Den matematiske platonismen eller "realismen i matematikken" er en teoretisk epistemologisk som grunnla objektivitetsvitenskapen på eksistensen av matematiske enheter, tall, størrelser, geometriske former eller strukturer , slik som autonome vesener som ikke er gjenstander av menneskets sinn. Dette er ikke abstraksjoner fra den fornuftige verden, kjent av sansene, og ikke bare konvensjoner eller enkle instrumenter, men vesener som nyter en egen eksistens som ideene til Platon , eller til og med sin egen dynamikk, som biologiske enheter eller " effluvia " av Plotinus .
Platon i sin muntlige undervisning (rundt 350 f.Kr. ?):
“Foruten eksistensen av fornuftige ting og ideer, innrømmer Platon at av matematiske ting [Tall, linjer, overflater, faste stoffer], som er mellomliggende virkeligheter ( Metaxu ), forskjellige, på den ene siden, fra fornuftige ting, ved at de er evig og urørlig, og på den annen side ideer, ved at de er en flerhet av lignende eksempler, mens ideen i seg selv er en enkelt, individuell og enestående virkelighet. "
- Aristoteles , metafysikk , A, 6; B 1; K, 1; M, 1)
Dette argumentet knyttet til Willard Van Orman Quine og Hilary Putnam (også kalt Quine-Putnam uunnværlig argument) støtter eksistensen av abstrakte matematiske objekter, for eksempel tall eller mengder.
Argumentet er:
Et av poengene med debatten er å finne eksempler innen vitenskap som støtter den andre forutsetningen (P2). I biologi er den periodiske oppførselen til kikader blitt foreslått som et eksempel som støtter denne forutsetningen.
"Jeg ville få deg til å hoppe, hvis jeg våget å innrømme for deg at jeg ikke innrømmer noen løsning av kontinuitet , ingen avbrekk mellom matematikk og fysikk, og at hele tallene ser ut til å eksistere utenfor oss og ved å pålegge seg selv den samme nødvendigheten, samme dødsfall som natrium, kalium osv. "
- Korrespondanse med Stieltjes , januar 1889, Paris, red. Gauthier-Villars, 1905, t. Jeg, s. 332
“Strukturen til en ting er på ingen måte noe vi kan 'finne på'. Vi kan bare tålmodig oppdatere den, ydmykt bli kjent med den, "oppdage" den. Hvis det er oppfinnsomhet i dette arbeidet, og hvis vi tilfeldigvis er smed eller en utrettelig byggmester, er det på ingen måte å "forme" eller "bygge" "strukturer". Disse har på ingen måte forventet at vi skulle være, og å være nøyaktig hva de er! Men det er å uttrykke, så trofast som vi kan, disse tingene vi er i ferd med å oppdage og undersøke, og denne strukturen som er motvillig til å overgi seg, som vi prøver å famle, og på et språk som fortsatt stammer kanskje. Å være, å pinne ned. "
- A. Grothendieck , Innhøsting og såing , s. P27 , University of Sciences and Technologies of Languedoc , Montpellier , 1985.
“Virkeligheten som ligger i matematiske teorier kommer til dem fra det faktum at de deltar i en ideell virkelighet som er dominerende i forhold til matematikk, men som bare er kjent gjennom den. "
- Albert Lautman , Kommunikasjon til IX th International Congress of Philosophy, Paris, 1937, i News , nr. 535, VI, s. 143, 1937
En kritisk analyse av Jacques Bouveresse understreker at vi observerer "en" terminologisk flytende "rundt dette begrepet, hvor det absolutt ikke er snakk om å rekonstruere historien, men som det er nyttig å skille mellom de forskjellige betydningene. Den allment aksepterte betydningen er betydningen av et filosofisk alternativ som består i å vurdere - med Platon - matematiske objekter som uavhengige av vår tanke- og kunnskapsaktivitet. Før Bernays reflekterte tenkere som Fraenkel og Heinrich Scholz om denne matematiske platonismen, men det var spesielt Poincaré som startet denne debatten, og motarbeidet kantorerne og pragmatisterne (de tidligere ville være platonister, noe Paul Bernays også anser). Et av de grunnleggende problemene, som er ganske tydelig i Bernays-artikkelen, er den nåværende tendensen til å betrakte begrepet "matematisk realisme" som et synonym. For Bouveresse betyr derfor platonismen en sterk følelse av realisme, den bekrefter "uavhengigheten av matematiske vesener ikke bare i forhold til de a priori følsomhetsformene og a fortiori i forhold til dataene om sensitiv kunnskap generelt, men også i forhold til til intellektet, inkludert, for de som ønsker å være helt sammenhengende, i forhold til et guddommelig intellekt. ”Det Bouveresse altså fremfører er kravet om at en slik filosofisk posisjon skjuler. I tillegg betegner den to typer problemer som Bernays begge takler, og som vil gi oss et spor å analysere dens posisjon: et problem av den metafysiske typen, og mer presist ontologisk, angående eksistensmåten til matematiske objekter (matematiske objekter har om eller har de ikke en eksistens som er uavhengig av de mentale operasjonene som vi lykkes med å nå dem?); og et epistemologisk typeproblem, angående statusen som matematikk, i sin praksis, gir til objektene (hvilke midler har vi egentlig for å lykkes med å identifisere matematiske objekter, og hva er de matematiske objektene vi kan håpe å oppnå på denne måten?) . "