Sti integrert

En full sti (" path integral " på engelsk) er en funksjonell integral , det vil si at integrering er funksjonell og summen blir tatt over funksjonene, og ikke på reelle tall (eller komplekse ) som for vanlige integraler . Vi har derfor her å gjøre med en integral i uendelig dimensjon. Dermed vil vi nøye skille banen integral (funksjonell integral) fra en vanlig integral beregnet på en bane av fysisk rom, som matematikere kaller krumlinjær integral .

Det var Richard Feynman som introduserte stiintegraler i fysikk i sin avhandling, forsvarte iMai 1942, som arbeider med formuleringen av kvantemekanikk basert på Lagrangian . Den opprinnelige motivasjonen kommer fra ønsket om å oppnå en kvanteformulering av Wheeler og Feynmans absorberteori fra en Lagrangian (snarere enn en Hamilton ) som utgangspunkt. På grunn av andre verdenskrig vil ikke disse resultatene bli publisert før 1948. Dette matematiske verktøyet etablerte seg raskt i teoretisk fysikk med sin generalisering til kvantefeltteori , noe som spesielt muliggjorde en kvantifisering av ikke- abelske målerteorier . Enklere enn den kanoniske kvantiseringen. fremgangsmåte.

I tillegg utviklet matematikeren Mark Kac deretter et lignende konsept for den teoretiske beskrivelsen av Brownian-bevegelse , inspirert av resultater oppnådd av Norbert Wiener i 1920-årene. I dette tilfellet snakker vi om Feynman-Kac-formelen , som er en integral for Wiener-tiltaket.

Genesis av begrepet sti integral

Som student på 3 e- syklus ledet av Wheeler ved Princeton University , søker den unge Feynman en kvantifiseringsmetode basert på Lagrangian for å beskrive et system som ikke nødvendigvis må Hamiltonian . Hans primære motivasjon er å kvantifisere den nye formuleringen av klassisk elektrodynamikk basert på ekstern handling som han nettopp har utviklet med Wheeler.

Våren 1941 møtte han Herbert Jehle, den gang en besøkende i Princeton, som fortalte ham under en kveld på Nassau Tavern eksistensen av en artikkel av Dirac som spesifikt diskuterer kvantifisering fra Lagrangian. Jehle spesifiserer til Feynman at denne formuleringen tillater en kovariant relativistisk tilnærming mye enklere enn den som er basert på Hamiltonian. Dagen etter drar de to fysikerne til biblioteket for å studere Diracs artikkel. De leser spesielt følgende setning:

For to øyeblikk og naboer, amplitude elementære overgang er lik til

t

{\ displaystyle t + \ epsilon \,}

{\ displaystyle \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \,}

{\ displaystyle \ exp (iS [q] / \ hbar) \,}

I denne formelen er størrelsen S [ q ( t )] den klassiske handlingen :

{\ displaystyle S [q_ {2} (t + \ epsilon), q_ {1} (t)] \ = \ \ int _ {t} ^ {t + \ epsilon} L (q, {\ dot {q} }) \ \ mathrm {d} t \ = \ L \ left (q_ {1}, {\ frac {q_ {2} -q_ {1}} {\ epsilon}} \ right) \ \ epsilon \,}

For å forstå hva Dirac mener analogt , studerer Feynman saken om en ikke-relativistisk massepartikkel m som Lagrangian er skrevet for:

{\ displaystyle L (q, {\ dot {q}}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} ^ {2} \ - \ V (q)}

Vi vet det :

{\ displaystyle \ langle q_ {2} | \ psi (t + \ epsilon) \ rangle \ = \ \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \, \ langle q_ {1} | \ psi (t) \ rangle}

Feynman antar da et forhold av proporsjonalitet :

{\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ A \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ exp \, \ left (\, i \, {\ frac { S [q (t)]} {\ hbar}} \, \ right) \ \ psi (q_ {1}, t)}

der A er en ukjent konstant. I nærvær av Jehle demonstrerer Feynman at denne ligningen innebærer at adlyder Schrödinger-ligningen: ${\ displaystyle \ psi (q, t) \,}$

{\ displaystyle \ left [\, - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ {\ frac {\ partial ^ {2} ~~} {\ partial q ^ {2}}} \ + \ V (q) \, \ right] \ \ psi (q, t) \ = \ i \, \ hbar \ {\ frac {\ partial ~~} {\ partial t}} \ psi (q, t) }

under forutsetning av at den ukjente konstanten A er lik:

{\ displaystyle A \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi \ hbar i \ epsilon}}}}

Høsten 1946, under toårsjubileet av Princeton University, møtte Feynman Dirac og følgende korte utveksling fant sted:

Feynman. - " Visste du at disse to størrelsene var proporsjonale?" " Dirac. - " Er de det? " Feynman. - " Ja. " Dirac. - " Åh! Det er interessant. "

Dette lakoniske svaret vil sette en stopper for diskusjonen ... For mer historiske detaljer vil man lese med overskudd artikkelen fra Schweber.

