Konkave funksjon

I matematikk sies det at en funksjon $f$ er konkav når den motsatte funksjonen $-f$ er konveks .

Det faktum at vi foretrekker å begynne med å definere begrepet konveks funksjon og å utlede den fra den konkave funksjonen, finner sin opprinnelse i det faktum at vi enkelt definerer begrepet konveks sett , mens begrepet "sett konkav" er mindre naturlig. Vi definerer deretter de konvekse funksjonene som de som har en konveks epigrafi (de konkave funksjonene har en konveks hypograf ). Dette er grunnen til at konveks analyse eksisterer som en disiplin for matematikk, men "konkav analyse" ikke.

Definisjoner

Definisjon - en funksjon $f$ sies å være konkav når motsatt funksjon $-f$ er konveks .

Denne definisjonen tilsvarer følgende definisjon:

Definisjon - En funksjon $f$ fra et reelt intervall $I$ til ℝ sies å være konkav når, for alle $x 1$ og $x 2$ av $I$ og alle $t$ i $[0; 1]$ vi har:

{\ displaystyle f (t \, x_ {1} + (1-t) \, x_ {2}) \ geq t \, f (x_ {1}) + (1-t) \, f (x_ {2 }).}

Tilfelle av avledede funksjoner

Vi har to karakteriseringer:

Forslag - La $f$ en funksjon som kan avledes over et intervall $jeg$ .

$f$ er konkav hvis og bare hvis den representative kurven er under hver av dens tangenter ;
$f$ er konkav hvis og bare hvis dens deriverte er avtagende på $jeg$ .

Vi trekker frem fra den andre karakteriseringen:

at enhver konkav og differensierbar funksjon (over et reelt intervall) er av klasse C 1 ;
følgende resultat, veldig praktisk for enkel kontroll av konkaviteten til spesifikke eksempler:

Konsekvens - La $f$ en funksjon to ganger deriverbar på et intervall $jeg$ . $f$ er konkav hvis og bare hvis det andre derivatet $f ''$ har negative verdier eller null.

Eksempel på konkave funksjoner

Blant de enkle konkave funksjonene kan vi åpenbart per definisjon sitere motsetningene til de virkelige konvekse funksjonene, for eksempel:

$x \mapsto - x n$ med $n$ et jevnt heltall ;
$x \mapsto - exp ( x )$ .

La oss også sitere noen inverser av konvekse funksjoner, for eksempel på ℝ + *:

den naturlige logaritmefunksjonen ;
den styrkefunksjonen $x \mapsto x en$ hvis $0 \leq en \leq 1$ .

Mer generelt er de to differensierbare funksjonene hvis andre derivat alltid er negativ, konkave funksjoner. Men en konkav funksjon er ikke nødvendigvis differensierbar, som det fremgår av funksjonen $x \mapsto - | x |$ .

Relatert artikkel

Konveks-konkav funksjon

Referanser

Uttalelse i Jacques Douchet, analyse: samling av øvelser og minnehjelp , vol. 1, PPUR ,2010, 3 e ed. ( 1 st ed. 2003) ( lest på nettet ) , s. 77(prop. 5.44) og demonstrerte i denne korrigerte øvelsen fra leksjonen om funksjonene til en reell variabel på Wikiversity . For en generalisering til konvekse funksjoner av en vektorvariabel, se (i) John Paul Penot Calculus Without Derivatives , al. " GTM " ( n o 266)2012( les online ) , s. 202-203.