalt ikke-integrerbart. Mer presist kan vi vise at de integrerte delmanifoldene til et slikt felt av hyperplaner er av dimensjon på det meste . Når denne maksimale dimensjonen er nådd, snakker vi om legendariske submanifolds. I dimensjon tre er de tilkoblede og kompakte legendariske submanifoldene noder som kalles legendariske noder ; dette er den mest studerte saken i dag.
For et kontaktskjema er det et unikt vektorfelt , kalt Reebs felt , som bekrefter: og . Med dette feltet av Reeb er det knyttet en flyt , strømmen av Reeb.
En applikasjon mellom kontaktmanifoldene som sender den ene kontaktstrukturen på den andre, kalles kontakttransformasjon eller kontaktomorfisme . Teorien om disse søknadene går tilbake til Sophus Lie .
Som i symplektisk geometri , i dimensjon , er to kontaktmanifolder lokalt konjugerte. Mer presist :
Darboux teorem - På en differensial manifold av dimensjon , er en kontaktkonstruksjonen definert lokalt ved hjelp av en kontaktskjema ; hvilket som helst punkt av tilhører et nabolag, domene av et lokalt kart sending på 0 og på den kanoniske form av kontakt ℝ 2 n 1 (som ble gitt i eksemplene ovenfor).
Problemene som oppstår i kontaktgeometri er altså av total karakter. Det første problemet gjelder eksistensen og / eller det unike med kontaktstrukturene. Problemet oppstår derfor av deres klassifisering opp til kontaktomorfisme.
To kontaktstrukturer sies å være konjugerte (eller isomorfe eller kontaktomorfe) hvis det er en diffeomorfisme som sender den ene over den andre. To kontaktstrukturer definert på samme manifold sies å være isotoper hvis det er en slik diffeomorfisme som også er isotopisk til identiteten.
Gray teorem - Hvis , er en kontinuerlig familie av kontaktstrukturene på en lukket manifold da det foreligger en isotopy slik at for alle .
Faktisk kan klassifiseringen utføres frem til konjugasjonen eller isotopien.
Eksistensen av en kontaktstruktur på en tredimensjonal differensialmanifold krever at manifolden er orienterbar . Faktisk er kontaktstrukturen lokalt definert som kjernen i kontaktformer definert på åpninger som dekker manifolden. For og distinkt, er vi i stand til å skrive hvor er en funksjon definert på krysset som ikke forsvinner; identiteten viser at retningene på definert av volumformene kommer sammen i en global orientering av sorten.
Orienterbarheten til manifolden er den eneste topologiske begrensningen for eksistensen av en kontaktstruktur i dimensjon 3. Ikke bare på en orienterbar manifold med dimensjon 3 finnes kontaktstrukturer, men det er nok av dem:
Lutz og Martinet-teorem - På en hvilken som helst lukket og orienterbar manifold av dimensjon 3 er ethvert felt av plan homotopisk til en kontaktstruktur. Videre kan man velge denne vridd kontaktstrukturen (jf. Nedenfor). Spesielt har enhver orienterbar lukket manifold med dimensjon 3 en kontaktstruktur.
Vridte kontaktstrukturerEtter Eliashberg sier vi at en tredimensjonal kontaktstruktur er vridd hvis den inneholder en vridd skive, det vil si en dyppet skive som er tangent til kontaktstrukturen langs kanten (som skivegrå i illustrasjonen). Spiralstrukturer er rent topologiske og fleksible gjenstander som vist med følgende teorem:
Teorem for klassifisering av snoede kontaktstrukturer (Eliashberg 1989) - På et kompakt tredimensjonalt manifold uten kant, er to snoede kontaktstrukturer isotopiske hvis og bare hvis de er homotopiske blant plane felt.
Spente kontaktstrukturerEn kontaktstruktur sies å være spent hvis den ikke er vridd. Gitt Darboux teorem og det faktum at en hvilken som helst kompakt av ℝ 3 kan sendes til en vilkårlig liten ball ved en kontakttransformasjon, krever eksistensen av strekkstrukturer følgende:
Bennequins teorem - Den kanoniske kontaktstrukturen over ℝ 3 er tett.
