Voigt notasjon
Man kaller Voigt-notasjon for en konvensjon som tillater å redusere antall indekser som brukes til å beskrive en symmetrisk tensor. Denne betegnelsen gjør det spesielt mulig å representere i matriksform tensorer av orden 3, slik som den piezoelektriske tensoren, eller 4 slik som tensoren til de elastiske modulene. Denne betegnelsen skylder navnet Woldemar Voigt som utviklet dem.
Prinsipp og eksempel
Prinsippet for Voigts notasjon er godt illustrert av tilfelle av rang 2 symmetriske tensorer som spenningstensor eller strekk tensor . Den ene representerer en slik tensor ved en symmetrisk matrise 3x3:
påJegj{\ displaystyle a_ {ij}}
(på11på12på1. 3på21på22på23på31på32på33){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31 } og a_ {32} og a_ {33} \\\ slutt {array}} \ høyre)}Denne matrisen inneholder 9 koeffisienter, hvorav bare 6 er uavhengige. Dataene til disse 6 koeffisientene er derfor tilstrekkelig til å representere tensoren fullstendig. Vi vil derfor kombinere de to indeksene i ett i henhold til konvensjonen:
11⟶132 ou 23⟶422⟶231 ou 1. 3⟶533⟶321 ou 12⟶6{\ displaystyle {\ begin {align} 11 \ longrightarrow 1 \ qquad \ qquad 32 \ \ mathrm {eller} \ 23 \ longrightarrow 4 \\ 22 \ longrightarrow 2 \ qquad \ qquad 31 \ \ mathrm {eller} \ 13 \ longrightarrow 5 \\ 33 \ longrightarrow 3 \ qquad \ qquad 21 \ \ mathrm {eller} \ 12 \ longrightarrow 6 \\\ end {aligned}}}Det er imidlertid ikke mulig å bare erstatte indeksene med de avtalte indeksene. For å beholde en sammenhengende fremstilling av de fysiske egenskapene, er det nødvendig å innføre noen multiplikasjonsfaktorer. Dette kan demonstreres på et eksempel. Tenk Hookes lov som forbinder deformasjonstensoren den spenningstensoren av en tensor av de elastiske moduler :
εJegj{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij}} σkl{\ displaystyle \ sigma _ {kl}}VSJegjkl{\ displaystyle C_ {ijkl}}
σJegj=VSJegjklεkl{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = C_ {ijkl} \, \ varepsilon _ {kl}}Vi vil derfor skrive, for eksempel for :
σ1. 3{\ displaystyle \ sigma _ {13}}
σ1. 3=VS1311ε11+VS1322ε22+VS1333ε33+VS1332ε32+VS1323ε23⏟2VS1332ε32+VS1331ε31+VS1313ε1. 3⏟2VS1331ε31+VS1312ε12+VS1321ε21⏟2VS1321ε21{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {13} = & \ quad C_ {1311} \, \ varepsilon _ {11} + C_ {1322} \, \ varepsilon _ {22} + C_ {1333} \ , \ varepsilon _ {33} \\ & + \ underligger {C_ {1332} \, \ varepsilon _ {32} + C_ {1323} \, \ varepsilon _ {23}} _ {\ displaystyle 2C_ {1332} \, \ varepsilon _ {32}} + \ underligger {C_ {1331} \, \ varepsilon _ {31} + C_ {1313} \, \ varepsilon _ {13}} _ {\ displaystyle 2C_ {1331} \, \ varepsilon _ {31}} + \ underligger {C_ {1312} \, \ varepsilon _ {12} + C_ {1321} \, \ varepsilon _ {21}} _ {\ displaystyle 2C_ {1321} \, \ varepsilon _ {21} } \\\ slutt {justert}}}Det er derfor nødvendig å ta hensyn til disse koeffisientene 2 ved å skrive denne relasjonen i kontraktsindekser:
σ5=VS51ε1+VS52ε2+VS53ε3+VS54ε4+VS55ε5+VS56ε6{\ displaystyle \ sigma _ {5} = C_ {51} \, \ varepsilon _ {1} + C_ {52} \, \ varepsilon _ {2} + C_ {53} \, \ varepsilon _ {3} + C_ {54} \, \ varepsilon _ {4} + C_ {55} \, \ varepsilon _ {5} + C_ {56} \, \ varepsilon _ {6}}I det foreliggende tilfellet er denne koeffisienten 2 integrert av konvensjonen i definisjonen av stammens tensor, slik at man går fra den fullstendige notasjonen til noteringen av Voigt ved følgende forhold, hvor man noterer indeksene som er kontraheret med et gresk brev :
σα=σJegjVSαβ=VSJegjklεα=εJegj sour α=1,2,3=2εJegj sour α=4,5,6{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {\ alpha} & = \ sigma _ {ij} \\ C _ {\ alpha \ beta} & = C_ {ijkl} \\\ varepsilon _ {\ alpha} & = \ varepsilon _ {ij} \ \ mathrm {for} \ \ alpha = 1,2,3 \\ & = 2 \, \ varepsilon _ {ij} \ \ mathrm {for} \ \ alpha = 4,5,6 \ \\ slutt {justert}}}Vanlige saker
Følgende tabell viser de vanlige tilfellene av bruk av Voigt-notasjonen.
Merknader og referanser
-
Det er flere mulige representasjoner av den piezoelektriske tensoren. Disse notasjonene er notasjonene definert av ANSI / IEEE-standardene (jf. Piezoelektrisitet ).
-
(en) ANSI / IEEE-standard for piezoelektrisitet ,1996[ detalj av utgaven ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">