Tung pendel

Vi kaller tung pendel som ethvert fast stoff som beveger seg rundt en akse (i prinsippet horisontal) som ikke går gjennom tyngdepunktet og plasseres i et tyngdefelt . Skiftet fra sin likevektsposisjon (stabil) der tyngdepunktet er vertikalt mot aksen, begynner det faste stoffet å svinge på hver side av denne såkalte likevektsposisjonen. En pendelklokke, en sving osv. Utgjør tunge pendler.

Det enkleste tilfellet er pendelen som består av en liten tung gjenstand festet til en ledning (eller en stang) med ubetydelig masse foran gjenstanden. En slik pendel kalles en enkel tung pendel .

Den enkle tunge pendelen har historisk betydning fordi Galileo studerte den på en detaljert og vitenskapelig måte.

Teoretisk studie av den enkle tunge pendelmodellen

Ligning av bevegelse

Vi vurderer en enkel tung pendel med masse $m$ , som beveger seg i avstanden $l$ fra aksen (lengden på ledningen eller stangen, ansett som uforlengelig og uten masse). La θ være vinkelen mellom den nedadgående vertikale aksen og pendelstangen, med et øyeblikk $t$ og θ 0 den maksimale vinkelen. Vi betegner ved $g$ på akselerasjon av tyngdekraften .

Forsømmelse av friksjonen , den mekaniske energien til pendelen, summen av den kinetiske energien og den potensielle energien, er konstant og er lik:

{\ displaystyle E_ {m} = E_ {c} + E_ {p} = {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + mgl (1- \ cos \ theta) = mgl (1- \ cos \ theta _ {0})}

med

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

Ved å utlede ovennevnte forhold med hensyn til tid, oppnår vi etter forenkling:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta = 0}

Denne ligningen er den for en ikke-harmonisk oscillator , det vil si ikke-sinusformet. Den periode T på svingningene ikke er avhengig av massen, men er avhengig av amplituden av bevegelsen.

Omtrentlig uttrykk for perioden med små svingninger

For svake svingninger kan differensialligningen skrives omtrent:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {g} {l}} \ theta = 0}

Det kan derfor sees at pendelen "oppfører seg som" en harmonisk oscillator for lave amplituder som gjør det mulig å tilnærme sinus ved sin vinkel . Perioden er da uavhengig av amplituden. Dette kalles den isochronism av små svingninger . Denne perioden uttrykkes deretter ganske enkelt ved:

{\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}

Nøyaktig uttrykk for svingningsperioden

Ved å skille variablene i energibesparelsesligningen får vi:

{\ displaystyle {\ frac {l} {2g}} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = \ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}

og tar roten til uttrykket, får vi . Perioden $T$ av svingninger er verdt 4 ganger tiden det tar å gå fra 0 til θ 0 , derfor: ${\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ sqrt {\ frac {l} {2g}}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}}}$

{\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {2g}}} \ int _ {0} ^ {\ theta _ {0}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}} = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} K \ left (\ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ høyre)}

hvor $K$ er den komplette elliptiske integralen av den første typen . Hvis vi spør , har vi utviklingen i serie: ${\ displaystyle \ gamma = \ sin {\ theta _ {0} \ over 2}}$

{\ displaystyle K (\ gamma) = {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n } (n!) ^ {2}}} \ høyre] ^ {2} \ gamma ^ {2n} = {\ frac {\ pi} {2}} \ venstre (1 + {\ frac {\ gamma ^ {2 }} {4}} + {\ frac {9 \ gamma ^ {4}} {64}} \ dots \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 + {\ theta _ { 0} ^ {2} \ over 16} + {11 \ theta _ {0} ^ {4} \ over 3072} + ... \ right)}

Ved å ta uttrykket for perioden for små svingninger, får vi som uttrykk for perioden: ${\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$

{\ displaystyle T = T_ {0} \ left (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} + {11 \ theta _ {0} ^ {4} \ over 3072} + ... \ høyre)}

Den omtrentlige mengden av perioden er kjent som Borda-formelen . Se en verditabell i den detaljerte artikkelen. Det kan bli husket at ved en vinkel på θ 0 på 50 ° i perioden er 5% høyere enn det som er gitt ved den enkle formel , og at den korreksjon på grunn av det andre ledd bare merkbare ved en vinkel større enn 70 °. ${\ displaystyle T_ {0} \ left (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} \ right)}$ ${\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$

Tilfelle av sammensatt veipendel

Ligning av bevegelse

For ethvert tungt pendel kan treghetseffekten på rotasjonen ikke reduseres til en punktmasse plassert i tyngdepunktet. Det er hele det faste stoffet som snur, og dets treghet er preget av treghetsmomentet som er notert $J$ og avstanden $l$ fra tyngdepunktet til aksen (for den enkle pendelen $J$ = $m$ $l 2$ ). La θ være vinkelen mellom den nedadgående vertikale aksen og linjen som forbinder pendelens akse med dens treghetssenter. Dens mekaniske energi er verdt:

{\ displaystyle E_ {m} = E_ {c} + E_ {p} = {\ frac {1} {2}} J {\ dot {\ theta}} ^ {2} + mgl (1- \ cos \ theta ) = mgl (1- \ cos \ theta _ {0})}

Derivatet av denne ligningen gir:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {mgl} {J}} \ sin \ theta = 0}

Uttrykk for perioden

Bevegelsesligningen er sammenlignbar med den enkle pendelen, og erstatter den med . Vi kan derfor bruke de samme konklusjonene ved å transkribere resultatene. Spesielt : ${\ displaystyle {\ frac {l} {g}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {J} {mgl}}}$

Ved lave amplituder bekreftes også svingningens isokronisme, og den tilsvarende perioden uttrykkes som en funksjon av J ved:

{\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {J} {mgl}}}

Den nøyaktige verdien av perioden er: med samme utvikling ${\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {J} {2mgl}}} \ int _ {0} ^ {\ theta _ {0}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}} = 4 {\ sqrt {\ frac {J} {mgl}}} K \ venstre (\ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ høyre)}$ ${\ displaystyle T \ approx T_ {0} \ left (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} + {11 \ theta _ {0} ^ {4} \ over 3072 } + ... \ høyre)}$