I matematikk er en Lie-gruppe en gruppe med en differensiell manifoldstruktur , der gruppearbeidene - multiplikasjon og inversjon - kan differensieres . Løgnegrupper er kåret til ære for den norske matematikeren Sophus Lie , som introduserte dem for å studere visse egenskaper av differensialligninger .
Lie-gruppeteorien beskriver kontinuerlig symmetri (in) matematikk. I teoretisk fysikk (for eksempel i teorien om kvarker ) ble dens betydning bekreftet i løpet av XX E århundre.
Sophus Lie mente selv at teorien om "kontinuerlige grupper" (i den nåværende betydning av topologiske grupper ) hadde oppstått vinteren 1873-1874, men biografen Hawkins antyder at teorien stammer fra forskning utført av Lie i løpet av de fire foregående år (fra 1869 til 1873).
Noen av Lies opprinnelige ideer ble utviklet i samarbeid med Felix Klein , som han daglig møtte i løpet av oktoberdagene i årene 1869 til 1872, først i Berlin, deretter Paris, Göttingen og Erlangen.
Lies resultater ble publisert i norske aviser på 1870-tallet, og arbeidet hans spredte seg raskt til resten av Europa. I 1884 jobbet en ung tysk matematiker, Friedrich Engel , med Lie om å lage en systematisk redegjørelse for teorien om kontinuerlige grupper, som ble publisert i tre bind under tittelen Theorie der Transformationsgruppen , i 1888, 1890 og 1893.
En viktig utvikling av teorien ble deretter utført av Wilhelm Killing . Generalisering av Élie Cartan førte til klassifiseringen av semi-enkle Lie-algebraer og til arbeidet til Hermann Weyl på representasjoner av kompakte Lie-grupper .
Teorien om Lie-grupper ble metodisk forklart på moderne matematisk språk av Claude Chevalley .
En algebraisk struktur G er en reell Lie-gruppe (henholdsvis kompleks) når:
Det er også mulig å definere en Lie-gruppe som et differensialmanifold utstyrt med bare differensierbare gruppeoperasjoner , eller til og med bare kontinuerlig . Denne definisjonen tilsvarer den forrige og er en tolkning av Hilberts femte problem .
Dimensjonen til en Lie-gruppe er definert som dens dimensjon som en manifold.
Det er også en analog forestilling om en p-adic Lie-gruppe når den underliggende differensialmanifolden erstattes av et p- adic analytisk sett . Dette vil for eksempel være tilfelle med gruppen av p -adiske punkter i en algebraisk gruppe .
Et enkelt eksempel er gruppen av planrotasjonsmatriser , betegnet SO (2, ℝ):
Den er parameterisert av en enkelt vinkel λ: dens variasjon er derfor endimensjonal (en sirkel). Det er faktisk en gruppe fordi det inverse av et element av parameter λ er gitt av elementet av parameter −λ og produktet av elementene av parameterne λ og μ er gitt av elementet av parameter λ + μ.
Løgnegrupper kan klassifiseres i henhold til deres algebraiske egenskaper ( abelsk , enkel (en) , semi-enkel , løsbar , nilpotent ) eller topologisk ( koblet , enkelt koblet , kompakt ).
De er også vanligvis klassifisert i fire typer, vist i tabellen med eksempler nedenfor:
Du kan naturlig knytte deg til hvilken som helst Lie-gruppe G a Lie-algebra . Det er to like måter å introdusere denne Lie-algebraen på. Det ene er å innføre en plass vektorfelt på G , den andre består i å gi den tangent plass ved identiteten element av en Lie brakett , som stammer fra lokal ekspresjon av det nasjonale lovgivning G .
G betegner en reell eller kompleks løgngruppe av dimensjon n . For g et element av G, søknaden er en diffeomorphism av reell eller kompleks blanding underliggende G . Et felt med vektorer X på G sies å være uforanderlig når vi for ethvert par av elementene g og h av G har: (hvor vi betegner verdien av vektorenes felt X i punkt a).
For ethvert reelt eller komplekst differensialmanifold M , er det reelle eller komplekse vektorområdet til vektorfelt over M , betegnet I (M) , utstyrt med en naturlig struktur av reell eller kompleks Lie algebra, hvis krok er vektorfeltkroken. Den naturlighet nøyaktig bety at hver morphism f : M → N mellom manifolder induserer en morphism i Lie algebra f *: I ( N ) → I ( M ). Spesielt for M = N = G har vi automorfismer ( L g ) * av Lie algebra I ( G ). Settet med faste punkter som er felles for alle disse automorfismene ( L g ) * er en Lie subalgebra av I ( G ), betegnet . Dens elementer er invariante vektorfelt igjen på G .
La t e G den tangent plass i e til G , e betegner den nøytrale element G . Kartet (der X e er verdien av X i det nøytrale elementet) er en lineær isomorfisme. Lie-algebra struktur bærer derfor, via denne isomorfi i en Ligg algebra struktur på vektorrommet t e G .