Påminnelser på propagatoren av Schrödinger-ligningen

For å forenkle notasjonene begrenser vi oss nedenfor til tilfellet med en enkelt romdimensjon. Resultatene strekker seg lett til et hvilket som helst antall dimensjoner.

Definisjon

Tenk på en ikke-relativistisk massepartikkel m , beskrevet i kvantemekanikk av en bølgefunksjon . La oss anta at vi gir oss selv den opprinnelige tilstanden i et fast innledende øyeblikk . Deretter blir bølgefunksjonen på et senere øyeblikk , løsning av Schrödinger-ligningen , gitt av den integrerte ligningen: ${\ displaystyle \ psi (q_ {0}, t_ {0}) \,}$ ${\ displaystyle t_ {0} \,}$ ${\ displaystyle t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle \ psi (q_ {1}, t_ {1}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ { 0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}

hvor er forplanteren av partikkelen: ${\ displaystyle K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \,}$

{\ displaystyle {K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \: = \ \ left \ langle q_ {1} {\ Big |} e ^ {- i {\ hatt {H}} (t_ {1} -t_ {0}) / \ hbar} {\ Big |} q_ {0} \ right \ rangle}}

Ĥ er den Hamilton-operatøren av partikkelen.

Chapman-Kolmogorov-ligning

Husk at hvis propagatoren adlyder Chapman-Kolmogorov-ligningen : ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2 } | q_ {1}, t_ {1}) \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Denne relasjonen vil tillate oss å finne uttrykk for propagatoren i form av en stiintegral.

Uttrykk av propagatoren når det gjelder stiintegral

La oss se etter uttrykk for propagatoren mellom det første øyeblikket og det siste øyeblikket . ${\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \,}$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle t_ {f} \,}$

Anvendelse av Chapman-Kolmogorov-ligningen

Tidsintervallet er delt inn i N elementære tidsintervaller med varighet ved å introdusere N + 1 ganger: ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {f} -t_ {i} \,}$ $\ epsilon \,$

{\ displaystyle t_ {k} \ = \ t_ {0} \ + k \ \ epsilon}

til

{\ displaystyle \, k \ in \ {0, \ dots, N \}}

med og . Det er derfor N - 1 mellomtid mellom starttid og sluttid . For at tidsintervallene skal ha en elementær varighet , er grensen underforstått. ${\ displaystyle t_ {0} = t_ {i} \,}$ ${\ displaystyle t_ {N} = t_ {f} \,}$ ${\ displaystyle t_ {k} \,}$ $t_ {0} \,$ ${\ displaystyle t_ {N} \,}$ ${\ displaystyle \ epsilon = t_ {k + 1} -t_ {k} \,}$ ${\ displaystyle N \ to + \ infty \,}$

Å bruke Chapman-Kolmogorov-ligningen for første gang gjør det mulig å skrive:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {0}, t_ {0})}

deretter bruke den en gang til:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ mathrm {d} q_ {N- 2} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {N- 2}, t_ {N-2}) \ K (q_ {N-2}, t_ {N-2} | q_ {0}, t_ {0})}

Og så videre. Vi får endelig etter N - 1 søknader til N - 1 mellomliggende tider:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} \ mathrm {d} q_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ times \ cdots \ times K (q_ { k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ times \ cdots \ times K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) }

Vi blir dermed ledet til å vurdere den elementære propagatoren :

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ left \ langle q_ {k + 1} {\ Big |} e ^ { -i {\ hat {H}} \ epsilon / \ hbar} {\ Big |} q_ {k} \ right \ rangle}

Elementær propagator: Feynman-Dirac-formel

For en endimensjonal, ikke-relativistisk massepartikkel i et potensial, hvis Hamilton-operatør er skrevet: $m \,$

{\ displaystyle {\ hat {H}} \ = \ {\ hat {H}} _ {0} \ + \ V ({\ hat {q}})}

og den elementære propagatoren er skrevet:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \, [\, {\ hat {H}} _ {0} + V ({\ hat {q}}) \,] \, \ epsilon / \ hbar} | q_ {k}>}

