Observerbar

En observerbar er ekvivalent i kvantemekanikk til en fysisk størrelse i klassisk mekanikk , slik som posisjon , momentum , spinn , energi , etc. Dette begrepet kommer fra et uttrykk brukt av Werner Heisenberg i sitt arbeid med matriksmekanikk, hvor han snakket om beobachtbare Grösse (observerbar mengde), og hvor han insisterte på behovet for en operativ definisjon av en fysisk størrelse, som matematisk tar form av en operatør . Brukes til en kvantetilstand , gjør operatøren det mulig å kjenne alle mulige resultater, og deres sannsynlighet, for en måling av en gitt fysisk størrelse på et gitt kvantesystem.

Formell definisjon

Et observerbart formaliseres matematisk av en operatør som virker på vektorene i et Hilbert-rom (hver kvantetilstand representeres av en vektor i dette rommet). H{\ displaystyle {\ mathcal {H}}}

Betydningen av denne observerbare operatøren er å gi muligheten for å spalte en hvilken som helst kvantetilstand (derfor hvilken som helst vektor av Hilbert-rommet) til en lineær kombinasjon av egenstater, hver av disse tilstandene er en mulig tilstand som følge av måleoperasjonen. |ψ⟩{\ displaystyle | \ psi \ rangle}

La være de egenvektorene av en operatør (muligens i uendelig antall i henhold til den observerbare). |αJeg⟩{\ displaystyle | \ alpha _ {i} \ rangle}PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}

PÅ^⇒|ψ⟩=vs.1|α1⟩+vs.2|α2⟩+..+vs.ikke|αikke⟩+..{\ displaystyle {\ hat {A}} \ Rightarrow | \ psi \ rangle = c_ {1} | \ alpha _ {1} \ rangle + c_ {2} | \ alpha _ {2} \ rangle + .. + c_ {n} | \ alpha _ {n} \ rangle + ..} vs.Jeg=⟨αJeg|ψ⟩{\ displaystyle c_ {i} = \ langle \ alpha _ {i} | \ psi \ rangle} er den komplekse koeffisienten til denne lineære kombinasjonen.

Denne koeffisienten gir sannsynligheten for at en egenstat er resultatet av måling av en kvantetilstand  : |αJeg⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha _ {i} \ right \ rangle}|ψ⟩{\ displaystyle | \ psi \ rangle}

P=|⟨αJeg|ψ⟩|2{\ displaystyle P = {| \ langle \ alpha _ {i} | \ psi \ rangle |} ^ {2}}(forutsatt at og er normalisert)|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}|αJeg⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha _ {i} \ right \ rangle}

Settet med egenvektorer er ingen ringere enn settet med mulige resultater av måleoperasjonen formalisert av den observerbare. |αJeg⟩{\ displaystyle | \ alpha _ {i} \ rangle}

Statene som uttrykkes før måling i den enkle formen kalles egen tilstand eller ren . Som en generell regel er kvantetilstander ikke rene, men er overliggende stater , for dette observerbare. |ϕ⟩=vs.Jeg|αJeg⟩{\ displaystyle | \ phi \ rangle = c_ {i} | \ alpha _ {i} \ rangle}

En tilstand kan være ren i henhold til en gitt observerbar, og være overlagret i henhold til en annen observerbar. Dette er også den grunnleggende årsaken til Heisenbergs usikkerhetsprinsipp  : en kvantetilstand som er ren for en observerbar (og som derfor har en presis verdi for denne observerbare), kan ha et helt sett med mulige verdier for en observerbar. Andre observerbare.

Etter måleoperasjonen vil det målte fysiske systemet være i en av egenstatene definert av det observerbare ( postulat av kollaps av bølgefunksjonen)

Observerbare operatøregenskaper

Denne operatøren må ha følgende egenskaper for å være kvalifisert som observerbar:

• PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}må være en lineær operator .
• Egenverdiene til , med andre ord de mulige resultatene av måleoperasjonen, må være reelle tall. Dette er sikret hvis er en hermitisk operatør .PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}
• Egenvektorene til må være ortogonale. Dette er grunnleggende for en observerbar fordi når en kvantetilstand har en definert verdi , må den forbli den samme hvis vi bruker samme måleoperatør igjen. Sannsynligheten for å finne, som et resultat av en ny applikasjon av operatøren, må derfor en annen egenvektor være null. Dette sikres hvis og bare hvis egenvektorene er ortogonale.PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}
• Egenvektorene til må danne et grunnlag for . Dette sikrer at enhver kvantetilstand (hvilken som helst vektor av ) er målbar av denne operatøren. Det er dette grunnlaget som kjennetegner det observerbare. Å gå fra en observerbar til en annen (for eksempel fra posisjon til momentum) tilsvarer å undersøke vektoren som representerer kvantetilstanden i en eller annen base.PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}H{\ displaystyle {\ mathcal {H}}}H{\ displaystyle {\ mathcal {H}}}
• Egenvektorene til må være normaliserbare. Faktisk, hvis en egenvektor ikke er normaliserbar, vil sannsynligheten for å oppnå denne egenstaten som resultat av en måling være null. Denne siste egenskapen er ikke strengt viktig for at den skal være en teoretisk observerbar, men den er for å være en observerbar som tilsvarer en reell måleoperasjon. For eksempel er posisjon eller momentum ikke normaliserbare observerbare (noe som gir mening, siden det er kontinuerlige variabler, er sannsynligheten for å oppnå en presis posisjon eller momentum faktisk null).PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}