Denne strukturen kan defineres direkte. Anta gitt f et lokalt kart over G i det nøytrale elementet e med f ( e ) = 0, så er produktet av Lie-gruppen som er lest i det lokale kartet f , andre rekkefølge:
hvor B er et bilineært og antisymmetrisk kart. Strukturen til Lie algebra over T e G er gitt av
I den første presentasjonen, er enhver vektor X i er ved definisjon et vektorfelt invariant venstre på G . Invariansen til venstre innebærer at flyten er definert globalt. Den eksponentielle av X er definert som bilde ved en av identiteten element e av G . Mer presist, det eksisterer en unik funksjon c : ℝ → G hvis derivat er gitt avog slik at c ( 0 ) = e .
Den har følgende bemerkelsesverdige egenskap: for alle s og t .
Hvis det er, for v = X e , en re-parametrisering inkludert den variable t viser.
Vi kan da sjekke
Denne funksjonen kalles også eksponensiell funksjon og kobler Lie algebra til Lie-gruppe G . Den definerer et diffeomorphism mellom et nabolag av 0 i og et nabolag av e i G . Imidlertid er eksponentiell kartlegging generelt ikke verken adjektiv eller injiserende.
En undergruppe med en parameter av G er et kart som kan skille seg ut c : ℝ → G som verifiserer identiteten (*) ovenfor. Til enhver undergruppe med en parameter c er forbundet med en unik element X fra verifisere: .
Flere løgngrupper kan dele den samme tilknyttede løgealgebraen. Imidlertid tilsvarer enhver Lie-algebra en enkelt koblet Lie-gruppe G , unik opp til isomorfisme. Dessuten bestemmes denne isomorfismen bare av den tilknyttede isomorfismen til Lie-algebraer. Enhver tilknyttet Lie-gruppe hvis Lie-algebra er isomorf å realisere som en kvotient av G av en diskret normal undergruppe .
En sammenkoblet Lie-gruppe sies å være enkel, semi-enkel, løselig, nilpotent eller abelian hvis dens tilknyttede Lie-algebra har egenskapen med samme navn. Spesielt gir klassifiseringen av semi-enkle Lie-algebraer en klassifisering av enkeltforbundne og semi-enkle Lie-grupper.
Hvis G og H er to løgngrupper (begge reelle eller komplekse), så er en morfisme av løgngruppene f : G → H en gruppemorfisme som også er en analytisk funksjon (faktisk er det tilstrekkelig at f er kontinuerlig).
Sammensetningen av to løgngruppemorfismer er en løgngruppemorfisme, og klassen til alle løgnegruppene er en kategori . To løgngrupper sies å være isomorfe hvis det eksisterer en bijektiv morfisme der gjensidig er morfisme.
Teorem Cartan-von Neumann (en) : enhver undergruppe lukket en Lie-gruppe har en unik differensialstruktur som morfisme- inklusjonen er en dukkert for .
La G og H være to løgngrupper, og f : G → H være en morfisme av løgnegrupper. Deretter eksisterer det en unik Lie algebramorfisme : fra Lie algebra assosiert med G til den som er assosiert med H , slik at vi for alle felt av vektorer X invariant til venstre i G har for alle t :
Dessuten, hvis f også er en isomorfisme . Sett på som å påføre t e G i t e H , er ingen annen enn den forskjell på f beregnes ved den nøytrale element G .
I tabellen nedenfor er uttrykket A * angir den adjungerte matrise av en matrise A .