Vi bruker Trotter-Kato-formelen :

{\ displaystyle e ^ {t ({\ hat {A}} + {\ hat {B}})} \ = \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ \ left [\ e ^ {{\ hat { A}} t / n} \ \ times \ e ^ {{\ hat {B}} t / n} \ \ right] ^ {n}}

Denne formelen er ikke triviell, fordi operatørene og vanligvis ikke pendler! Vi kommer hit: ${\ displaystyle {\ hat {A}} \,}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ hat {H}} _ {0} / \ hbar} \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V ({\ hat {q}}) / \ hbar} | q_ {k}>}

Vi kan sende det eksponentielle som inneholder potensialet, som bare avhenger av posisjonen:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ hat {H}} _ {0} / \ hbar} | q_ {k}> \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Det gjenværende matriseelementet er forplanteren av den frie partikkelen , så vi kan endelig skrive uttrykket:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Nå er uttrykket til den gratis propagatoren kjent nøyaktig:

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q_ {k + 1} -q_ {k}) ^ {2}} {2 \ hbar \ epsilon}} \ right)}

Merk at det eksponensielle argumentet kan skrives om i form av et diskretisert uttrykk for hastigheten :

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {k} \ = \ {\ frac {(q_ {k + 1} -q_ {k})} {\ epsilon}}}

som :

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ right)}

Vi utleder at den elementære propagatoren er skrevet:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ right) \ times \ \ exp \ left ({\ frac {-i \ epsilon V (q_ {k})} {\ hbar}} \ høyre)}

Argumentene for at de to eksponensialene nå er komplekse tall, kan man skrive uten problemer:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ - \ i \ epsilon {\ frac { V (q_ {k})} {\ hbar}} \ høyre)}

eller igjen:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ \ left ({\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2 } \ - \ V (q_ {k}) \ høyre) \ \ epsilon \ \ right]}

Begrepet i parentes representerer partiklens lagrangiske:

{\ displaystyle L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ - \ V (q_ {k})}

derav Feynman-Dirac-formelen for den elementære propagatoren:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right]}

Sti integrert

Vi injiserer Feynman-Dirac-uttrykket i den generelle formelen:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ times \ dots \ times K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ times \ dots \ times K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Han kommer :

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ left (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ høyre) ^ {N / 2} \ \ int \ venstre [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ høyre] \ \ exp \ venstre [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ venstre [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ venstre [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \ \ epsilon \ \ right]}

Argumentet om at eksponentialene er komplekse tall, kan vi skrive:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ left (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ høyre) ^ {N / 2} \ \ int \ venstre [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ høyre] \ \ exp \ venstre [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ \ left [\, L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) + \ dots + L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) + \ dots + L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \, \ right] \ \ epsilon \ \ right]}

Vi anerkjenner i det eksponentielle argumentet en diskretisering av den klassiske handlingen :

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ epsilon \ = \ \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {N}} L (q (t), {\ dot {q}} (t)) dt \ = \ S \ left [\, q (t) \ , \ Ikke sant]}

Vi trekker sammen med Feynman uttrykket for propagatoren som en funksjonell integral på alle kontinuerlige baner:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ left [\, q (t) \, \ right]} {\ hbar}}}}

med det formelle tiltaket:

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} q (t) \ = \ \ lim _ {N \ to \ infty} \ left (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \ , \ høyre) ^ {N / 2} \ \ venstre [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ høyre]}

Tolkning

Feynmans formel:

{\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ left [\, q (t) \, \ right]} {\ hbar}}}}

innrømmer følgende tolkning: for å beregne amplituden til overgangen fra startpunktet for øyeblikket mot sluttpunktet for øyeblikket , er det nødvendig å vurdere alle de kontinuerlige banene som sjekker grensebetingelsene: og . Hver bane tildeles en kompleks "vekt" av enhetsmodul :, hvor beregnes den klassiske handlingen på denne banen. Deretter "summerer" vi denne utallige uendelige av komplekse vekter, og til slutt oppnår vi ønsket overgangsamplitude. $q_i \,$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle q_ {f} \,}$ $t_f$ ${\ displaystyle q (t) \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {i}) = q_ {i} \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {f}) = q_ {f} \,}$ ${\ displaystyle \ exp (iS [q (t)] / \ hbar) \,}$ ${\ displaystyle S [q (t)] \,}$

Denne tolkningen er arbeidet til Feynman alene, og Dirac har ikke tatt steget. Det er implisitt i hans avhandling fra 1942, og eksplisitt i 1948-publikasjonen.

