Miller-indekser og retningsindekser
De indekser Miller er en måte som angir orienteringen av krystallplanene i en krystall . Lignende indekser brukes til å betegne retningene i en krystall, retningindeksene .
En krystall er en ordnet stabel med atomer , ioner eller molekyler , heretter kalt "mønstre". Mønsterets periodisitet uttrykkes av et nettverk som består av noder som representerer knutepunktene i nettet . De kanter for den elementære mesh definere vektorer av basen . Flyene som er definert av tre noder i nettverket, og retningene som er definert av to noder i nettverket, er kvalifisert som “nodal” (nodalplan, nodal direction) eller enda bedre “reticular”. En retikulær retning kalles også rad .
I metallurgi jobber vi ofte med krystaller som består av en enkelt type atom; man snakker altså om “atomplan”, om “atomretning” eller om “rad av atomer”, men dette er bare spesielle tilfeller.
Betydningen av tette planer og retninger
Siden krystallet ikke er isotrop , er det ingen grunn til at dets egenskaper er. Linjene og planene med stor tetthet vil gi spesielle egenskaper:
-
optisk : forplantningen av en lysbølge i krystallet ( brytning ) skjer ved Rayleigh-spredning trinn for trinn, mellom atomer; Formasjonshastigheten kan derfor variere i henhold til tettheten av retningen, noe som kan indusere fenomenet dobbeltbrytning ;
- relatert til overflatespenning : hvis materialet kondenserer i form av en krystall, er det fordi et mønster er mer stabilt når det er omgitt av andre mønstre;
- forplantning av et sprekk- og spaltningsplan : mønstrene på en fri overflate utsettes for luft; den frie overflaten er mer stabil hvis den tilsvarer et plan med høy tetthet, for da er hvert mønster omgitt av maksimalt mønstre;
- pore- formet , av samme grunn som ovenfor;
-
adsorpsjon og reaktivitet: antall adsorpsjonssteder, og derfor den kjemiske reaktiviteten, avhenger av tettheten til atomer;
-
dislokasjoner :
- hjertet av en forvridning vil strekke seg mer i et tett plan, dette reduserer friksjonen under forskyvningen av forvridningen ( Peierls-Nabarro-kraften under plastisk deformasjon ); lappene foregår derfor fortrinnsvis i tette plan;
- forstyrrelsen representert av en forvridning ( Burgers-vektoren ) er en tett retning: faktisk representerer en forskyvning av et mønster i en tett retning en svak forvrengning (mønstrene er nær hverandre);
- linjen til en forskyvning vil også ha en tendens til å være en tett retning, for å redusere linjespenningen (en forskyvningssløyfe vil derfor ha en tendens til å være en polygon ).
Finne en retning
En retikulære retning av krystallen kan representeres ved en dirigering vektor av sin Bravais gitter , å sammenføye to noder i denne retning. Hvis masken som brukes til å representere nettverket er primitiv, er koordinatene u , v , w for denne vektoren hele. Ettersom denne retningsvektoren er definert opp til en multiplikasjonskonstant, enes man om å velge disse koordinatene primtall mellom seg selv som en helhet .
De absolutte verdiene til disse tre koordinatene gir tre naturlige tall kalt retningsindekser . De er skrevet i firkantede parenteser, og de som har tilsvarende koordinat er negativ understreket. Retningen noteres dermed .
[uvw]{\ displaystyle [uvw]}
Betegner for eksempel retningen som en av retningsvektorene har koordinater på 1, 1, -1.
[111¯]{\ displaystyle [11 {\ bar {1}}]}
Generelt sett er grunnlaget for Bravais-nettverket vilkårlig. En ortogonal base velges normalt i tilfelle av et gitter med ortorhombisk eller tetragonal symmetri , og ortonormalt i tilfelle av et gitter med kubisk symmetri .
(på→,b→,vs.→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}
Finne en plan
La oss ta en node i nettverket som opprinnelse og vurdere et bestemt retikulært plan som går gjennom tre noder plassert på de tre aksene:
-
PÅ1(s,0,0){\ displaystyle A_ {1} (p, 0,0)} skjæringspunktet mellom planet og x-aksen,
-
PÅ2(0,q,0){\ displaystyle A_ {2} (0, q, 0)} krysset mellom planet og y-aksen,
-
PÅ3(0,0,r){\ displaystyle A_ {3} (0,0, r)}skjæringspunktet mellom planet og dimensjonsaksen. med heltall p , q og r .