Løgnegruppe | Beskrivelse | Eiendommer | Løg algebra | Beskrivelse | Dimensjon |
---|---|---|---|---|---|
ℝ n | Euklidisk plass gitt med tillegget | Abelian; ganske enkelt tilkoblet, ikke kompakt | ℝ n | Den Lie braketten er null | ikke |
ℝ * | Ikke-null reelle tall som følger med multiplikasjonen | Abelian; ikke tilkoblet, ikke kompakt | ℝ | Løgnekroken er null | 1 |
ℝ * + | Strengt positive reelle tall som følger med multiplikasjonen | Abelian; ganske enkelt tilkoblet, ikke kompakt | ℝ | Løgnekroken er null | 1 |
Komplekse tall av modul 1 forsynt med multiplikasjonen | Abelian; koblet, ikke bare koblet, kompakt | ℝ | Løgnekroken er null | 1 | |
Generell lineær gruppe : faktiske matriser n × n inverterbar | Ikke relatert, ikke kompakt | N × n- matriser , hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ² | ||
Ekte matrikser n × n med positiv determinant | Bare koblet til, ikke kompakt | N × n- matriser , hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ² | ||
Lineær spesialgruppe : reelle matriser av determinant 1 | Bare tilkoblet, ikke kompakt hvis n > 1 | Firkantede matriser med null spor , hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ² - 1 | ||
Ortogonal gruppe : ortogonale matriser ekte | Ikke relatert, kompakt | Ekte firkantede antisymmetriske matriser , hvor Lie-kroken er kommutatoren; er isomorf til og ℝ 3 med kryssproduktet | n ( n - 1) / 2 | ||
Spesiell ortogonal gruppe : reelle ortogonale matriser av determinant 1 | Enkelt for n = 3 og n ≥ 5; semi-enkel for n = 4; tilkoblet, kompakt, ikke bare koblet til n ≥ 2 | Ekte firkantede antisymmetriske matriser, hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ( n - 1) / 2 | ||
Spinngruppe | Enkelt for n = 3 og n ≥ 5; semi-enkel for n = 4; enkelt tilkoblet, kompakt | Ekte firkantede antisymmetriske matriser, hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ( n - 1) / 2 | ||
Symplectic Group : symplectic matrices real | Enkel; ikke kompakt | Ekte matriser som tilfredsstiller JA + A T J = 0 hvor J er standard antisymmetrisk matrise | n (2 n + 1) | ||
Enhetsgruppe : n × n komplekse enhetsmatriser | Ikke bare tilkoblet, kompakt; isomorf til S 1 for n = 1 | Komplekse firkantede matriser A som bekrefter A = - A * , hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ² | ||
Spesiell enhetsgruppe : n × n komplekse enhetsmatriser av determinant 1 | Enkelt for n ≥ 2; enkelt tilkoblet, kompakt | Komplekse firkantede matriser med null spor A som bekrefter A = - A * , hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ² - 1 | ||
Kvaternioner av modul 1 forsynt med multiplikasjonen, bemerket også | Enkel; enkelt tilkoblet, kompakt; topologisk en kule, isomorf til og | Kvaternioner med null reell del, hvor Lie-kroken er kryssproduktet ; Isomorf til virkelige vektorer av dimensjon 3, også isomorf til , er en dobbel dekning av | 3 | ||
Symplectic kompakt gruppe : n x n quaternionic enhets matriser | Enkel; kompakt, enkelt tilkoblet | Firkantede kvaternioniske matriser A som bekrefter A = - A * , hvor Lie-kroken er kommutatoren | n (2 n + 1) |
Dimensjonene er gitt på ℂ. (Enhver kompleks gruppe eller Lie-algebra kan betraktes som en ekte dobbeltdimensjonal Lie-gruppe eller algebra.)
Løgnegruppe | Beskrivelse | Eiendommer | Løg algebra | Beskrivelse | Dimensjon |
---|---|---|---|---|---|
ℂ n | Euklidisk plass gitt med tillegget | Abelian; ganske enkelt tilkoblet, ikke kompakt | ℂ n | Løgnekroken er null | ikke |
ℂ * | Ikke-null komplekse tall som følger med multiplikasjonen | Abelian; ikke bare tilkoblet, ikke kompakt | ℂ | Løgnekroken er null | 1 |
Generell lineær gruppe : inverterbare n × n komplekse matriser | Beslektet, ikke bare beslektet, ikke kompakt; isomorf til ℂ * for n = 1 | N × n- matriser , hvor Lie-kroken er kommutatoren | n ² | ||
Lineær spesialgruppe : komplekse matriser av determinant 1 | Enkel; ganske enkelt tilkoblet, ikke kompakt for n ≥ 2 | Firkantede matriser med null spor , hvor Lie-kroken er kommutatoren | ( n ² - 1) | ||
Ortogonal gruppe : komplekse ortogonale matriser | Ikke tilkoblet, ikke kompakt for n ≥ 2 | Komplekse firkantede antisymmetriske matriser , hvor Lie hook er kommutatoren | n ( n - 1) / 2 | ||
Spesiell ortogonal gruppe : komplekse ortogonale matriser av determinant 1 | Enkelt for n = 3 og n ≥ 5; semi-enkel for n = 4; ikke bare tilkoblet, ikke kompakt for n ≥ 2 | Komplekse firkantede antisymmetriske matriser, hvor Lie hook er kommutatoren | n ( n - 1) / 2 | ||
Symplektisk gruppe : komplekse symplektiske matriser | Enkel; ikke kompakt | Komplekse matriser som tilfredsstiller JA + A T J = 0 hvor J er standard antisymmetrisk matrise | n (2 n + 1) |
Dimensjonene er gitt på ℍ.
Løgnegruppe | Beskrivelse | Eiendommer | Løg algebra | Beskrivelse | Dimensjon |
---|---|---|---|---|---|
ℍ * | Kvarternioner som ikke er null utstyrt med multiplikasjonen | Bare koblet til, ikke kompakt | ℍ | Quaternions, hvor Lie-kroken er kommutator | 1 |
Det er fem såkalte eksepsjonelle Lie-grupper, betegnet henholdsvis E6 , E7 , E8 , F4 og G2 .
(en) " Atlas of Lie Groups and Representations " , om NSF , American Institute of Mathematics (en)