Semiklassisk grense

I grensen der systemets virkning er mye større enn , kan man bruke en utvikling av den semi-klassiske typen, der er en liten forstyrrelse av den klassiske banen : $\ hbar$ $y$ ${\ displaystyle x_ {c}}$ ${\ displaystyle x = x_ {c} + y}$

Tenk på en standard Lagrangian:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}}] = {\ frac {m {\ dot {x}} ^ {2}} {2}} - V (x)}$

Vi skriver deretter handlingen i følgende form, og begrenser oss til andre rekkefølge:

${\ displaystyle S [x] \ approx S [x_ {c}] + \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t \ underbrace {\ left. {\ frac {\ delvis S} {\ delvis x (t)}} \ høyre | _ {x_ {c}}} _ {= 0} y (t) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i }} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t_ {1} \, \ mathrm {d} t_ {2} \ left. {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial x (t_ {1}) \ delvis x (t_ {2})}} høyre | _ {x_ {c}} y (t_ {1}) y (t_ {2}) \ Longrightarrow}$

${\ displaystyle S [x] \ approx S [x_ {c}] + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t ( m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2})}$

vi kan derfor tilnærme propagatoren:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2}) / 2 \ hbar}}$

en integrering av deler av eksponenten fører til en gaussisk form:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (y [-m {\ frac {d ^ {2 }} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})] y) / 2 \ hbar}}$

Definer operatøren ${\ displaystyle {\ hat {O}} = - m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})}$

reglene for beregning av Gaussiske integraler gir:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx cste \ cdot {\ sqrt {\ frac {1} {\ mathrm {Det} ({\ hat { O}})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

Tenk nå på funksjonen som er definert som følger: ${\ displaystyle \ Psi (t)}$

${\ displaystyle {\ hat {O}} \ Psi = \ left (-m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' ( x_ {c}) \ høyre) \ Psi = 0}$

med kantforholdene:

${\ displaystyle \ Psi (t_ {i}) = 0}$

${\ displaystyle \ Psi '(t_ {i}) = 1}$

Vi kan da vise at:

${\ displaystyle Det ({\ hat {O}}) = cste \ cdot \ Psi (t_ {f})}$

som gir oss for propagator tilnærming:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx {\ sqrt {\ frac {A} {\ Psi (t_ {f})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

vi bestemmer konstanten A fra forplanteren av den frie partikkelen:

${\ displaystyle K_ {fp} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar (t_ {f} -t_ {i})}}} \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

når det gjelder den frie partikkelen, er funksjonen som tilfredsstiller betingelsene som er utsatt ovenfor , som umiddelbart gir oss et uttrykk for A. Vi oppnår til slutt den såkalte semi-klassiske tilnærmingen av propagatoren: $\ Psi$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = t-t_ {i}}$

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ Psi (t_ {f} )}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

denne tilnærmingen er kraftig, og kan til og med gi et nøyaktig resultat, som i tilfelle der potensialet er det for en harmonisk frekvensoscillator . I dette tilfellet må funksjonen tilfredsstille, i tillegg til grensevilkårene: $\ omega$ $\ Psi$

${\ displaystyle \ left (-m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - m \ omega ^ {2} \ right) \ Psi = 0 \ Longrightarrow \ Psi (t) = {\ frac {\ sin \ omega (t-t_ {i})} {\ omega}}}$

og vi får det eksakte uttrykket for propagatoren til den harmoniske oscillatoren, ved den semi-klassiske tilnærmingen:

${\ displaystyle K_ {ho} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ pi i \ hbar \ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

med den klassiske handlingen til den harmoniske oscillatoren:

${\ displaystyle S_ {cl} [x] = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}} ] = {\ frac {m \ omega} {2}} \ left [(x_ {f} ^ {2} + x_ {i} ^ {2}) \ cot \ omega (t_ {f} -t_ {i} ) - {\ frac {2x_ {i} x_ {f}} {\ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}} \ høyre]}$

legg merke til en annen ekvivalent formulering av den semi-klassiske tilnærmingen, kjent som Van Vleck - Pauli - Morette , som følger direkte fra den forrige:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) _ {sc} = {\ sqrt {- {\ frac {1} {2 \ pi i \ hbar}} {\ frac {\ partial ^ {2} S_ {cl}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {f}}}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS_ {cl} / \ hbar}}$

Bibliografi

Historiske tekster

Richard P. Feynman; Prinsippet om minst handling i kvantemekanikk , avhandling fra Princeton University. Denne avhandlingen er nettopp publisert av Laurie M. Brown (se nedenfor).