Eksempler på observerbare

• den stilling .R^=(X^,Y^,Z^){\ displaystyle {\ hat {R}} = ({\ hat {X}}, {\ hat {Y}}, {\ hat {Z}}) \,}
• den puls (det vil si i fremstilling R )P^=(P^x,P^y,P^z){\ displaystyle {\ hat {P}} = ({\ hat {P}} _ {x}, {\ hat {P}} _ {y}, {\ hat {P}} _ {z}) \, }P^=-Jegℏ∇^{\ displaystyle {\ hat {P}} = - i \ hbar {\ hat {\ nabla}}}
• på Hamilton- (forbundet med den energi av systemet)H^{\ displaystyle {\ hat {H}} \,}
• den hastigheten V^=P^/m{\ displaystyle {\ hat {V}} = {\ hat {P}} / m \,}
• den spinn orbitalL^=(L^x,L^y,L^z){\ displaystyle {\ hat {L}} = ({\ hat {L}} _ {x}, {\ hat {L}} _ {y}, {\ hat {L}} _ {z}) \, }
• den spin S^=(S^x,S^y,S^z){\ displaystyle {\ hat {S}} = ({\ hat {S}} _ {x}, {\ hat {S}} _ {y}, {\ hat {S}} _ {z}) \, }
• det magnetiske øyeblikket M^=(M^x,M^y,M^z){\ displaystyle {\ hat {M}} = ({\ hat {M}} _ {x}, {\ hat {M}} _ {y}, {\ hat {M}} _ {z}) \, }

Utfyllende observasjoner

Et par observable sies å være komplementære eller inkompatible hvis bryteren ikke er null. I følge Heisenbergs usikkerhetsprinsipp er det umulig å måle eller spesifisere verdiene til de to observerbare samtidig. Det mest kjente eksemplet er posisjonen og det lineære momentet (eller momentumet) til en partikkel.

Ikke-normaliserbare observasjoner: bruk av projektorer

Hvis egenvektorene til operatøren ikke kan normaliseres, er det viktig for å kunne beregne brukbare sannsynligheter å bruke en annen type observerbare: projektorer .

Det observerbare , ikke-normaliserbare, med et uendelig antall egenverdier, kan erstattes av et endelig sett med projektorer som: PÅ^{\ displaystyle {\ hat {A}}}EJeg{\ displaystyle E_ {i}}

• EJeg2=EJeg=EJeg{\ displaystyle E_ {i} ^ {2} = E_ {i} = E_ {i}}+ (definisjon av en projektor)
• E1+E2+..+Eikke=Jeg{\ displaystyle E_ {1} + E_ {2} + .. + E_ {n} = I}, som identitetsoperatør på .Jeg{\ displaystyle I}H{\ displaystyle {\ mathcal {H}}}
• EJegEj=0{\ displaystyle E_ {i} E_ {j} = 0} hvis jeg ≠ j (ortogonale projektorer)

Dette settet med frontlykter kalles det komplette settet med ortogonale hodelykt . Vi har da:PÅ^=på1E1+på2E2+..+påikkeEikke{\ displaystyle {\ hat {A}} = a_ {1} E_ {1} + a_ {2} E_ {2} + .. + a_ {n} E_ {n}}

Operatøren blir deretter degenerert , i den forstand at egenromene ( vektorunderområdet tilsvarer en gitt egenverdi) til projektorene har mer enn en dimensjon.

Det typiske og mye brukte tilfellet av en degenerert operatør som bruker projektorer er JA / NEI-spørsmålet der n = 2, og hvor operatørens egenverdier er satt til 1 for "JA" og 0 for "NEI". Denne observerbare defineres deretter av en enkelt projektor E, og enhver kvantetilstand kan skrives som: |ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}

|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}= E + (IE)|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}

For eksempel for "observerbar" posisjon, kan vi beregne en operatør hvis egenverdi er 1 hvis posisjonen er i en bestemt sone , og 0 ellers.

Det femte postulatet gjelder ikke for en degenerert operatør. Den erstattes i dette tilfellet av det nærliggende postulatet for projeksjon , som sier at:

• Hvis resultatet av en måling av en kvantetilstand er en viss egenverdi (som tilsvarer projektoren ), er egenstaten til systemet .|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}påJeg{\ displaystyle a_ {i}}EJeg{\ displaystyle E_ {i}}EJeg|ψ⟩{\ displaystyle E_ {i} \ left | \ psi \ right \ rangle}
• Sannsynligheten for å oppnå egenverdien erpåJeg{\ displaystyle a_ {i}}⟨ψ|EJeg|ψ⟩{\ displaystyle \ langle \ psi | E_ {i} | \ psi \ rangle}

Merknader og referanser

1. Compendium of Quantum Physics , Springer, 2009, oppføring "Observable".

Relatert artikkel

• Operasjonisme

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">