Ideografi

Den ideography ( Begriffsschrift ) er en fullt formalisert språk oppfunnet av logikeren Gottlob Frege og har som mål å representere perfekt så matematisk logikk .

Introduksjon

Prosjektet med et fullt formalisert språk er ikke nytt: Leibniz hadde utviklet et, som ikke lyktes, under navnet universell karakteristikk .

Fødsel av ideografi

Den første publikasjonen om ideografi er teksten Idéographie ( Begriffsschrift - Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache of reinen Denkens ) utgitt i 1879 . Frege fortsatte å jobbe med ideografi i The Foundations of Arithmetic ( Die Grundlagen der Arithmetik , 1884 ).

Grafisk fremstilling av ideografi

Dette språket bruker planen som arbeidsområde og er ikke begrenset til linjen (som dagens logikk, basert på Principia Mathematica av Bertrand Russell og Alfred North Whitehead som er avhengig av den). Dette språket er ubrukt i dag, selv om spor av det forbli, for eksempel i symbol på negasjon "¬", av konsekvens " ⊢ " eller tautologi modellering "⊨".

Ideografi	Betydning	Forklaring
─A	A er et forslag , vi bekrefter det logisk	A betyr noe som har betydning og som kan vurderes å være sant eller usant, den horisontale linjen kalles innholdslinjen
┬─A	A er også et forslag, vi uttrykker dets logiske negasjon	A er et avvist forslag, men vær forsiktig, vi skrev ikke at A var falsk
├─A	A er en tautologi	A er et forslag - så A betyr noe - og videre er A sant, den vertikale linjen kalles dømmelinjen.
├┬─A	A er en motsetning	A er en proposisjon og videre er A falsk
─┬─B └─A eller ─┬┬─A └┬─B	A innebærer B	Implikasjonen er beskrevet av Frege som B eller ikke A, det er den klassiske logiske implikasjonen, se nedenfor
─┬──B └┬─A	ingen A antyder B, enten A eller B	Gitt den øverste linjen, har vi B eller ikke A, enten B eller A
─┬┬─B └┬─A	(ikke A) innebærer (ikke B)
─┬┬─B └──A	A innebærer ingen B, eller ingen (A og B)	Det er galt at A og ikke B
┬┬──B └┬─A	nei (nei A innebærer B)	nei (A eller B)
┬┬┬─B └──A	nei (A innebærer ingen B)	A og B
┬┬┬┬─A │ └─B └─┬─B └─A	A tilsvarer B
── A ≡ B	A og B har samme innhold	Vi må skille den logiske ekvivalensen av innholdsidentiteten

Enkle konsepter	Frege notasjon	Moderne notasjoner
Dømmekraft	${\ displaystyle \ vdash A, \ Vdash A}$	${\ displaystyle p (A) = 1}$ ${\ displaystyle p (A) = i}$
Involvering		${\ displaystyle B \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle B \ supset A}$
Universell kvantifisering		${\ displaystyle \ forall x \ colon F (x)}$
Eksistensiell kvantifisering		${\ displaystyle \ sim \ forall x \ colon \ sim F (x)}$ ${\ displaystyle \ eksisterer x \ kolon F (x)}$
Likestilling / identitet	${\ displaystyle A \ equiv B}$	A ↔ B ${\ displaystyle A \ equiv B}$ $A = B$

Implikasjonen uttrykkes av Frege, og når vi har to proposisjoner A og B, har vi fire tilfeller:

A hevdes og B hevdes
A hevdes og B nektes
A nektes og B blir hevdet
A nektes og B nektes

Implikasjonen B antyder at A (B⊃A) benekter det tredje tilfellet, med andre ord er det falsk at vi har både B sann og A falsk.

Ideografien er bygget på implikasjon, som letter bruken av løsrivelsesregelen, dvs. hvis A er sant og hvis A antyder at B er sant, så er B også sant (A ∧ (A⊃B)) ⊃ B.

Den inneholder den universelle kvantifisereren ∀, kodet av en liten hul som er overgitt av en gotisk bokstav som erstatter linjen ─ (ikke tilgjengelig i unicode). Det logiske torget er også til stede.

Den inneholder også definisjonen, kodet i ideografien av følgende unicode-tegn: ╞═.