Richard P. Feynman; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Denne artikkelen er gjengitt i: Julian Schwinger (red); Utvalgte artikler om kvanteelektrodynamikk , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

PAM Dirac; Lagrangian i kvantemekanikk , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Denne artikkelen er gjengitt i: Julian Schwinger (red); Utvalgte artikler om kvanteelektrodynamikk , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans avhandling: en ny tilnærming til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) . Inneholder Feynmans originale avhandling, samt de to foregående artiklene.

Referanse bøker

Jean Zinn-Justin ; Integrert vei i kvantemekanikk: Introduksjon , Samling nåværende kunnskap, EDP Sciences / CNRS Éditions (2003), ( ISBN 2-86883-660-7 ) . Utmerket introduksjon til emnet, denne boken er resultatet av mange års undervisning ved Interuniversity Magisterium of Physics of the ENS.
Claude Cohen-Tannoudji ; Komplement av kvantemekanikk , (1966). Kurs gitt i 1966 av Nobelprisen i 1997 (Collège de France, Paris). Nærmer seg Lagrangian-formuleringen av kvantemekanikk, og bruken av Greens funksjoner. Forelesningsnotater skrevet i 1966 av Serge Haroche (Collège de France, Paris).
Richard P. Feynman og André R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals , New York: McGraw-Hill (1965), ( ISBN 0-07-020650-3 ) .
Larry S. Schulman; Techniques & Applications of Path Integration , Jonh Wiley & Sons (New York-1981), ISBN. Gjengitt av Dover Publications, Inc. (2005), ( ISBN 0-486-44528-3 ) . En annen referanse, litt mer moderne enn den forrige.
Christian Grosche & Frank Steiner; Handbook of Feynman Path Integrals , Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998), ( ISBN 3-540-57135-3 ) .
Philippe A. Martin; Den funksjonelle integralen ; Presses Polytechniques Universitaires Romandes (1996), ( ISBN 2-88074-331-1 ) .
Lundqvist & co; Path Summation ; Verdensvitenskapelig (1988), ( ISBN 9971-5-0597-5 ) .
Martin Veltman; Diagrammatica , CambridgeLNP
Lewis H. Ryder; Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), ( ISBN 0-521-33859-X ) .
RJ Rivers; Path Integrals Methods in Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1987), ( ISBN 0-521-25979-7 ) .
Hagen Kleinert , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4. utgave, World Scientific (Singapore, 2004), ( ISBN 981-238-107-4 ) . (Også tilgjengelig online i pdf- format ).
Christian Grosche; En introduksjon til Feynman-stien integrert , kurs gitt på Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik , Universität Leipzig, 16.-26. November 1992. Fulltekst tilgjengelig på ArXiv: hep-th / 9302097 .
Sanjeev Seahra; Path Integrals in Quantum Field Theory , notater fra kurset Quantum Field Theory gitt i 2000 av Eric Poisson ved University of Waterloo (Canada). Fulltekst tilgjengelig i pdf- format .
Richard MacKenzie; Banen integrerte metoder og applikasjoner , kurs gitt på Rencontres du Vietnam: VIth Vietnam School of Physics , Vung Tau, Vietnam, 27. desember 1999 - 8. januar 2000. Fulltekst tilgjengelig på ArXiv: quant-ph / 0004090 .
Gert Roepstorff; Path Integral Approach to Quantum Physics , Springer-Verlag (1994), ( ISBN 3-540-55213-8 ) .