Denne uttalelsen er grunnleggende teorem for moderne kontakttopologi. Denne teoremet har fire uavhengige bevis. Bennequins første bevis er basert på en studie av knute teori, den forblir i dimensjon tre. Beviset til Eliashberg og Gromov i 1991 bruker fyllingen av sfæren ved kule av dimensjon fire og teorien om pseudoholomorfe kurver , den er derfor analytisk. Girouxs bevis i 2000 bruker bifurkasjonslemmaer , det er rent topologisk og forblir i dimensjon tre. Til slutt bruker beviset fra Ozvath og Szabo i 2002 Heegaard-Floer-homologien og derfor de pseudoholomorfe kurvene. Den første følgen av denne teoremet er eksistensen av en eksotisk kontaktstruktur på ℝ 3 siden det er lett å definere en vridd kontaktstruktur på ℝ 3 .
Den systematiske topologiske studien av strekkontaktstrukturer ble gjort mulig fra 1991 av Giroux teori om konvekse overflater. Denne teorien ble deretter utviklet hovedsakelig av Giroux og Honda. Det gjør det mulig å fullstendig klassifisere kontaktstrukturene strukket på linseformede rom , bunter i tori på sirkelen, full torus, tykk torus og visse Seifert bunter .
Selv om det ikke er noen generell klassifisering av strekkontaktstrukturer i dimensjon tre, gir følgende resultater en god oversikt:
Tilkoblet sum dekomponering teoremet - Den sett anleggskonstruksjoner er strukket over en tilkoblet sum er i naturlig Bijeksjon med produktet fra det sett anleggskonstruksjoner er strukket over og .
Vi kan derfor begrense studien til irredusible varianter. Det første generelle resultatet i denne sammenheng var
Uendelig teorem for toroide manifolds - Enhver kompakt, kantløs, orienterbar og toroidal tredimensjonal manifold har uendelig med universelt anstrengte kontaktstrukturer.
Det omvendte av denne teoremet inngår i følgende setning:
Grov klassifiseringsteori - La være en kompakt, kantløs, orienterbar tredimensjonal manifold.
Forståelsen av kontaktstrukturer i store dimensjoner er fremdeles embryonisk sammenlignet med det som er kjent i dimensjon 3. Eksistensen er ikke lenger automatisk, og det eneste helt generelle resultatet som er kjent er setningen med åpen bok (se nedenfor). En av dens konsekvenser er beviset fra Bourgeois på at det eksisterer kontaktstrukturer på alle toriene .
I tillegg gjorde kontakthomologien (se nedenfor) det mulig å oppdatere mange eksotiske kontaktstrukturer på kulene.
Den siste revolusjonen innen tredimensjonal kontakttopologi er Girouxs åpne bokteorem i 2001. Denne teoremet viser at tredimensjonale kontaktstrukturer er rent topologiske objekter og knytter stordimensjonale kontaktstrukturer til geometri av Weinstein-varianter.
I dimensjon tre tillot denne korrespondansen spesielt definisjonen av Ozsváth-Szabó-invarianten, et nytt spesielt effektivt verktøy for å vise at en kontaktstruktur er anspent.
Bruk av pseudoholomorfe kurverIntroduksjonen av pseudoholomorfe kurver (eller holomorfe kurver, ved misbruk) av Mikhaïl Gromov i symplektisk geometri hadde mange anvendelser i kontaktgeometri:
Selv om en kontaktstruktur ser ut til å være motsatt av en kodimensjon en foliering, har utviklingen av de to teoriene avdekket mange fellestrekk. I tillegg er Eliashberg og Thurstons feuilletact-teori en direkte bro mellom de to feltene som spesielt gjør det mulig å vise:
Eliashberg-Thurston forstyrrelsessetning - Enhver foliering av kodimensjon én og regelmessighet i det minste over en lukket tredimensjonal manifold orientert forskjellig fra er - nær en positiv kontaktstruktur.
Merknader
Introduksjoner til kontakttopologi
Historie