Eksponensiell lov | |
![]() Sannsynlighetstetthet | |
![]() Distribusjonsfunksjon | |
Innstillinger | intensitet eller omvendt av skalaen ( ekte ) |
---|---|
Brukerstøtte | |
Sannsynlighetstetthet | |
Distribusjonsfunksjon | |
Håp | |
Median | |
Mote | |
Forskjell | |
Asymmetri | |
Normalisert kurtose | |
Entropi | |
Moment-genererende funksjon | |
Karakteristisk funksjon | |
En eksponentiell lov modellerer levetiden til et fenomen uten minne , eller uten aldring , eller uten slitasje : sannsynligheten for at fenomenet varer minst s + t timer, vel vitende om at det allerede har vart t timer, vil være den samme som sannsynligheten for å vare s timer fra den første oppstarten. Det faktum at fenomenet varte i t timer endrer med andre ord ikke hans forventede levealder fra tid t .
Mer formelt, la X være en tilfeldig variabel som definerer levetiden til et fenomen, av matematisk forventning . Vi tror at:
Deretter er sannsynlighetstettheten til X definert av:
og vi sier at X følger en eksponentiell lov av parameter (eller av skaleringsfaktor) . Motsatt tilfredsstiller en tilfeldig variabel som har denne loven egenskapen til å være minneløs .
Denne loven gjør det blant annet mulig å modellere levetiden til et radioaktivt atom eller en elektronisk komponent. Den kan også brukes til å beskrive for eksempel tiden som har gått mellom to telefonsamtaler som mottas på kontoret, eller tiden som har gått mellom to bilulykker der en gitt person er involvert.
Den sannsynlighetstettheten av den eksponensielle med parameter λ > 0 har formen:
Distribusjonen støttes av intervallet .
Den fordelingsfunksjon er gitt ved:
La X være en tilfeldig variabel som følger en eksponentiell lov med parameteren λ .
Ved konstruksjon vet vi at den matematiske forventningen til X er .
Vi beregner variansen ved å integrere etter deler ; vi får .
Den standardavvik er .
The median , det vil si tiden T , slik at er .
At levetiden er uten aldring resulterer i følgende likeverd:
Etter Bayes 'teorem har vi:
Ved å stille sannsynligheten for at levetiden er større enn t , finner vi derfor:
Siden funksjonen G er monoton og avgrenset, innebærer denne ligningen at G er en eksponensiell funksjon . Så det eksisterer k virkelig slik at for alle t :
Merk at k er negativ , siden G er mindre enn 1. Sannsynlighetstettheten f er definert for alle t ≥ 0 ved:
Beregning av forventningen til X , som må være lik, fører til ligningen:
Vi beregner integralet ved å integrere etter deler; vi oppnår :
Derfor
og
En viktig egenskap ved eksponensiell distribusjon er hukommelsestap eller intet minne . Denne egenskapen oversettes matematisk med følgende ligning:
Tenk deg at T representerer levetiden til en LED-pære før den mislykkes: sannsynligheten for at den vil vare minst s + t timer, vel vitende om at den allerede har vart t timer, vil være den samme som sannsynligheten for å vare s timer fra den første start- opp. Med andre ord, det at det ikke brøt sammen i t timer, endrer ikke forventet levealder fra tid t . Det skal bemerkes at sannsynligheten for at en "klassisk" pære (med glødetråd) bryter sammen følger en eksponentiell lov bare som en første tilnærming, siden glødetråden fordamper under bruk, og blir eldre.
Hvis tilfeldige variabler X , Y er uavhengige og følger to eksponensielle lover for respektive parametere λ , μ , så er Z = inf ( X ; Y ) en tilfeldig variabel som følger den eksponensielle loven til parameteren λ + μ .
Et privilegert område med eksponentiell lov er området radioaktivitet ( Rutherford og Soddy). Hvert radioaktivt atom har en levetid som følger en eksponentiell lov. Parameteren λ kalles da forfallskonstanten .
Den gjennomsnittlige levetiden blir kalt karakteristiske tid .
Den store talls lov gjør det mulig å si at konsentrasjonen av radioaktive atomer vil følge den samme lov. Medianen er tiden T som kreves for at befolkningen skal vokse til 50% av den opprinnelige befolkningen, og kalles halveringstiden eller perioden.
Levetiden til en elektronisk komponent er også ofte modellert av en eksponentiell lov. Sommeegenskapen brukes til å bestemme forventet levealder for et system bestående av to komponenter i serie.
I køteorien er ankomst av kunder i kø ofte modellert av en eksponentiell lov, for eksempel i M / M / 1 kømodell .
Den geometriske loven er en diskretisert versjon av den eksponentielle loven. Følgelig er den eksponentielle loven en grense for renormaliserte geometriske lover.
Eiendom - Hvis X følger den eksponentielle lov av forventning ett, og hvis så Y følger geometriske lov parameter
DemonstrasjonMerk at, for et reelt tall x , betegner den øvre heltallsdelen av x , definert etter
Ved å velge
fra en eksponentiell tilfeldig variabel X ' av parameter λ gjør vi altså en tilfeldig variabel
,
i henhold til en geometrisk lov for vilkårlig parameter p (med imidlertid begrensningen 0 < p <1 ), fordi X = λ X ' følger deretter en eksponentiell lov for parameter 1 (og forventning 1).
Gjensidig
Eiendom - Hvis tilfeldig variabel Y n følger den geometriske loven til parameteren p n , og hvis
deretter et n Y n konvergerer i rett mot den eksponensielle lov av parameter λ .
DemonstrasjonVi gir oss en eksponentiell tilfeldig variabel λ med parameter 1, og vi setter
Da har Y n og Y n ' samme lov, i kraft av den forrige eiendommen. Dessuten for alle ω
Nå på den ene siden fører den nesten sikre konvergensen til konvergens i loven, på den andre siden er loven til X / λ den eksponentielle loven til parameteren λ .
Vi kan se disse forskjellige konvergensene som enkle konsekvenser av konvergensen av Bernoulli-ordningen mot Poisson-prosessen .
Den eksponentielle loven er en Weibull-lov med en formfaktor k (eller β ) på 1.