Ligningen for denne planen er . Vi får en ekvivalent ligning ved å multiplisere alle koeffisientene til denne ligningen med PPCM av p , q , r , slik at ligningen til det således oppnådde planet blir med heltallskoeffisienter.
xs+yq+zr=1{\ displaystyle {\ frac {x} {p}} + {\ frac {y} {q}} + {\ frac {z} {r}} = 1}
Vi spør derfor:
- h=PPVSM(s,q,r)s,{\ displaystyle h = {\ frac {\ mathrm {PPCM} (p, q, r)} {p}},}
- k=PPVSM(s,q,r)q,{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {PPCM} (p, q, r)} {q}},}
- l=PPVSM(s,q,r)r.{\ displaystyle l = {\ frac {\ mathrm {PPCM} (p, q, r)} {r}}.}
De tre tallene som er oppnådd, kalles Miller-indekser og tilsvarer inversen av lengdene som er skåret ut på aksene av det første planet i familien av retikulære plan. Hvis nettet som brukes til å representere nettverket, er primitivt, så er de primære blant seg selv som en helhet . De er merket i parentes, og de som er negative fremheves. Ethvert retikulært plan parallelt med startplanet har ligningen , der n er et relativt heltall (siden nodene som tilhører dette planet har heltallkoordinater). Omvendt er ethvert plan som har en ligning av denne formen et retikulært plan i kraft av Bézouts identitet som garanterer eksistensen av hele løsninger på en slik ligning. Dermed har to påfølgende parallelle retikulære plan ligningen og .
hx+ky+lz=ikke{\ displaystyle hx + ky + lz = n}hx+ky+lz=ikke{\ displaystyle hx + ky + lz = n}hx+ky+lz=ikke+1{\ displaystyle hx + ky + lz = n + 1}
Hvis retikulærplanet er parallelt med en akse, er den tilsvarende Miller-indeksen null.
Motsatt, hvis ( h , k , l ) er noen relative relative tall, primært innbyrdes som en helhet og ikke alle null, definerer de en familie av parallelle gitterplan med ligning . La oss spesielt ta for n verdien m = PPCM ( h , k , l ). Deretter passerer det tilsvarende retikulære planet gjennom nodene , og . Man kan således alltid velge et opprinnelse og tre noder på aksene som gjør det mulig å definere en gitt familie av retikulære plan. Vi utleder at følgende vektorer er i flyet :
hx+ky+zl=ikke{\ displaystyle hx + ky + zl = n}PÅ1(m/h,0,0){\ displaystyle A_ {1} (m / t, 0,0)}PÅ2(0,m/k,0){\ displaystyle A_ {2} (0, m / k, 0)}PÅ3(0,0,m/l){\ displaystyle A_ {3} (0,0, m / l)}(hkl){\ displaystyle (hkl)}
- PÅ1PÅ2→(-mh,mk,0),{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {2}}} \ left (- {\ frac {m} {h}}, {\ frac {m} {k}}, 0 \ right),}
- PÅ1PÅ3→(-mh,0,ml),{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {3}}} \ left (- {\ frac {m} {h}}, 0, {\ frac {m} {l}} \ right),}
-
PÅ2PÅ3→(0,-mk,ml).{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {2} A_ {3}}} \ left (0, - {\ frac {m} {k}}, {\ frac {m} {l}} \ right).}.
Disse vektorene er ikke kollinære, parene til disse vektorene danner en base av planet .
(hkl){\ displaystyle (hkl)}
Hvis en av Miller-indeksene er null, blir det tilsvarende punktet avvist ved uendelig, noe som betyr at retikulært plan er parallelt med aksen som tilsvarer dette punktet. Så:
- hvis da koordinatvektoren er i planet,h=0{\ displaystyle h = 0}(1,0,0){\ displaystyle (1,0,0)}
- hvis da koordinatvektoren er i planet,k=0{\ displaystyle k = 0}(0,1,0){\ displaystyle (0,1,0)}
- hvis da koordinatvektoren er i planet.l=0{\ displaystyle l = 0}(0,0,1){\ displaystyle (0,0,1)}
Hvis basen er ortonormal , er skalarproduktene til koordinatvektoren med , og er null:
(h,k,l){\ displaystyle (h, k, l)}PÅ1PÅ2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {2}}}}PÅ1PÅ3→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {1} A_ {3}}}}PÅ2PÅ3→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A_ {2} A_ {3}}}}
(-mh,mk,0)⋅(h,k,l)=m(-1+1+0)=0,{\ displaystyle \ left (- {\ frac {m} {h}}, {\ frac {m} {k}}, 0 \ right) \ cdot (h, k, l) = m (-1 + 1 + 0) = 0,}(-mh,0,ml)⋅(h,k,l)=m(-1+0+1)=0,{\ displaystyle \ left (- {\ frac {m} {h}}, 0, {\ frac {m} {l}} \ right) \ cdot (h, k, l) = m (-1 + 0 + 1) = 0,}(0,-mk,ml)⋅(h,k,l)=m(0-1+1)=0.{\ displaystyle \ left (0, - {\ frac {m} {k}}, {\ frac {m} {l}} \ right) \ cdot (h, k, l) = m (0-1 + 1 ) = 0.}Det i tilfelle av et kubisk gitter, den koordinatvektor er vinkelrett på overflaten, er det en normal vektor. Generelt er dette ikke lenger tilfelle, og koordinatvektoren må uttrykkes i en annen base slik at den er vinkelrett på planet (se nedenfor ).
