Overflate (analytisk geometri)
I analytisk geometri representerer man overflatene , det vil si settene med punkter det er lokalt mulig å lokalisere seg ved hjelp av to reelle koordinater , ved forholdet mellom koordinatene til deres punkter, som man kaller ligninger av overflaten
eller ved parametrisk representasjoner.
Denne artikkelen studerer egenskapene til overflater som denne tilnærmingen (ofte kalt ekstrinsic ) tillater å beskrive. For mer grundige resultater, se Differensiell geometri av overflater .
Avgrens eiendommer
Det antas gjennom hele denne artikkelen at vi har gitt plass med et koordinatsystem , der alle koordinatene er uttrykt.
Parametrisk representasjon
En parameterisert duk er dataene til tre funksjoner av to variabler (definert på en åpen disk, et rektangel eller mer generelt en åpen av )
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
x=f(u,v),y=g(u,v)z=h(u,v){\ displaystyle x = f (u, v), \, y = g (u, v) \, z = h (u, v)}.
som representerer koordinatene til et punkt M med hensyn til et koordinatsystem(O,Jeg→,j→,k→){\ displaystyle (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}
Vi vil si at en overflate er bildet av en parametrisert duk. Men noen forholdsregler er nødvendige: hvis vi tar f ( u , v ) = u , g ( u , v ) = h ( u , v ) = 0, har vi en parametrisert duk som har en rett linje.
I tilfelle hvor det er injiserende, innrømmer ethvert punkt M av S et unikt par ( u , v ) for antesedent.
F→=(f,g,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
Et viktig spesielt tilfelle av et parameterisert lag er grafen til en funksjon av to variabler: når . Vi får da en overflate representert av den kartesiske ligningen .
x=u,y=v,z=h(u,v){\ displaystyle x = u, y = v, z = h (u, v)} z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}
Ligning av en overflate
Gitt en funksjon H av tre variabler, er settet med punkter M hvis koordinater i referanserammen vi har gitt oss selv verifiserer H (x, y, z) = 0 en overflate. Når vi er i nærheten av et punkt av S , kan ligningen løses i z , blir vi ført tilbake, i dette området, til den kartesiske ligningen . Dette er tilfelle når .
(x0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}H(x,y,z)=0{\ displaystyle H (x, y, z) = 0}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}∂H∂z(x0,y0,z0)≠0{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}
Mer informasjon
Hvis man er fornøyd med synspunktene som foregår, får man eksempler som det ville være bedre å utelukke (jf. Duken ). I tillegg er det ikke lett å gå fra parameterisering til en ligning eller omvendt.
(u,v)↦(u,0,0){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (u, 0,0)}
En parametrisert duk er vanlig hvis
F→=(f,g,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
-
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}er klasseVS1{\ displaystyle C ^ {1}}
- vektorene og er overalt lineært uavhengige.∂F→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overrightarrow {F}}} {\ partial u}}}∂F→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overrightarrow {F}}} {\ partial v}}}
Eksempler
- Den parametriserte duken assosiert med en overflate av den kartesiske ligningen z = h ( x , y ) er vanlig (hvis h er )VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
- Hvis F er , og hvis partielle derivater ikke avbrytes samtidig , er det lokalt en graf i henhold til den implisitte funksjonssetningen.VS1{\ displaystyle C ^ {1}}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}
Faktisk er et spesielt tilfelle av den implisitte funksjonssetningen følgende resultat.
Teorem - For en del er følgende to egenskaper ekvivalente:
S⊂R3{\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}
- For alt eksisterer det en åpen U av slike som er bildet av en vanlig parametrert duk.M∈S{\ displaystyle M \ in S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}U∩S{\ displaystyle U \ cap S}
- For det finnes en åpen V med som enten (etter veksling koordinater om nødvendig) grafen av en funksjon .M∈S{\ displaystyle M \ in S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}V∩S{\ displaystyle V \ cap S}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
I praksis er overflatene som studeres oftest bildemøter med vanlige lag. Når dette ikke er tilfelle, ser vi på det fra sak til sak.
Eksempler
- Kule med sentrum O og radius 1 har ligningen . Vi kan også vurdere den parametriserte dukenx2+y2+z2=1{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}
(u,v)↦(cosucosv,synducosv,syndv){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v)}
som er vanlig og injiserende på, men ikke surjektiv. Tallene u og v tilsvarer geografernes lengdegrad og breddegrad. Men regelmessighet er tapt for . I alle fall er det umulig å realisere hele sfæren med et vanlig injeksjonslag: et slikt lag vil gi en homeomorfisme av sfæren med en åpen plan.
