Setning fra Bohr-Mollerup

I matematikk , det Bohr - Mollerup teoremet er oppkalt etter de to danske matematikere Harald Bohr og Johannes Mollerup  (de) , som viste den i 1922. Det som kjennetegner den gammafunksjonen , definert for ved x>0{\ displaystyle x> 0}

Γ(x)=∫0∞tx-1e-t dt{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} \ mathrm {e} ^ {- t} ~ \ mathrm {d} t}

som den eneste definerte funksjonen som samtidig tilfredsstiller følgende tre betingelser: f{\ displaystyle f}x>0{\ displaystyle x> 0}

•  f(1)=1,{\ displaystyle ~ f (1) = 1 {\ mbox {,}}}
• f(x+1)=xf(x) til x>0,{\ displaystyle f (x + 1) = xf (x) \ {\ mbox {for}} \ x> 0,}
• f{\ displaystyle f}er logaritmisk konveks , det vil si en konveks funksjon .Logg⁡(f){\ displaystyle \ log (f)}

En spesielt elegant demonstrasjon ble gitt av Emil Artin .

Demonstrasjon

Gamma-funksjonen tilfredsstiller klassisk disse tre forholdene (den første er umiddelbar, den andre vises ved integrering av deler og den tredje er utledet fra Hölders ulikhet ).

La være en funksjon som også tilfredsstiller dem. f{\ displaystyle f}

De to første forholdene gjør det mulig å oppnå for alle naturlige og alle reelle tall  :ikke{\ displaystyle n}x>0{\ displaystyle x> 0}

f(ikke+1)=ikke!ogf(ikke+x)=f(x)∏0⩽k<ikke(x+k).{\ displaystyle f (n + 1) = n! \ quad {\ text {and}} \ quad f (n + x) = f (x) \ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k) .}

Vi bruker deretter konveksiteten til å utlede:Logg⁡(f){\ displaystyle \ log (f)}

∀u,v>0, ∀x∈[0,1], f[xu+(1-x)v]⩽f(u)xf(v)1-x.{\ displaystyle \ forall u, v> 0, \ \ forall x \ i [0,1], \ f [xu + (1-x) v] \ leqslant f (u) ^ {x} f (v) ^ {1-x}.}

Spesielt for alle virkelige og hele  : x∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0.1]}ikke>0{\ displaystyle n> 0}

• f(ikke+x)=f[x(ikke+1)+(1-x)ikke]⩽f(ikke+1)xf(ikke)1-x=ikkex (ikke-1)!{\ displaystyle f (n + x) = f [x (n + 1) + (1-x) n] \ leqslant f (n + 1) ^ {x} f (n) ^ {1-x} = n ^ {x} ~ (n-1)!}
• ikke!=f(ikke+1)=f[x(ikke+x)+(1-x)(ikke+1+x)]⩽f(ikke+x)xf(ikke+x+1)1-x=(ikke+x)1-x f(ikke+x).{\ displaystyle n! = f (n + 1) = f [x (n + x) + (1-x) (n + 1 + x)] \ leqslant f (n + x) ^ {x} f (n + x + 1) ^ {1-x} = (n + x) ^ {1-x} ~ f (n + x).}

Ved å erstatte får vi dermed følgende rammeverk for  :f(ikke+x){\ displaystyle f (n + x)}f(x){\ displaystyle f (x)}

(ikke+x)x-1 ikke!∏0⩽k<ikke(x+k)⩽f(x)⩽ikkex (ikke-1)!∏0⩽k<ikke(x+k).{\ displaystyle {\ frac {(n + x) ^ {x-1} ~ n!} {\ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k)}} \ leqslant f (x) \ leqslant { \ frac {n ^ {x} ~ (n-1)!} {\ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k)}}.}

og (siden tilfredsstiller de samme hypotesene) den samme rammen for . Γ{\ displaystyle \ Gamma}Γ(x){\ displaystyle \ Gamma (x)}

Imidlertid, når en tendens mot uendelig, er den øvre og nedre grense ekvivalente . Derfor har de begge en tendens mot , noe som derfor er likt. ikke{\ displaystyle n}Γ(x){\ displaystyle \ Gamma (x)}f(x){\ displaystyle f (x)}

Denne likheten, demonstrert for alt , strekker seg til alt takket være den andre tilstanden, derfor . x∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0.1]}x∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in] 0, + \ infty [}f=Γ{\ displaystyle f = \ Gamma}

Merk

Denne demonstrasjonen viser videre at enhver sekvens som tilsvarer grensene for ovennevnte innramming for alt , har en tendens til . Spesielt : x∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0.1]}Γ(x){\ displaystyle \ Gamma (x)}

Γ(x)=limikke→∞ikkex ikke!∏0⩽k⩽ikke(x+k).{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} ~ n!} {\ prod _ {0 \ leqslant k \ leqslant n} (x + k) }}.}

Som tidligere strekker denne likheten seg til alt . x∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in] 0, + \ infty [}

Merknader og referanser

1. (da) H. Bohr and J. Mollerup, Lærebog i matematisk Analysis , vol.3, Jul. Gjellerups Forlag, København, 1922, s. 149-164.
2. Basen på logaritmen har ikke betydning så lenge den er strengt større enn 1, men etter konvensjonen tar noen matematikere loggen uten indeks for å betegne den naturlige logaritmen  : den til base e .
3. (i) E. Artin, gammafunksjonen , Dover, 2015 ( 1 st ed. Holt, Rinehart, Winston, 1964), s. 14-15 (oversettelse av Michael Butler fra Einführung i die Theorie der Gammafunktion , 1931)
4. Denne metoden, hentet fra (i) "  Proof of Bohr-Mollerup theorem, id3808  " på PlanetMath , er i det vesentlige den for Artin.

Se også

Relatert artikkel

Wielandts teorem

Eksterne linker

• (no) Eric W. Weisstein , “  Bohr-Mollerup Theorem  ” , på MathWorld
• (no) "  Proof of Bohr-Mollerup theorem, id6576  " , på PlanetMath

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">