(h,k,l){\ displaystyle (h, k, l)}(h,k,l){\ displaystyle (h, k, l)}
Krystallsymmetri og permutasjon av indekser
Enkelte krystallinske strukturer har spesielle symmetrier som tillater permutasjon av indeksene.
Kubisk symmetri krystall
For en krystall som følger et kubisk Bravais-gitter, er de fire diagonalene likeverdige, de tre sidene på kuben er likeverdige osv. Vi kan derfor bytte eller ta motsetningene i retning eller Miller-indekser, dette vil uforanderlig representere en retning eller et plan som har de samme egenskapene.
- Retningssett oppnådd av permutasjoner eller opposisjoner kalles "familie av retninger" og bemerkes mellom chevrons:
⟨uvw⟩{\ displaystyle \ langle uvw \ rangle}betegner retninger , , , , , og alle kombinasjoner som oppnås ved å endre skiltene.
[uvw]{\ displaystyle [uvw]}[uwv]{\ displaystyle [uwv]}[vuw]{\ displaystyle [vuw]}[vwu]{\ displaystyle [vwu]}[wuv]{\ displaystyle [wuv]}[wvu]{\ displaystyle [wvu]}For eksempel betegner retninger , , , , og .
⟨100⟩{\ displaystyle \ langle 100 \ rangle}[100]{\ displaystyle [100]}[1¯00]{\ displaystyle [{\ bar {1}} 00]}[010]{\ displaystyle [010]}[01¯0]{\ displaystyle [0 {\ bar {1}} 0]}[001]{\ displaystyle [001]}[001¯]{\ displaystyle [00 {\ bar {1}}]}
- Settet med fly oppnådd ved permutasjoner eller opposisjoner kalles en "familie av fly" og bemerkes mellom klammeparenteser:
{hkl}{\ displaystyle \ {hkl \}}Midler planer , , , , , og alle kombinasjoner oppnås ved å endre skiltene.
(hkl){\ displaystyle (hkl)}(hlk){\ displaystyle (hlk)}(khl){\ displaystyle (khl)}(klh){\ displaystyle (klh)}(lhk){\ displaystyle (lhk)}(lkh){\ displaystyle (lkh)}For eksempel midler planer , , , , og .
{100}{\ displaystyle \ {100 \}}(100){\ displaystyle (100)}(1¯00){\ displaystyle ({\ bar {1}} 00)}(010){\ displaystyle (010)}(01¯0){\ displaystyle (0 {\ bar {1}} 0)}(001){\ displaystyle (001)}(001¯){\ displaystyle (00 {\ bar {1}})}
Sekskantet symmetri krystall
Når det gjelder strukturer med sekskantet eller trigonal symmetri, definerer vi noen ganger en fjerde indeks for å betegne planene, ( hkil ) ; dette er Bravais-Miller-notasjonen. Indeksen i , plassert i tredje posisjon, er overflødig (de tre indeksene h , k og l er tilstrekkelig alene for å definere et plan); det er definert av
i = - h - k .
Denne notasjonen gjør det mulig å bruke sirkulære permutasjoner av indekser for å definere familier av fly.
Faktisk, hvis vi vurderer basisplanet (001), har dette planet en symmetri av rekkefølge 3, dvs. det er uforanderlig ved en rotasjon på 1/3 av en sving (2π / 3 rad , 120 °). Den inneholder derfor tre identiske retninger [100], [010] og [ 11 0]. Hvis vi tar krysset av planet med disse tre aksene, gir det inverse av skjæringspunktet til kryssene indeksene h , k og i .