[0,2π[×]-π2,π2[{\ displaystyle [0,2 \ pi [\ times] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}v=±π2{\ displaystyle v = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}
- ligningen representerer revolusjonskeglen med akse Oz og vinkel .z2=x2+y2{\ displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}
Dette er bildet av den parametriserte duken
(r,θ)↦(rcosθ,rsyndθ,r){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, r)}
som er vanlig skjønt .
r≠0{\ displaystyle r \ not = 0}
- en revolusjonsflate med aksen Oz kan produseres ved å ligne formen (med ) eller et parameterisert ark .F(r,z)=0{\ displaystyle F (r, z) = 0}r=x2+y2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}(r,θ)↦(rcosθ,rsyndθ,f(r)){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, f (r) \ right)}
Koordinerte kurver
La S være overflaten definert av med (konstant), denne ligningsoverflaten kalles koordinatkurven .
OM→=F→(u,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v)}v=v0{\ displaystyle v = v_ {0}}OM→=F→(u,v0){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v_ {0})}VSv0{\ displaystyle C_ {v_ {0}}}
Når gjennom alle de akseptable verdier , møtet av kurvene er den overflate S .
v0{\ displaystyle v_ {0}}v0,v1,v2,...vikke{\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n}}VSv0,VSv1,VSv2,...VSvikke,{\ displaystyle C_ {v_ {0}}, C_ {v_ {1}}, C_ {v_ {2}}, ... C_ {v_ {n}},}
Den samme prosessen gjelder for definisjonen av ligningskurvene .
VSu0{\ displaystyle C_ {u_ {0}}}OM→=F→(u0,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u_ {0}, v)}
Kurve tegnet på en overflate
Den er definert av en applikasjon og består av alle punktene M i ligningen:
t↦f(u,v){\ displaystyle t \ mapsto f (u, v)}
OM→=F→(u(t),v(t)){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u (t), v (t))}Inneholdt i S og nevnte trukket på S .
Tangenter og plan tangent til en overflate
Vi kaller tangens til en overflate S på punktet enhver tangens til en kurve tegnet på S som inneholder .
M0{\ displaystyle M_ {0}}M0{\ displaystyle M_ {0}}
La være en funksjon og, i nærheten av , vektoren og kontinuerlige delderivater i .
f{\ displaystyle f}(u,v)↦OM→(u,v){\ displaystyle (u, v) \ mapsto {\ overrightarrow {OM}} (u, v)}u0,v0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}∂M→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u}}}∂M→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v}}}u0,v0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}
Dersom vektorene og er uavhengig (ikke kolineære), alle de vektorer tangent i kurvene er tegnet på , og som passerer gjennom dette punktet er i det plan som passerer gjennom , og som inneholdt disse to vektorer. Det er per definisjon tangensplanet til punktet .
∂M→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u}}}∂M→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v}}}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}
La være et tangensplan definert av punktet , og to ikke-kollinære vektorer:
M0(x0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}
∂M→∂u0=(∂x∂u0,∂y∂u0,∂z∂u0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u_ {0}}} = \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial u_ {0}}}, {\ frac { \ delvis y} {\ delvis u_ {0}}}, {\ frac {\ delvis z} {\ delvis u_ {0}}} \ høyre)}, og
∂M→∂v0=(∂x∂v0,∂y∂v0,∂z∂v0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v_ {0}}} = \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial v_ {0}}}, {\ frac { \ partial y} {\ partial v_ {0}}}, {\ frac {\ partial z} {\ partial v_ {0}}} \ right)}
Ligningen er:
|x-x0∂x∂u0∂x∂v0y-y0∂y∂u0∂y∂v0z-z0∂z∂u0∂z∂v0|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ partial x} {\ partial u_ {0}}} og {\ frac {\ partial x} {\ partial v_ {0}} } \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ partial y} {\ partial u_ {0}}} & {\ frac {\ partial y} {\ partial v_ {0}}} \\ z-z_ {0} og {\ frac {\ partial z} {\ partial u_ {0}}} og {\ frac {\ partial z} {\ partial v_ {0}}} \ end {vmatrix}} = 0 \,}For eksempel hvis ligningen av er av formen , ved å posere
og vi har:
S{\ displaystyle S \,}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}s=hx′(x0,y0),{\ displaystyle p = h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}q=hy′(x0,y0),{\ displaystyle q = h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}
z-z0=s(x-x0)+q(y-y0){\ displaystyle z-z_ {0} = p (x-x_ {0}) + q (y-y_ {0}) \,}
Hvis ligningen er implisitt og hvis et delvis derivat av f in ikke er null, kan vi redusere til tilfellet ovenfor med den implisitte funksjonssetningen. For eksempel hvis vi kan skrive , og det har vi
S{\ displaystyle S \,}f(x,y,z)=0{\ displaystyle f (x, y, z) = 0 \,}(x0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}fz′(x0,y0,z0)≠0{\ displaystyle f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}
hx′(x0,y0)=-fx′(x0,y0,z0)fz′(x0,y0,z0) et hy′(x0,y0)=-fy′(x0,y0,z0)fz′(x0,y0,z0){\ displaystyle h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} )} {f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \ \ mathrm {and} \ h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {f' _ {z} (x_ {0}, y_ {0} , z_ {0})}} \,}.
