Kvartil

I beskrivende statistikk er en kvartil hver av tre verdier som deler de sorterte dataene i fire like deler, slik at hver del representerer 1/4 av populasjonsutvalget. Kvartilen er en av kvantilene .

Beregning av kvartiler

Kvartilen beregnes som 4-kvartiler.

den 1 st kvartil er dataene i de serier som skiller den nederste 25% av dataene (notasjon Q1);
de to nd kvartil er dataene i de serier som skiller den nederste 50% av dataene (notasjon Q2); det kalles også medianen;
den 3 rd kvartil er dataene i de serier som skiller den nederste 75% av dataene (notasjon Q3);
I forlengelse: det 0. Kvartilet er dataene i serien som skiller bunnen 0% av dataene (Q0-notasjon, det er minimum) og den fjerde kvartilen er dataene i serien som skiller de øverste 0% fra bunnen av dataene (Q4 vurdering, dette er maksimum)

Forskjellen mellom tredje kvartil og første kvartil kalles interkvartilområdet ; det er et kriterium for spredning av serien.

For detaljer om de forskjellige beregningsmetodene, se artikkelen kvantil ,

I det diskrete tilfellet ordner vi dataene i stigende rekkefølge: hvis det er N-verdier:

null (minimum) kvartil er den med rang 1
den første kvartilen er den med rangen (N) / 4
den andre kvartilen (medianen) er den med rangen (2N + 2) / 4 som vi forenkler i (N + 1) / 2
den tredje kvartilen er den med rangen (3N) / 4
den fjerde kvartilen er den med rang N

Eksempel:

Verdier i stigende rekkefølge 1, 11, 15, 19, 20, 24, 28, 34, 37, 47, 50, 61, 68.

Antall verdier er N = 13.

Beregning av Q1 : vi deler (totalt antall pluss 3) med 4 ( kvart ile)

{\ displaystyle {N + 3 \ over 4} = {16 \ over 4} = 4}

Den 1 st kvartil er den fjerde verdi, det vil si 19.

Beregning av Q3: For Q3 fortsetter vi på samme måte, men vi multipliserer rangeringen oppnådd med 3:

{\ displaystyle {3N + 1 \ over 4} = {3 \ ganger 13 + 1 \ over 4} = {40 \ over 4} = 10}

Den 10. verdien er 47, så Q3 = 47.

Beregning av medianen : vi deler (totalt antall pluss 1) med 2 ( kvart ile)

${\ displaystyle {N + 1 \ over 2} = {13 + 1 \ over 2} = {14 \ over 2} = 7}$
Medianen er den 7. verdien eller 28 (dette er den midterste verdien).

De fem kvartilene: til slutt er de fem kvartilene i serien 1, 19, 28, 47 og 68.

Når rangen til et kvartil ikke er en heltall: når brøkene (N + 3) / 4, (N + 1) / 2 eller (3N + 1) / 4 ikke er heltall, fortsetter vi med lineær interpolasjon. Vi tar gjennomsnittet av verdien som ligger over rangen og den som ligger under rangen, ved å tildele hver verdi en koeffisient. Mer presist, vi betegner ved R_inf verdien som ligger under rangen og R_sup verdien som ligger over:

Hvis rangeringen ender med 0,25, er kvartilen gjennomsnittet mellom R_inf tildelt koeffisient 3 og R_sup tildelt koeffisient 1.
Hvis rangeringen ender med 0,5, er kvartilen gjennomsnittet mellom R_inf og R_sup (uten koeffisient).
Hvis rangeringen slutter med 0,75, er kvartilen gjennomsnittet mellom R_inf tildelt koeffisient 1 og R_sup tildelt koeffisient 3.

Eksempel:

Verdiene i stigende rekkefølge 1, 11, 15, 19, 20, 24, 28, 34, 37, 47, 50, 61.

Antall verdier er N = 12.

Beregning av Q1 : vi deler (totalt antall pluss 3) med 4 ( kvart ile)

{\ displaystyle {N + 3 \ over 4} = {15 \ over 4} = 3,75}

Den 1 st kvartil er gjennomsnittet mellom 15 tilordnet koeffisienten 1 og 19 tilordnet koeffisienten 3.

${\ displaystyle {15 \ times 1 + 19 \ times 3 \ over 1 + 3} = {72 \ over 4} = 18}$

Q1 kvartil er 18.

Beregning av Q3: For Q3 fortsetter vi på samme måte:

{\ displaystyle {3N + 1 \ over 4} = {3 \ ganger 12 + 1 \ over 4} = {37 \ over 4} = 9.25}

Den tredje kvartilen er gjennomsnittet mellom 37 tildelt koeffisient 3 og 47 tildelt koeffisient 1.

${\ displaystyle {37 \ times 3 + 47 \ times 1 \ over 3 + 1} = {158 \ over 4} = 39.5}$

Q3 kvartil er 39,5.

Beregning av medianen : vi deler (totalt antall pluss 1) med 2 ( kvart ile)

${\ displaystyle {N + 1 \ over 2} = {12 + 1 \ over 2} = {13 \ over 2} = 6.5}$
Medianen er gjennomsnittet mellom 6. og 7. verdi, dvs. gjennomsnittet mellom 24 og 28 og derfor er Q2 = 26.

De fem kvartilene: til slutt er de fem kvartilene i serien 1, 18, 26, 39,5 og 61.

Kvartil

Beregning av kvartiler

Se også