Geometriske beregninger i gjensidig rom
Orthogonality og gjensidig basis
For å korrekt definere en vektor ortogonal til et retikulært plan , anbefales det å introdusere den gjensidige basen assosiert med basen av nettverket. Det gjensidige grunnlaget er definert som følger:
(hkl){\ displaystyle (hkl)}(på∗→,b∗→,vs.∗→){\ displaystyle ({\ vec {a ^ {*}}}, {\ vec {b ^ {*}}}, {\ vec {c ^ {*}}})}(på→,b→,vs.→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}
på∗→=1Vb→∧vs.→,{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {b}} \ wedge {\ vec {c}},}
b∗→=1Vvs.→∧på→,{\ displaystyle {\ vec {b ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {c}} \ wedge {\ vec {a}},}
vs.∗→=1Vpå→∧b→{\ displaystyle {\ vec {c ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}}
hvor V er volumet til grunnmaskene vi beregner:
(på→,b→,vs.→){\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}})}
V=på→⋅(b→∧vs.→)=vs.→⋅(på→∧b→)=b→⋅(vs.→∧på→){\ displaystyle V = {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ wedge {\ vec {c}}) = {\ vec {c}} \ cdot ({\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}) = {\ vec {b}} \ cdot ({\ vec {c}} \ wedge {\ vec {a}})}.
Fra egenskapene til kryssproduktet har vi:
for hver indeks j forskjellig fra k : enten
ej∗→⋅ek→=0{\ displaystyle {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {k}}} = 0}ej∗→⊥ek→{\ displaystyle {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {k}}}}
for hvilken som helst indeks j :
ej∗→⋅ej→=1{\ displaystyle {\ vec {e_ {j} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {j}}} = 1}
Legg merke til vektoren som har koordinatene ( h , k , l ) på dette gjensidige grunnlaget:
H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}
H→=hpå∗→+kb∗→+lvs.∗→{\ displaystyle {\ vec {H}} = h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}}}Da er denne vektoren normal for planet . Faktisk er vektorene som tilhører dette planet nøyaktig de som = 0 eller er ingen ringere enn , idet man tar hensyn til relasjonene som knytter vektorene til basen til de fra den gjensidige basen. Så hører til planen hvis og bare hvis .
(hkl){\ displaystyle (hkl)}U→=xpå→+yb→+zvs.→{\ displaystyle {\ vec {U}} = x {\ vec {a}} + y {\ vec {b}} + z {\ vec {c}}}hx+ky+lz{\ displaystyle hx + ky + lz}hx+ky+lz{\ displaystyle hx + ky + lz}(hpå∗→+kb∗→+lvs.∗→)⋅(xpå→+yb→+zvs.→){\ displaystyle (h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}}) \ cdot (x {\ vec {a}} + y {\ vec {b}} + z {\ vec {c}})}U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(hkl){\ displaystyle (hkl)}H→⋅U→=0{\ displaystyle {\ vec {H}} \ cdot {\ vec {U}} = 0}
Interretikulær avstand
To påfølgende retikulære plan av familien som har for hver ligning og , hvor n er et hvilket som helst relativt heltall, er den interretikulære avstanden mellom disse to planene:
(hkl){\ displaystyle (hkl)}hx+ky+lz=ikke{\ displaystyle hx + ky + lz = n}hx+ky+lz=ikke+1{\ displaystyle hx + ky + lz = n + 1}dhkl{\ displaystyle d_ {hkl}}
dhkl=1‖H→‖=1H→TG∗H→{\ displaystyle d_ {hkl} = {\ frac {1} {\ | {\ vec {H}} \ |}} = {\ frac {1} {\ sqrt {{\ vec {H}} ^ {T} G ^ {*} {\ vec {H}}}}}eller:
-
H→=hpå∗→+kb∗→+lvs.∗→{\ displaystyle {\ vec {H}} = h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}}}er en vektor som er normal for et familieplan ;(hkl){\ displaystyle (hkl)}
-
på∗→{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}}}, og er de grunnleggende vektorene i det gjensidige nettverket ;b∗→{\ displaystyle {\ vec {b ^ {*}}}}vs.∗→{\ displaystyle {\ vec {c ^ {*}}}}
-
H→T{\ displaystyle {\ vec {H}} ^ {T}}er transponere av vektoren ;H→{\ displaystyle {\ vec {H}}}
-
G∗{\ displaystyle G ^ {*}}er den metriske tensoren til det gjensidige gitteret.