Ligningen til tangentplanet skrives deretter
(x-x0)fx′(x0,y0,z0)+(y-y0)fy′(x0,y0,z0)+(z-z0)fz′(x0,y0,z0)=0{\ displaystyle (x-x_ {0}) f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (y-y_ {0}) f' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (z-z_ {0}) f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = 0},
eller, i vektorform,
M0M→⋅grTild f(M0)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) = 0}.
Metriske egenskaper
Normal til overflaten
Flyet som tangerer overflaten ved punktet , genereres av vektorene og .
S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂u0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u_ {0}}}}∂M→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v_ {0}}}}
Man kaller normalt til overflaten på det punktet det normale til tangensplanet: den innrømmer dermed for å rette vektoren .
S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂u0∧∂M→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u_ {0}}} \ wedge {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial v_ {0}}}}
Ligningene er:
x-x0∂(y,z)∂(u0,v0)=y-y0∂(z,x)∂(u0,v0)=z-z0∂(x,y)∂(u0,v0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ partial (y, z)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ partial (z, x)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ partial (x, y)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}},
med for eksempel den jakobiske lik .
∂(y,z)∂(u0,v0){\ displaystyle {\ frac {\ partial (y, z)} {\ partial (u_ {0}, v_ {0})}}}|∂y∂u0∂y∂v0∂z∂u0∂z∂v0|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ partial y} {\ partial u_ {0}}} og {\ frac {\ partial y} {\ partial v_ {0}}} \\ {\ frac { \ partial z} {\ partial u_ {0}}} og {\ frac {\ partial z} {\ partial v_ {0}}} \ end {vmatrix}}}
I tilfelle hvor overflaten er definert av en kartesisk ligning , blir ligningen til det normale ved punktet gitt av
S{\ displaystyle S \,}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}
x-x0s=y-y0q=z-z0-1{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {p}} = {\ frac {y-y_ {0}} {q}} = {\ frac {z-z_ {0}} {- 1} } \,}
I det tilfelle hvor overflaten er definert ved en implisitt ligning , det normale i ved punktet har for å styre vektor gradienten av i , og ligningen skrives
S{\ displaystyle S \,}f(x,y,z){\ displaystyle f (x, y, z)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}f{\ displaystyle f \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}
(x-x0)fx′(x0,y0,z0)=(y-y0)fy′(x0,y0,z0)=(z-z0)fz′(x0,y0,z0){\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {0})} {f_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {( y-y_ {0})} {f_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {(z-z_ {0})} {f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \,},
eller i vektorform:
M0M→=ρ⋅grTild f(M0),ρ∈R{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ rho \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ rho \ in \ mathbb {R}}.
Kryss av to flater
La være kurven , skjæringspunktet mellom overflater og hvis ligninger er:
VS{\ displaystyle C \,}S1{\ displaystyle S_ {1} \,}S2{\ displaystyle S_ {2} \,}
S1↦f(x,y,z)=0{\ displaystyle S_ {1} \ mapsto f (x, y, z) = 0}, og .
S2↦g(x,y,z)=0{\ displaystyle S_ {2} \ mapsto g (x, y, z) = 0}Disse to flatene innrømmer hverandre et tangentplan i henholdsvis bemerket og .
M0(x0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}
Linjen som følger av krysset mellom flyene og er tangenten ved .
P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}M0{\ displaystyle M_ {0}}VS{\ displaystyle C \,}
Det innrømmer som ledende vektor:
W→=grTild f(M0)∧grTild g(M0){\ displaystyle {\ overrightarrow {W}} = \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) \ wedge \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0})}
La ligningen være:
x-x0∂(f,g)∂(y0,z0)=y-y0∂(f,g)∂(z0,x0)=z-z0∂(f,g)∂(x0,y0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ partial (f, g)} {\ partial (y_ {0}, z_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ partial (f, g)} {\ partial (z_ {0}, x_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ partial (f, g)} {\ partial (x_ {0}, y_ {0})}}}
Ligningen til planet normalt til i planen er definert ,
VS{\ displaystyle C \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}M0,grTild f(M0),grTild g(M0){\ displaystyle M_ {0}, \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0}) \,}
Ligningen er:
|x-x0∂f∂x(M0)∂g∂x(M0)y-y0∂f∂y(M0)∂g∂y(M0)z-z0∂f∂z(M0)∂g∂z(M0)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (M_ {0}) & {\ frac {\ partial g} {\ partial x} } (M_ {0}) \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (M_ {0}) & {\ frac {\ partial g} {\ partial y} } (M_ {0}) \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} (M_ {0}) & {\ frac {\ partial g} {\ partial z} } (M_ {0}) \ end {vmatrix}} = 0 \,}Se også
Bibliografi
Relaterte artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">