Å overvinne Freges logikk

Den aksiomatiserte presentasjonen av logikk i Frege som er basert på ideografien som ble brukt blant andre i de grunnleggende lovene for aritmetikk ( Grundgesetze der Arithmetik ) har blitt undergravd av Russells paradoks . Den inneholder i tillegg til versjonen fra 1879 loven V som fører til en motsetning som ∃x (F (x) ∧¬F (x)). Ideografien fra 1879 og setningene til Grundgesetze der Arithmetik ved bruk av denne loven V er fortsatt gyldige.

Denne loven V uttrykker at to utvidelser av begreper er identiske når de har samme tilfeller av sannheter, enten som Frege skriver i de grunnleggende lovene ἐF (ε) = ἀG (α) = ∀x (F (x) = G (x) ), som etablerer en ekvipotens (til og med kardinal) mellom settet med utvidelser av begreper og begreper, noe som motsies av det faktum at et sett har en kardinal som er strengt lavere enn settet til dets underenheter. Videre er en følge av denne loven V at ethvert konsept innrømmer en utvidelse, inkludert de mer eksentriske som denne "for å være en utvidelse av begrepet man ikke faller under" som, uttrykt i ideografien til grunnloven som brønn. x = εF ∧ ¬F (x), fører til frisøren paradoks .

Kalkulus i Freges arbeid

Frege uttalte at ni av hans forslag er aksiomer , og begrunnet dem ved uformelt å argumentere for at de, gitt deres tiltenkte mening, uttrykker selvinnlysende sannheter. Disse aksiomene er uttrykt på nytt i moderne notasjon:

${\ displaystyle \ vdash \ \ A \ rightarrow \ left (B \ rightarrow A \ right)}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ left [\ A \ rightarrow \ left (B \ rightarrow C \ right) \ \ right] \ \ rightarrow \ \ left [\ \ left (A \ rightarrow B \ right) \ rightarrow \ left (A \ rightarrow C \ right) \ \ right]}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ left [\ D \ rightarrow \ left (B \ rightarrow A \ right) \ \ right] \ \ rightarrow \ \ left [\ B \ rightarrow \ left (D \ rightarrow A \ right) \ \ Ikke sant]}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ left (B \ rightarrow A \ right) \ \ rightarrow \ \ left (\ lnot A \ rightarrow \ lnot B \ right)}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ lnot \ lnot A \ rightarrow A}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ A \ rightarrow \ lnot \ lnot A}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ left (c = d \ right) \ rightarrow \ left (f (c) = f (d) \ right)}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ c = c}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ forall af (a) \ rightarrow \ f (c)}$

(1) - (3) styrer materiell implikasjon , (4) - (6) negasjon , (7) og (8) identitet, og (9) universell kvantifier . (7) uttrykker identiteten til indiscernibles av Leibniz , og (8) hevder at identitet er et refleksivt forhold .

Alle de andre proposisjonene trekkes fra (1) - (9) takket være en av følgende slutningsregler :

De Modus ponens tillater oss å utlede fra og ; $\ vdash B$ ${\ displaystyle \ vdash A \ til B}$ $\ vdash A$

Den loven om generalisering kan vi utlede fra om x forekommer ikke fra P ; ${\ displaystyle \ vdash P \ to \ forall xA (x)}$ ${\ displaystyle \ vdash P \ til A (x)}$

Erstatningsregelen, som Frege ikke spesifiserer spesifikt. Frege brukte resultatene av Begriffsschrifft i The Foundations of Arithmetic .

Bibliografi

Gottlob Frege (oversatt Corine Besson), Ideografi , Vrin, 1999
Gottlob Frege (overs. Claude Imbert ), The Foundations of Arithmetic , The Philosophical Order, Seuil, 1969
Paul Tannery , " Dr Frege. - Begriffschrift ”, i Philosophical Review of France and Foreigners , bind VIII, 1879

Se også

Eksterne linker

(en) Freges teorem og grunnlag for aritmetikk på MS
(en) Freges logikk, teori og grunnlag for aritmetikk i sin siste oppdatering (sommeren 2013), på MS- arkivet
(de) G. Frege, Begriffsschrift , 1879, på Gallica
F. Schmitz, " Frege, fra nummeret til konseptet " , på The Atlantic Center of Philosophy of the University of Nantes ,2000

Relaterte artikler