Borels paradoks
Den Borel paradoks (noen ganger kalt paradoks Borel - Kolmogorov ) er et paradoks av sannsynlighetsteori i forbindelse med den betingede sannsynligheter og sannsynlighetstettheter .
Anta at vi har to tilfeldige variabler , X og Y , med felles sannsynlighetstetthet p X, Y ( x , y ). Vi kan danne den betingede tettheten til Y og vite X ,
sY|X(y|x)=sX,Y(x,y)sX(x){\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x) = {\ frac {p_ {X, Y} (x, y)} {p_ {X} (x)}}}der p X ( x ) er riktig marginalfordeling .
Ved å anvende teorem av endringer i de variable , kan vi endre den felles fordelingsfunksjonene med U = f ( X , Y ), V = g ( X , Y ), og kan da danne den betingede tetthets V vite U .
sV|U(v|u)=sV,U(u,v)sU(u){\ displaystyle p_ {V | U} (v | u) = {\ frac {p_ {V, U} (u, v)} {p_ {U} (u)}}}Gitt en bestemt tilstand på X og ekvivalent tilstand på U , antyder intuisjon at betingede tettheter p Y | X ( y | x ) og p V | U ( v | u ) skal være den samme. Dette er generelt ikke tilfelle.
Et konkret eksempel
En enhetlig lov
La felles sannsynlighetstetthet
sX,Y(x,y)={1,0<y<1,-y<x<1-y0,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {X, Y} (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, & 0 <y <1, \ quad -y <x <1-y \\ 0, & { \ mbox {ellers}} \ slutt {matrise}} \ høyre.}Margintettheten til X beregnes
sX(x)={1+x,-1<x≤01-x,0<x<10,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {X} (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 + x, & - 1 <x \ leq 0 \\ 1-x, & 0 <x <1 \\ 0, & {\ mbox {ellers}} \ slutt {matrise}} \ høyre.}Således er betinget tetthet på Y vite X er
sY|X(y|x)={11+x,-1<x≤0,-x<y<111-x,0<x<1,0<y<1-x0,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {1 + x}}, & - 1 <x \ leq 0, \ quad - x <y <1 \\\\ {\ frac {1} {1-x}}, og 0 <x <1, \ quad 0 <y <1-x \\\\ 0, & {\ mbox {ellers }} \ end {matrise}} \ høyre.}som er jevn i henhold til y .
Nye innstillinger
La oss nå bruke følgende transformasjon:
U=XY+1V=Y.{\ displaystyle U = {\ frac {X} {Y}} + 1 \ qquad \ qquad V = Y.}Ved å bruke endringen av variabel setning får vi
sU,V(u,v)={v,0<v<1,0<u⋅v<10,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {U, V} (u, v) = \ left \ {{\ begin {matrix} v, & 0 <v <1, \ quad 0 <u \ cdot v <1 \\ 0, & { \ mbox {ellers}} \ slutt {matrise}} \ høyre.}Marginfordelingen beregnes og er lik
sU(u)={12,0<u≤112u2,1<u<+∞0,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {U} (u) = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}}, og 0 <u \ leq 1 \\\\ {\ frac {1} { 2u ^ {2}}}, og 1 <u <+ \ infty \\\\ 0, og {\ mbox {ellers}} \ slutt {matrise}} \ høyre.}Dermed den betingede tettheten av V vite U er
sV|U(v|u)={2v,0<u≤1,0<v<12u2v,1<u<+∞,0<v<1u0,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {V | U} (v | u) = \ left \ {{\ begin {matrix} 2v, & 0 <u \ leq 1, \ quad 0 <v <1 \\ 2u ^ {2} v , & 1 <u <+ \ infty, \ quad 0 <v <{\ frac {1} {u}} \\ 0, & {\ mbox {ellers}} \ end {matrix}} \ right.}som ikke er ensartet i henhold til v .
Det ikke-intuitive resultatet
Fra det ovennevnte har vi
sY|X(y|x=0)={1,0<y<10,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x = 0) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1, & 0 <y <1 \\ 0, & {\ mbox {ellers}} \ end { matrise}} \ høyre.}Den ekvivalente tilstanden i koordinatsystemet u - v er U = 1, og den betingede tettheten til V som vet U = 1 er
sV|U(v|u=1)={2v,0<v<10,Hvis ikke{\ displaystyle p_ {V | U} (v | u = 1) = \ left \ {{\ begin {matrix} 2v, & 0 <v <1 \\ 0, & {\ mbox {ellers}} \ end { matrise}} \ høyre.}Paradoksalt nok er V = Y og X = 0 det samme som U = 1, men
sY|X(y|x=0)≠sV|U(v|u=1).{\ displaystyle p_ {Y | X} (y | x = 0) \ neq p_ {V | U} (v | u = 1).}Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">