Matematisk streng tilnærming

(en) Sergio Albeverio (en) og Raphael Høegh-Krohn (en) , Mathematical Theory of Feynman Path Integral , Lecture Notes in Mathematics 523, Springer-Verlag, 1976
(no) James Glimm og Arthur Jaffe , Quantum Physics: a Functional Integral Point of View , New York, Springer-Verlag, 1981 ( ISBN 0-387-90562-6 )
(en) Gerald W. Johnson og Michel L. Lapidus, The Feynman Integral og Feynmans Operational Calculus , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 2002 ( ISBN 0-19-851572-3 )
(en) Pavel Etingof, Geometry and Quantum Field Theory , MIT OpenCourseWare, 2002Dette online kurset, designet for matematikere, er en grundig introduksjon til kvantefeltteori via funksjonelle integraler.
(en) Cécile DeWitt-Morette , "Feynmans vei integrert - Definisjon uten begrensning av prosedyren", i Comm. Matte. Phys. , flygning. 28, n o 1, 1972, s. 47–67 . [ les online ]
(en) Pierre Cartier og Cécile DeWitt-Morette, "Et nytt perspektiv på funksjonell integrasjon", i J. Math. Phys. , flygning. 36, 1995, s. 2137-2340 . " Funct-an / 9602005 " , tekst i fri tilgang, på arXiv .
Pierre Cartier, "Det integrerte av Feynmans veier: fra et intuitivt syn til en streng ramme", i Today's Mathematical Lessons , Collection Le sel et le fer, Cassini, 2000 ( ISBN 2-84225-007 -9 ) , s. 27-59
(no) Alain Connes og Dirk Kreimer , "Renormalisering i kvantefeltteori og Riemann-Hilbert-problemet, I", i Comm. Matte. Phys. , flygning. 210, n o 1, 2000 s. 249-273
(no) Alain Connes og Dirk Kreimer, "The β-function, diffeomorphisms and the renormalization group", i Comm. Matte. Phys. , flygning. 216, n o 1, 2001, s. 215-241
(no) Alain Connes, personlig side , artikler 137, 148, 155, 157, 158, 162, 165, 167

Merknader og referanser

Fysikere kvalifiserer den krøllete integralen til et felt som en sirkulasjonsvektor (for eksempel en styrkes arbeid.)
Richard P. Feynman; Prinsippet om minst handling i kvantemekanikk , avhandling fra Princeton University. Denne avhandlingen er nettopp publisert i Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans avhandling: en ny tilnærming til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Richard P. Feynman; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Denne artikkelen er gjengitt i: Julian Schwinger (red); Utvalgte artikler om kvanteelektrodynamikk , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) , samt i: Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans avhandling: en ny tilnærming til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Det er tydeligvis en formell kobling mellom de to typene stiintegraler - Feynman og Wiener - fordi mens Schrödinger-ligningen av en gratis massiv ikke-relativistisk partikkel er skrevet: hvor er kvantebølgefunksjonen, ligningen av diffusjonen i rommet for sannsynlighetstetthet er skrevet: Vi kan tydelig se at det er tilstrekkelig å sette: for diffusjonskoeffisienten, og: for tiden til å transformere Schrödinger-ligningen til en ligning av sendingen. Imidlertid viser det seg at Wiener-stien integrert - for diffusjonsligningen - er lettere å definere matematisk strengt enn Feynmans - for Schrödinger-ligningen. Noen forfattere har derfor foreslått å definere Feynman-integralen fra Wiener-tiltaket ved å lage en analytisk utvidelse for imaginære tider. ${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ \ Delta \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ i \ hbar \ {\ frac {\ partial \ psi ({\ vec {r}}, t)} {\ partial t}}}$ $\ psi$ $P$ ${\ displaystyle D \ \ Delta P ({\ vec {r}}, \ tau) \ = \ {\ frac {\ partial P ({\ vec {r}}, \ tau)} {\ partial \ tau}} }$ ${\ displaystyle D = - \ hbar / 2m}$ ${\ displaystyle t = i \ tau}$
Denne teorien vil ikke bli publisert før 1945: John Archibald Wheeler & Richard P. Feynman; Gjennomgang av moderne fysikk 17 (1945) 157.
PAM Dirac; Lagrangian i kvantemekanikk , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Denne artikkelen er gjengitt i: Julian Schwinger (red); Utvalgte artikler om kvanteelektrodynamikk , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) , samt i: Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans avhandling: en ny tilnærming til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
(i) Silvan S. Schweber , " Feynmans visualisering av rom- tidsprosesser " , Review of Modern Physics , Vol. 58, n o to1 st april 1986, s. 449–508 ( DOI 10.1103 / RevModPhys.58.449 ).
Denne ligningen ble skrevet av Dirac i sin artikkel fra 1933.
Et stort problem med denne definisjonen er at dette "formelle tiltaket" ikke er et reelt mål i matematikerens strenge forstand. For en grundig definisjon av Feynman-integralen, se avhandlingene - ofte veldig tekniske - i bibliografien.
Analogien med den bruniske bevegelsen viser at banene som bidrar vesentlig til Feynman-integralen er kontinuerlige, men ikke differensierbare . Mer presist, de er Lipchitzian-veier for eksponenter 1/2.