Vinkel mellom retikulære plan
Vinkelen mellom to retikulære plan og er vinkelen mellom deres normale og . Den er gitt av:
θ{\ displaystyle \ theta}(hkl)1{\ displaystyle (hkl) _ {1}}(hkl)2{\ displaystyle (hkl) _ {2}}H1→{\ displaystyle {\ vec {H_ {1}}}}H2→{\ displaystyle {\ vec {H_ {2}}}}
cosθ=(H1→|H2→)‖H1→‖‖H2→‖{\ displaystyle \ cos {\ theta} = {\ frac {({\ vec {H_ {1}}} | {\ vec {H_ {2}}})} {\ | {\ vec {H_ {1}} } \ | \ | {\ vec {H_ {2}}} \ |}}}med
- (H1→|H2→)=H1→TG∗H2→{\ displaystyle ({\ vec {H_ {1}}} | {\ vec {H_ {2}}}) = {\ vec {H_ {1}}} ^ {T} G ^ {*} {\ vec { H_ {2}}}}
- ‖HJeg→‖=HJeg→TG∗HJeg→{\ displaystyle \ | {\ vec {H_ {i}}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {H_ {i}}} ^ {T} G ^ {*} {\ vec {H_ {i}} }}}}
eller:
-
HJeg→=hJegpå∗→+kJegb∗→+lJegvs.∗→{\ displaystyle {\ vec {H_ {i}}} = h_ {i} {\ vec {a ^ {*}}} + k_ {i} {\ vec {b ^ {*}}} + l_ {i} {\ vec {c ^ {*}}}}er en vektor normal til planet ;(hkl)Jeg{\ displaystyle (hkl) _ {i}}
-
på∗→{\ displaystyle {\ vec {a ^ {*}}}}, og er de grunnleggende vektorene i det gjensidige nettverket;b∗→{\ displaystyle {\ vec {b ^ {*}}}}vs.∗→{\ displaystyle {\ vec {c ^ {*}}}}
-
HJeg→T{\ displaystyle {\ vec {H_ {i}}} ^ {T}}er transponering av vektoren ;HJeg→{\ displaystyle {\ vec {H_ {i}}}}
-
G∗{\ displaystyle G ^ {*}} er den metriske tensoren til det gjensidige gitteret.
Indeksering av diffraksjonstopper
I diffraksjonseksperimenter med en bølgelengde av rekkefølgen av gitterparametrene ( røntgendiffraksjon , nøytrondiffraksjon , elektrondiffraksjon i transmisjonselektronmikroskopi ) kan posisjonen til diffraksjonstoppene beregnes i henhold til de interplanare avstandene , Bragg-loven .
Det er således mulig å koble hver topp til et retikulært plan. Millerindeksene ( hkl ) til flyet er også Laue-indeksene hkl av toppen som tilsvarer den første diffraksjonsordenen.
Gjensidig rom og diffraksjon
Det gjensidige grunnlaget er grunnlaget tilpasset studiet av bølgevektorer . Det gjensidige rommet , det vil si vektorrommet som følger med denne basen, gjør det mulig å enkelt bestemme diffraksjonsforholdene (se også artikkelen Diffraksjonsteori på en krystall ).
Faktisk tilsvarer vektorene som har heltallkoordinater i den gjensidige basen diffraksjonsbetingelsene for en krystall . Så:
Vi snakker altså om flekk, ring eller topp ( hkl ). Denne assosiasjonen kalles "indeksering".
Merknader
-
Kubiske krystaller kalles imidlertid isotropisk på grunn av isotropien til deres optiske egenskaper.
-
Ved "topp" betegner vi ikke bare toppene til diffraktogrammer i tilfelle av digitale opptak, men også diffraksjonspunktene i tilfelle diffraksjon på en enkelt krystall ( Laue-bilde , overføringselektronmikroskopi ), samt diffraksjon flekker. diffraksjon ringer i tilfelle diffraksjon på et pulver ( Debye-Scherrer kammer ). Se artikkelen Diffraksjonsteori på en krystall .
-
Det er to måter å definere bølgevektoren på; enten er normen 1 / λ, så har vi formlene angitt ovenfor for det gjensidige grunnlaget; eller dens norm er 2π / λ, og vi har da ( i , j , k ) som en sirkulær permutasjon av (1, 2, 3). Tilsvarende . Denne faktoren 2π produserer bare en homotitet (utvidelse) av det gjensidige rommet, men endrer ikke resultateneeJeg∗→=2πV⋅ej→∧ek→{\ displaystyle {\ vec {e_ {i} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} \ cdot {\ vec {e_ {j}}} \ wedge {\ vec {e_ { k}}}}em→⋅em∗→=2π{\ displaystyle {\ vec {e_ {m}}} \ cdot {\ vec {e_ {m} ^ {*}}} = 2 \ pi}
Se også
Relatert artikkel
Eksterne linker
- Elementer av krystallografi
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">